新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）15 平面向量中的最值（范围）问题（原卷版）

素养拓展15平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、平面向量中的最值（范围）问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．二、极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②将两式相减可得SKIPIF1<0，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．①几何解释1（平行四边形模型）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为一组邻边构造平行四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的SKIPIF1<0”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】（极化恒等式的应用）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上任意一点，求SKIPIF1<0的最小值．【典例2】（数量积的最值（范围））已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若点M是SKIPIF1<0所在平面内的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（模的最值（范围））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【典例4】（夹角的最值（范围））平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练-刷模拟】1.极化恒等式的应用1．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点是线段SKIPIF1<0上一动点.若以SKIPIF1<0为圆心､半径为1的圆与线段SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则的值是A． B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．34．已知SKIPIF1<0的斜边SKIPIF1<0的长为4，设SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．已知图中正六边形SKIPIF1<0的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，SKIPIF1<0为圆O的直径，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为钝角，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的两个动点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．8．如图，圆SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内切圆，已知SKIPIF1<0，过圆心SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的取值范围是_________．2.数量积的最值（范围）问题一、单选题1．已知菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为菱形的中心，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，已知SKIPIF1<0是半径为2，圆心角为SKIPIF1<0的扇形，点SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是圆弧SKIPIF1<0上的动点（包括端点），则SKIPIF1<0的最小值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<06．已知边长为2的菱形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一动点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知菱形ABCD的边长为2，SKIPIF1<0，点E在边BC上，SKIPIF1<0，若G为线段DC上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．48．圆SKIPIF1<0为锐角SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题9．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.10．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则SKIPIF1<0的取值范围是.11．如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为圆心为SKIPIF1<0、半径为1的圆的动直径，则SKIPIF1<0的取值范围是.12．如图，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，点D，E分别在边AB，AC上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点F为线段DE上的动点，则SKIPIF1<0的取值范围是．13．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别有两动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0恰好将SKIPIF1<0分为面积相等的两部分.则SKIPIF1<0的最大值为.14．如图，在边长为2的正方形SKIPIF1<0中．以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当点SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0的最小值为．3.模的最值（范围）问题一、单选题1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（θ为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角），则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．23．已知SKIPIF1<0为单位向量，向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．44．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是单位向量，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知在三角形ABC中，SKIPIF1<0，点M，N分别为边AB，AC上的动点，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，点P，Q分别为MN，BC的中点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动，且保持SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知单位向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0垂直，若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知SKIPIF1<0均为单位向量，且夹角为SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题11．已知向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．12．已知SKIPIF1<0是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是．13．平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最小值是．14．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.15．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为平面单位向量，则SKIPIF1<0的最大值16．已知SKIPIF1<0为正交基底，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.17．已知SKIPIF1<0为坐标原点，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是4.夹角的最值（范围）问题一、单选题1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角是锐角，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则夹角SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为单位向量，其夹角为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知单位向量SKIPIF1<0，若对任意实数x，SKIPIF1<0恒成立，则向量SKIPIF1<0的夹角的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知平面向量SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的正弦值的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．若平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夹角的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角最大值时SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知不共线的平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0