黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

初二教学质量监测数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟．2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】解：A、最简二次根式，符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、，不是最简二次根式，不符合题意；D、，不是最简二次根式，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．2.下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行选择即可．【详解】A．，与是同类二次根式，故正确；B．，与不是同类二次根式，故错误；C．，与不是同类二次根式，故错误；D．，与不是同类二次根式，故错误；故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．3.下列条件下，不是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理进行计算即可解答．【详解】解：A、，，是直角三角形，选项说法错误，不符合题意；B、，设，，，，，，是直角三角形，选项说法错误，不符合题意；C、，，，，是直角三角形，选项说法错误，不符合题意；D、，，，，，不是直角三角形，选项说法正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．4.直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（）A.8 B.10 C.8或 D.10或【答案】C【解析】【分析】分别以10为直角边、10为斜边两种情况按勾股定理解答即可．【详解】解：当10为直角边时，斜边=；当10为斜边时，另-条直角边==8．故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和分类讨论思想是解答本题的关键．5.下列运算正确的是（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减法、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则依次进行判断．【详解】解：A、不能合并，所以A选项错误；B、原式=，所以B选项错误；C、原式=，所以C选项正确；D、原式=，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．6.菱形的对角线长分别是,则这个菱形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的面积公式：菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）可得到答案．【详解】菱形的面积：故选：B．【点睛】此题主要考查了菱形的面积公式，关键是熟练掌握面积公式．7.如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（）A.6 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．【详解】解：由勾股定理得：，即，，，由图形可知，阴影部分的面积为，阴影部分的面积为，故选：B．8.如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（）A.1 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EFAG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，∵AM＝DM＝DC＝2，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝2，在Rt△ACN中，∵AC＝2，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴ANAC，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EFAG，易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值为，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题．9.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋b的结果是()A.1 B.b＋1C.2a D.1－2a【答案】A【解析】【详解】由数轴可得：a−1<0，a−b<0，则原式=1−a+a−b+b=1故选：A10.我们规定：对于任意的正数，的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据新定义当时，；当时，即可解答．【详解】解：∵当时，，∴，∵当时，，∴，∴，故选．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．二、填空题（每小题3分，满分21分）11.函数的自变量的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【详解】解：根据题意得：，解得：且．故答案为：且．【点睛】本题考查了函数自变量的范围的求法，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.如图，在平行四边形中，两点均在对角线上．要使四边形为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是__________（写出一个即可）．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可．【详解】如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OB=OD，OA=OC，

若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，

故答案为：AE=CF．答案不唯一．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．13.在中，，，的对边分别为a，b，c，有以下5个条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断是直角三角形的是__________（填序号）．【答案】②③④⑤【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理对选项一一判定即可．【详解】解：①，设，则，，∵∴，则，，，故①不是直角三角形．②，设，，，则，，则，故②为直角三角形．③∵，设，则，，∴，故③为直角三角形．④化简为：，则：，故④为直角三角形，⑤，∵，∴，∴，故⑤为直角三角形，故答案为：②③④⑤.14.如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________．【答案】【解析】【分析】利用勾股定理求出的长进而求出的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案．【详解】解：如图所示，由勾股定理得，∴，∵数轴上点A所表示的数为a，∴a的值是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键．15.如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若则的值为_______【答案】【解析】【分析】本题主要考查矩形与折叠、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．连接，由折叠可知，，由可得，进而得到，则，设，则，在中，利用勾定理建立方程，求解即可．【详解】∵四边形为矩形，，∴，由折叠可知，，∵，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴．故答案为：．16.等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为_______．【答案】或或【解析】【分析】分点是顶角顶点、点是底角顶点、在外部和在内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．【详解】解：①如图1，当点是顶角顶点时，，，，，，在中，；②如图2，当点是底角顶点，且在外部时，，，，，；③如图3，当点是底角顶点，且在内部时，，，，，；故答案为：或或．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．17.如图，正方形中，，与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段______．【答案】【解析】【分析】本题考查了图形类规律探索、正方形的性质、解直角三角形；利用正方形的性质得到，，求出，从而可得，同理得到，利用此变化规律得到，然后代入计算即可．【详解】解：四边形是正方形，，，∵与直线l所夹锐角为，，，，同理可得：，，．．．．．．∴，∴故答案为：．三、解答题（本题共69分）18.（1）（2）（3）先化简再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；（3），【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值；（1）先算除法和乘法，再算加减即可；（2）先化简各项，再合并同类二次根式即可；（3）先化简分式，再代入求值即可．【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式当时，原式．19.在四边形中，，．（1）求．（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积；

（1）利用勾股定理求出的长度，在中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，可得；

（2）根据四边形的面积计算即可求解．【小问1详解】在中，由勾股定理得：在中，，，，∴是直角三角形，．【小问2详解】四边形的面积．20.观察下列各式及验证过程：，验证；，验证：；，验证：.（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想________；（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（3）针对上述各式反映的规律，写出用自然数n表示的等式，并进行验证.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）——（3）均根据题中各式的验证过程仿写即可.详解】解：（1）.（2）猜想.验证.（3）.验证：.【点睛】本题考查了二次根式，属于模仿题型，理解题中各式的求解方法是解题的关键.21.今日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240千米的B处，以每时12千米的速度向北偏东60度方向移动，距沙尘暴中心150千米的范围为受影响区域．（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A城受这次沙尘暴的影响，遭受影响的时间有多长？【答案】（1）受影响，理由见解析（2）15小时【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，在中，由题意可知，由此可以求出的长度，然后和150比较大小即可判断城是否受到这次沙尘暴的影响；（2）如图，设点，是以为圆心，为半径的圆与的交点，根据勾股定理可以求出的长度，也就求出了的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间．【小问1详解】解：过点作，垂足为，在中，由题意可知，，，城将受这次沙尘暴的影响；【小问2详解】设点，是以为圆心，为半径的圆与的交点，连接，，由题意得，，城受沙尘暴影响的时间为：（小时），答：城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15小时．【点睛】此题考查了直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，当然首先正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的前提．22.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则

DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键23.综合与实践情景再现：我们动手操作：把正方形沿对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时，问题也随旋转应运而生．如图①把正方形沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形和．（1）问题呈现我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形①若点P是平面内一动点，，则线段的取值范围是___________．②直接写出线段与的关系是___________．（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线上，交直线于M．①当点E在上时，如图③所示，求证：；②当点E在的延长线时，如图④所示，则线段具有的数量关系为___________；当点E在的延长线上时，如图⑤所示，则线段具有的数量关系为___________；问题拓展（3）在（2）的条件下，连接，当，其他条件不变，则线段的长为___________．【答案】（1）；且（2），，（3）1或4【解析】【分析】（1）①根据点P是平面内一动点，，可知点P在以A点为圆心，以1为半径的圆上，从而可得点P在上时，有最小值，点P在的延长线上，有最大值，分别进行求解即可；②证明即可得出结论；（2）①过点F作，交的延长线于点G，证明即可得出结论；②过点F作，交的延长线与点N，证明即可得出结论；③过点F作于点H，证明即可得出结论；（3）连接，根据和（2）中的三种情况进行分类讨论即可．【小问1详解】解：①∵点P是平面内一动点，，∴点P在以A点为圆心，以1为半径的圆上，∴点P在上时，有最小值，，点P在的延长线上，有最大值，，，②∵和是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，故答案为：；且．【小问2详解】解：①如图3，过点F作，交的延长线于点G，连接，，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，∵四边形是正方形，，又，∴四边形是矩形，∴∴∴，又∵∴∴四边形是正方形，，，．②如图4，过点F作，交的延长线与点N，∵，，是等腰直角三角形，，，，又，，在和中，，，，同理①可得四边形是正方形，，．③如图5，过点F作于点H，，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，同②可得四边形是正方形，，．小问