初中数学八年级上册第11章三角形教、导学案 人教版

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

k学'习昌彝＞

1.会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三

边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题.

2.进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系.

（里-息•一举点、.

重点：三角形的三边之间的不等关系.

难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形.

k预，习导学,

自学1：自学课本应一3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空.（5分钟）

总结归纳：（1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形;

其中这三条线段叫做三角形的边;相邻两边组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端

点叫做三角形的顶点.

（2）三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在

等腰三角形中，相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的

夹角叫做底角.

（3）三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

（4）三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形;等腰三角形可

分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形.

点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形.

自学2：自学课本凸一4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系.（5分钟）

总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边;三角形两边的差小于第三边.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视.（5分钟）

1.如图①，以4,B,C为顶点的三角形记作读作"三角形如,它的边分别

是AB,4C,比（或a,b,c）,内角是/C,顶点是点4B,C.

顶点4A.

边/角、

%角

顶点3边aBC

①②

点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示.

2.图②中有殳个三角形，分别是△/应；XABC,△班T,MCDE,△83,以£为顶点的

三角形是△/瓦；XBEC,XCDE,以/〃为角的三角形是△时,以为边的三角形

是△/阳AABC.

3.下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3,4,11；②2,5,6；③3,5,8.

/合，作卷先一

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.（10分钟）

探究1一个等腰三角形的周长为28cm.

（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；

（2）已知其中一边的长为6cm,求其他两边的长.

解：⑴设底边长为xcm,则腰长为3xcm,依题意得2X3x+x=28,解得x=4,3x

=12,三边长分别为4cm,12cm,12cm.

（2）设另一边长为xcm,依题意得，当6cm为底边时，2*+6=28,.,.^=11；当6cm

为腰长时，x+2X6=28,，x=16.：6+6<16,不符合三角形两边的和大于第三边，所以

不能围成腰长为6cm的等腰三角形，，其他两边的长为11cm,11cm.

探究2某同学有两根长度为40cm,90cm的木条，他想钉一个三角形的木框，那么

第三根应该如何选择？（40cm,50cm,60cm,90cm,130cm）

解：设第三根木条长为xcm,依题意得90—40<x<40+90,...50VxV130,.♦.第三根

应选60cm或90cm.

次艮绥逸山一学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（5分钟）

1.图中有2个三角形，以一为顶点的三角形有班；MADE,1\ACE；以/。为边的三

角形有△/切，△/庞，XACD.

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是。

A.3,4,8B.5,6,11C.2,4,5

3.等腰三角形一条边等于3cm,一条边等于6cm,则它的周长为15cm.

点拨精讲：注意三角形三边关系.

1点-披错蹄》（3分钟）1.等边三角形是特殊的等腰三角形.

2.在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形

三边关系判断所求三条线段长能否构成三角形.

3.已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围.

,课堂®逸_>（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

卜当‘堂冽麻》（10分钟）

2

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

教学目标＜

1.结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素.

2.会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类.

3.理解三角形任何两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边的性质，并会初步

运用这些性质来解决问题.

重点

三角形的三边关系.

难点

三角形的三边关系.

教学设计

一、创设情境，引入新课

老师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题；

小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？

老师出示教具，提出问题.让学生观察教具，然后给出三角形的定义.

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

二、探究问题，形成概念

（一）探究三角形的有关概念

1.三角形的顶点及符号表示方法.

2.三角形的内角.

3.三角形的边.

教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念.

学生注意记忆相关的概念.

教师再出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固

刚才的有关概念.

（二）探究三角形的分类

问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类？

问题2：如何将三角形按边分类？

教师提出问题，学生举手回答.

教师提示，分类的标准是什么？

学生回答：有两边相等和有三边相等，以及三条边均不相等.

教师进一步提出新的问题，并进一步讲解等边三角形、等腰三角形的有关概念，然后给

3

出三角形按边分类的方法:

'三边都不相等的三角形

三角形,(底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形小斗一4『

II等边二角形

之后师生共同归纳三角形的分类方法.按不同的标准分类，可以有不同的分法.

(三)探究三角形的三边关系

探究：画出一个aABC,假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C点，它有

几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？

教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题.

(1)小虫从点B出发沿三角形的边爬到点C有如下几条路线：

a.从B—C

b.从BfA~C

(2)从B-C路线最短.

然后老师进一步提出问题：这条路线为什么是最短的？

学生举手回答：“两点之间，线段最短.”

然后师生共同归纳得出：

AC+BOAB①

AB+AOBC②

AB+BOAC③

即三角形两边的和大于第三边.

教师提问：(1)由不等式①②③移项，你能得到怎样的不等式？

(2)通过刚才得到的不等式，你有什么发现？

学生回答，师生共同归纳：三角形两边的差小于第三边.

教师出示教材第3页例题.

分析：(1)“用一条长18c加的细绳围成一个等腰三角形”，这句话有什么含义？

(2)有一边长为4cm是什么意思,哪一边的长度是4cm?

三、练习巩固

练习：教材第4页练习第1,2题.

老师布置练习，学生举手回答即可.第2题注意让学生说明理由.

解决完以后，教师利用投影出示补充练习，学生独立完成.

补充练习：一个三角形有两条边相等，周长为20颂，一条边长是6M，求其他两条边

长.

四、小结与作业

小结：谈谈本节课的收获.

老师引导学生主要从对三角形的分类和三边关系的认识方面进行小结.

布置作业：习题11.1第1,2,7题.

教与反思＜：«<

三角形的三边关系是在学生了解了三角形的一些基本特征的基础上学习的，学生虽然知

道了三角形有三条边，但三角形“边”的研究却是学生首次接触，让学生自己动手操作，初

步感知三条边之间的关系，接着重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系？”

通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论。这样教学符

合学生的认知特点，既增加了兴趣，又增强学生的动手能力.

4

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

11.1.3三角形的稳定性

教学目标＜

1.掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定义中体现出来的性质.

2.会画三角形的高、中线、角平分线.

3.了解三角形的稳定性.

重总难总＜

重点

了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平

分线，了解三角形具有稳定性这一性质.

难点

1.三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的高与垂线的区别.

2.钝角三角形高的画法.

3.不同的三角形三条高的位置关系.

数字设计＜

一、情境导入

生活实例演示：

人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，引出三角形中的特殊线段.

二、探究新知

（一）三角形的高

问题1：如何求三角形的面积？

问题2：什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教师首先提出问题1,学生举手回答,

然后教师进一步提出来问题2.引入本节课的第一个概念.

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形

的高.如图，AD是AABC的边BC上高.

A

BD

5

想一想，一个三角形有几条高？

然后教师要求学生举手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,

之后要求学生作出它们的高，然后同学进行交流.

观察：每一个三角形的三条高有什么位置关系？

三条高交于一点.

教师提出问题：各种三角形的高都分别交于一点吗？

学生讨论，交流，然后归纳结果.

练习：教材第5页练习第1题.

学生独立观察，然后交流，归纳.

（二）三角形的中线与角平分线的概念及画法

1.三角形的中线及其画法.

2.三角形的角平分线及其画法.

教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义，然后仿照三角形的高的教学过程，安排

学生画一画，并相应地提出类似的问题.

学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结.

三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点.三角形三条中线的交点叫做三

角形的重心.

三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点.

三角形的三条高不一定在三角形的内部，它们也相交于一点.

三角形的高、中线、角平分线都是线段.

（三）三角形的稳定性

教师利用折尺让学生先折成三角形的样子，然后拆成四边形的样子，认识三角形的稳定

性.

学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活中利用三角形的稳定性的例子，

并完成教材第7页练习.

三、练习巩固

练习：教材第5页练习第2题.

思考：如下图，AD是4ABC的边BC上的中线，AABD和AADC的面积有何关系，为什么？

教师布置练习，学生独立完成，然后举手回答.

教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进行归纳.

归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

思考：高和角平分线是否也有这样的性质呢？

四、小结与作业

小结：谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识.

教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质.

布置作业：习题11.1第3,4,8题，选做题：第9题.

教与反思<：«<

6

以学生为本，充分调动学生的学习兴趣，主动参与到新课堂的实践活动.例如：学生在

学习了三角形的角平分线、中线后，引导学生及时比较它们的异同点，以免混淆，建立了求

同存异的思想。学生在得到了任意三角形的三条角平分线、中线交于一点，且在三角形的内

部，这一规律后，就轻易认为三条高线也适用此规律.教师抓住学生的惯性心理，引导学生

通过动手发现新问题，从而解决它.在教学三角形的稳定性时，尽可能利用多媒体引导学生

探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生

活，运用三角形的稳定性解释为什么要用上三角形和用三角形解决生活中的问题.

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

k学'习@之:

i.了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.

2.掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条

角平分线分别交于一点.

kjr点犀焉,

重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达.

难点：钝角三角形的高的画法.

k预'习等—>

一、自学指导

自学1：自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空.（4分钟）

作出下列三角形的高：

如图①，AD是△ABC的边照上的高，则有NADB=NADC=90°.

总结归纳：三角形的高有2条，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，相交于二点，

直角三角形的三条高相交于三角形的直角顶点上;钝角三角形的三条高相交于三角形的处

部.

自学2：自学课本因一5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填

空.（5分钟）

作出下列三角形的中线，回答下面问题：

总结归纳：三角形的中线有之条，相交于二点，且在三角形的内部,三角形三条中线的

交点叫做三角形的重心.

7

取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心.

自学3：自学课本P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角

的平分线的区别，完成下列填空.（3分钟）

作出下列三角形的角平分线，回答下列问题：

如图①，AD是AABC的角平分线，则有/BAD=NDAC=g/BAC；

总结归纳：三角形的角平分线有2条，相交于二点，且在三角形的内部.三角形的角平

分线是线段,而角的角平分线是射线.

点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线都是线段.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视.（5分钟）

完成课本P5页的练习题1,2.

k合作.探—>

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果.（10分钟）

探究1如图，在aABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，贝打

⑴・••AE是AABC的中线，土医

（2）VAD是4ABC的角平分线，ZBAD=ZDAC=|zBAC；

（3）：AF是AABC的高，/.ZAFB=ZAFC=90°；

⑷,.•AE是△ABC的中线,；.BE=CE,又△砒=<BE•AF,S△祝=|cE•AF,，S△樨=S

z------z------

AACE.

点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质，也可以做为判定定理用.

A

探究2如图，AABC中，AB=2,BC=4,AABC的高AD与CE的比是多少？

解：v|AB•CE=|BC•AD,AB=2,BC=4,ACE=2AD,AAD：CE=1：2.

f跟/晚逸>4，学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（5分钟）

1.三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（。

A.直线B.射线

8

C.线段D.射线或线段

2.一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（而

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

3.能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（9

A.中线B.高

C.角平分线D.以上都正确

A

BC

4.如图，D,E是边AC的三等分点：

⑴图中有9个三角形，BD是三角形ABE中坦边上的中线，BE是三角形DBC中里边上

12

的中线，AD=DE=EC=-AC,AE=DC=~AC；

(2)S△ABD=(aDBE=SzXEBC=TSAABC

(3)SAABE=(△DBC=求△ABC.

区丝嵬（i分钟）

1.三角形的高、中线和角平分线都是线段.

2.三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定

三角形高、中线和角平分线的判定定理.

/课堂处箍_»（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

僮里色区—（10分钟）

11.1.3三角形的稳定性

卜学'习昌彝.

通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性

在生产、生活中的应用.

Hr点唯焉.

重、难点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.

k-'习号号>

一、自学指导

自学：自学课本P6—7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空.（5分钟）

将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：

9

(D如图①，扭动三角形木架，它的形状会改变吗？

⑵如图②，扭动四边形木架，它的形状会改变吗？

③

总结归纳：由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状

会改变.

(3)如图③，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.想一想其中的道理是什么？

总结归纳：三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视.(5分钟)

1.课本P7页练习题第1题.

2.请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例.

If合>

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果.(10分钟)

探究1要使四边形不变形，最少需要加L条线段，五边形最少需要加工条线段，六边

形最少需要加2条线段……n边形(n>3)最少需要加包二立条线段才具有稳定性.

点拨精讲：过一点把一个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段.

探究2等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形分成9c",15M两部分，求此等腰

三角形的周长是多少？

|x+^x=15,

解：设等腰三角形的腰长为xcm,底边长为ycm,依题意得，当x>y时，11

y+gx=9,

x+Jx=9,,_

2Ix—6,

解得c*--6+6=12,不符合三角形的三边关

,1一u〔y=12,

y।之x15,

系，故舍去....此三角形的周长为10+10+4=24(CR).

答：此等腰三角形的周长为24cm.

点拨精讲：此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系.

跟踪练4-学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.(10分钟)

1.课本P9页第10题.

2.下列图形具有稳定性的有(。

A.梯形B.长方形

C.三角形D.正方形

3.体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数个三角形，是因为：三角形具有稳定性.

4.已知AD,AE分别是aABC的中线、高，且AB=5cm,AC=3cm,则△ABD与△ADC

10

的周长之差为2cm-,AABD与的面积关系是相等.

5.如图，D是AABC中BC边上的一点，DE〃AC交AB边于E,DF〃AB交AC边于F,且

/ADE=NADF.求证：AD是aABC的角平分线.

证明：VDE/7AC,DF〃AB,NADE=/DAC,/ADF=NDAB,又：/ADE=NADF,AZ

DAC=ZDAB,AAD是AABC的角平分线.

「点拨科研（1分钟）

三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用.

f课堂盘、笼—（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（当堂训隹一（12分钟）

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角（1）

?学'习E彝＞

1.会用不同的方法证明三角形的内角和定理.

2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题.

卜一点举点、,

重点：三角形内角和定理的应用.

难点：三角形内角和定理的证明.

?预'习与—:

一、自学指导

自学1：自学课本P11—12页“探究”，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列

填空.（5分钟）

归纳总结：三角形内角和定理一一三角形三个内角的和等于180°.

已知：AABC.求证：/A+/B+/C=18（T.

A

点拨精讲：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.作辅助线是几何证

明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线.

证明：延长区_到点D,过点B作BE〃AC,：BE〃AC,，N1=/A,N2=NC,VZ1

+Z2+ZABC^180°,.,./A+/ABC+/C=180°.

自学2：自学课本P12—13“例1、例2"，掌握三角形内角和的应用.（5分钟）

你可以用其他方法解决例2的问题吗？

11

・北北

点拨精讲：可过点C作CF〃AD,可证得CF〃BE,同时将NACB分成NACF与NBCF,求

出这两个角的度数，就能求出/ACB.

解：过点C作CF〃AD,VAD/7BE,，CF〃BE,VCF/7AD,CF〃BE,AZACF=ZDAC=

50°,/FCB=/CBE=40°,/ACB=NACF+/FCB=50°+40°=90°,VZCAB=ZDAB

-ZDAC=80°-50°=30°,AZABC=1800-ZCAB-ZACB=180°-30°-90°=

60°.

答:从B岛看A,C两岛的视角NABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角/ACB是90°.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视.（5分钟）

完成课本P13页的练习题1,2.

点拨精讲：仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角.

k合，作勒先）

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果.（7分钟）

探究1①一个三角形中最多有L个直角；②一个三角形中最多有L个钝角；③一个三

角形中至少有2个锐角；④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为K二.为什么？

点拨精讲：三角形的内角和为180°.

探究2如图，在AABC中，EF与AC交于点G,与BC的延长线交于点F,NB=45°,

ZF=30°,ZCGF=70°,求NA的度数.

解：在aCGF中，/GCF=180°—/CGF-NF=180°-70°-30°=80°,，/ACB=

180°-ZGCF=180°-80°=100°，在aABC中，NA=180°-ZB-ZACB=180°-45°

-100°=35°.

跟踪强一学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（8分钟）

1.课本P16页复习巩固第1题.

2.在AABC中，NA=35°,/B=43°,则/C=102°.

3.在4ABC中，ZA：ZB：ZC=2：3：4,则ZB=60°,ZC=80°.

4.在aABC中，如果NA=J/B=；NC,那么AABC是什么三角形？

乙O

解：VZA=|zB=1zC,.*.ZB=2ZA,ZC=3ZA,VZA+ZB+ZC=180°,AZA

+2ZA+3ZA=180°,.,.ZA=300,/.ZB=60°,/C=90°,/XABC是直角三角形.

但茎盘及f（3分钟）为了说明三角形的内角和为180。，转化为一个平角或同旁内角

互补，这种转化思想是数学中的常用方法.

（谋堂小练f（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

12

（当堂分钟）

13

11.2.1三角形的内角（2）

上学'习.。礴:

1.掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定.

2.能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题.

lr童，点.雎点、＞

重、难点：理解和运用直角三角形的性质与判定.

》预'习■&•一1

一、自学指导

自学：自学课本P13—14页，掌握直角三角形的表示方法及其性质，完成下列填空.（5

分钟）

总结归纳：（1）直角三角形可以用符号“一△”表示，直角三角形ABC可以写成应△ABC.

（2）直角三角形的两个锐角互余.

（3）有两个角互余的三角形是直角三角形.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视.（10分钟）

1.在以△ABC中，ZC=90°,ZA=2ZB,求出NA,NB的度数.

解：应aABC中，NA+/B=90°（直角三角形的两个锐角互余）.

VZA=2ZB,.,.2ZB+ZB=90°，AZB=30°,ZA=60°.

2.如图，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,/ACD与/B有什么关系？为什么？

解：结论：ZACD=ZB.

理由如下：在股Z\ACB中，ZA+ZB=90°,在以ZXACD中，ZA+ZACD=90°,AZ

ACD=/B.

点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便地证出两角的相等关系.

3.如图，NC=90°,ZAED-ZB,4ADE是直角三角形吗？为什么？

解：结论：4ADE是直角三角形.

理由如下：在aAABC中，ZA+ZB=9O0（直角三角形的两个锐角相等）.

14

VZAED=ZB,.,.ZA+ZAED=90°,.-.AADE是直角三角形（有两个角互余的三角形

是直角三角形）.

k合作得先＞

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果.（10分钟）

探究1如图，AB〃CD,AE,CE分别平分NBAC,NACD.求证：4ACE是灯△.

证明：VAB/7CD,.".ZBAC+ZACD=180°,VAE,CE分别平分NBAC,ZACD,/.ZEAC

=|zBAC,ZACE=|zACD,AZEAC+ZACE=1zBAC+|zACD=90°,ZXACE是服△（有

两个角互余的三角形是直角三角形）.

探究2如图，在位/XABC中，/C=90°,AD,BD是/CAB,/CBA的角平分线，求ND

的度数.

解：在灯AABC中，ZCAB+ZCBA=90°,

VAD,BD是/CAB,ZCBA的角平分线，/.ZDAB=|zCAB,ZDBA=|zCBA,AZDAB

+ZDBA=1zCAB+|zCBA=45°,在AADB中，ND=180°-（ZDAB+ZDBA）=180°-

45°=135°.

f跟基售4，.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（5分钟）

1.在AABC中，ZA：ZB：/C=l：2：3,则此三角形是直角三角形.

C

ADB

2.如图，在aABC中，ZACB=90°,ZACD=ZB.

求证：AACD是服△.

证明：在^aABC中，ZA+ZB=90°（直角三角形的两个锐角互余）.

VZACD-ZB,AZA+ZACD=900,;.△ACD是以△（有两个角互余的三角形是直角

三角形）.

k点'拨.糖因＞（3分钟）1.直角三角形的性质:两个锐角互余.

2.直角三角形的判定：①有一个角是直角；②两边互相垂直；③有两个角互余；

（堡里/遴—（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

匕当'堂.训薛》（10分钟）

15

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

教学目标＜

1.理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.

2.掌握直角三角形的两个锐角互余，能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角

形进行判定.

重点

三角形内角和定理

难点

三角形内角和定理的推理过程.

教学设计〈

一、情境导入

我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°,怎样证明这个结论的正确性呢？小学

中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能

证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？

二、探究新知

（一）探究三角形的内角和

1.在所准备的三角形硬纸上标出三个内角的编码.

出/BCD的度数，可得到NA+NB+NACB=180°.

3.把/B和/C剪下按下图拼在一起，用量角器量一量NMAN的度数，会得到什么结果？

（3）

教师在学生完成后，提出问题：

在图⑵中直线CM与AB是什么关系？

在图⑶中直线MN与BC是什么关系？

你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？

（二）证明三角形内角和定理

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。.

16

已知：△ABC,如图.

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法,然后规范地写出证明

过程.注意向学生提示辅助线要用虚线.

这一过程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程.教师可以采用示范一个，练习

一个的方式.用如上图的方法进行教师示范，用如下图的方法让学生进行练习.

想一想，还有没有其他的方法？（利用同旁内角互补）

三、举例分析

教师用多媒体出示例1,要求学生独立完成.

学生说出解题过程，教师讲评，规范格式.

老师利用多媒体出示例2,学生先读题，弄懂题意，然后师生共同分析解题.

之后教师可进一步向学生提问：“还有没有其他的方法来解决.”

教师指导学生尝试探究直角三角形的两个锐角之间的关系，要求写出推理过程.

学生汇报结果，师生总结得到“直角三角形的两个锐角互余”.

教师多媒体出示例3,指名板演，集体讲评，注重讲题说理.接着让学生思考：有两个

角互余的三角形是否是直角三角形？（简单说明理由）

四、课堂练习

练习：教材练习.

补充练习：

1.三角形中最大的角是70°,那么这个三角形是锐角三角形.（）

2.一个三角形中最多只有一个钝角或直角.（）

3.一个等腰三角形一定是锐角三角形.（）

4.一个三角形最少有一个角不大于60°.（）

5.一个三角形中有两个角分别是40°,50°,则这个三角形是直角三角形.（）

五、小结与作业

小结：谈谈本节课的收获.

教师引导学生从定理的证明过程和对例题中解题的思路方法的角度进行小结.

布置作业：习题11.2第1,2,3,7题，选做题：第9题.

教学反思＜

在教学中，当引出课题后，先引导学生积极讨论交流探究三角形内角和的方法，再引导

学生通过探究活动来得出结论.当学生有困难时，教师也参与学生的研究，适当进行点拨,

并充分进行交流反馈，给学生创造了一个宽松和谐的探究氛围.

11.2.2三角形的外角

17

?学'习昌林,

1.探索并了解三角形的外角的两条性质，利用学过的定理证明这些性质.

2.能利用三角形的外角性质解决实际问题.

卜量T点举漏>

重点：三角形外角的性质.

难点：运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题.

/预'习等学

一、自学指导

自学1：自学课本P14页，掌握三角形外角的定义，完成下列填空.（3分钟）

如图1,把AABC的边BC延长到D,我们把/ACD叫做三角形的处鱼.

思考：①在aABC中，除了NACD外，还有那些外角？请在图2中分别画出来；②以点

C为顶点的外角有2个，所以AABC共有殳个外角；③外角/ACD与内角NACB的关系是：互

为邻补角.

总结归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角；每一个三角

形都有9个外角；每一个顶点相对应的外角都有2个;每个外角与它相邻的内角互为邻补角.

自学2：自学课本P15页“探究与例4”，理解三角形外角的性质并学会运用.（7分钟）

BCD

如图，aABC中，NA=70°,/B=60°,/ACD是AABC的一个外角.能由内角/A,

NB求出外角NACD吗？如果能，外角NACD与内角NA,NB有什么关系？认真思考，完成

下面的填空：

（1）ZACB=50°,ZACD=130°,ZA+ZB=130°,ZACD^ZA+ZB；（iX

或“=”）

（2）ZACD>ZA,NACD④NB.（填“>”或“=”）

总结归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内更的和；三角形的一个外角大于

任何一个与它不相邻的内角.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视.（5分钟）

1.如图，是Z\BFD的外角有NCDA,NBFC,NDFE,以NAEB为外角的三角形是丝生

ACEB.

2.如图，Zl,Z2,N3是aABC不同的三个外角，求/1+N2+/3.

18

解：VZ1=ZABC+ZACB,Z2=ZBAC+ZACB,Z3=ZABC+ZCAB,AZ1+Z2+

Z3=2（ZABC+ZACB+ZBAC）,VZABC+ZACB+ZBAC=180°,/l+/2+/3=2X

180°=360°.

3.课本P15页练习题.

》合作赛—>

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果.（10分钟）

探究1如图，在aABC中，ZA=a,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P,且

/P=B,试探求下列各图中a与B的关系，并选一个结论加以证明.

证明：（略）

探究2如图，ZA=50°,ZB=40°,ZC=30°,求/BPC的度数.

解：连接AP并延长到点E,：/BPE=/B+/BAP,ZCPE=ZC+ZCAP,又•.•/BPC=

ZBPE+ZCPE,AZBPC=ZB+ZBAP+ZC+ZCAP=ZBAC+ZB+ZC=50°+40°+30°

=120°.

跟踪型一学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（5分钟）

1.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（。

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

2.已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4,则它的最大内角的度数为（。

A.90°B.110°C.100°D.120°

3.如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6^360°.

错误!

4.如图，BE〃CF,ZB=500,/C=75°,求NA的度数.

19

解：VBE/7CF,.,.ZADE=ZC,VZADE=ZB+ZA,.\50°+ZA=75°,AZA=25°.

凶盘型J（3分钟）1.三角形的每个顶点处都有2个外角，这两个外角互为对顶角，

外角与它相邻的内角互为邻补角.

2.在三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角的和为360°.

3.三角形外角的性质是三角形有关角的计算与证明的常用依据.

,课堂生维»（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

［当‘堂四稀》（10分钟）

11.2.2三角形的外角

教学目标＜

1.了解三角形的外角.

2.知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

3.学会运用简单的说理来计算三角形相关的角.

重总难后＜

重点

三角形外角的性质.

难点

运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理.

一、复习引入

什么是三角形的内角？它是由什么组成的？

三角形内角和定理的内容是什么？

教师提出问题，学生举手回答问题.

二、探究新知

1.探究三角形外角的概念.

教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完成以下问题:

（1）举例说明什么是三角形的外角.（上黑板画图说明）

（2）如图，ZADB,ZBPC,ZBDC,NDPC分别是哪个三角形的外角?

A

/

BC

2.探究三角形外角的性质.

老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间进行交流、讨论，归纳三角形

的外角有什么性质，并提出以下问题：

你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？

学生归纳得出三角形外角的性质：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

三、举例分析

20

例1如图，ZBAE,ZCBF,/ACD是aABC的三个外角，它们的和是多少？

教师出示教材例4,先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角

转化为三角形的内角，然后师生共同写出规范的解答过程.

解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得NBAE=N2+N3,ZCBF

=N1+N3,ZACD-Z1+Z2.

所以NBAE+NCBF+NACD=2