黑龙江省佳木斯市抚远市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

黑龙江省佳木斯市抚远市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题考生注意：1．考试时间90分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列各式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．【详解】A．是最简二次根式，此项符合题意；B．是三次根式，此项不符题意；C．，不是最简二次根式，此项不符题意；D．，不是最简二次根式，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．2.在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位：）不正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判断剪掉的三角形三边是否符合勾股定理，根据勾股定理的逆定理解题．【详解】解：A.，，故A不符合题意；B.，故B符合题意；C.，故C不符合题意；D.，故D不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，即可得出答案；【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意，选项错误；B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误；C、，原计算错误，不符合题意，选项错误；D、，原计算正确，符合题意，选项正确，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．4.如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（）A.6 B.5 C.8 D.7【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案．【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，∴由勾股定理得：；故选：D．5.如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（）A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等【答案】B【解析】【分析】本题考查尺规作图及平行四边形的判定，涉及尺规作图作相等线段，再由平行四边形的判定即可得到答案，熟记尺规作图及平行四边形的判定是解决问题的关键．【详解】解：由作图知，，∴四边形为平行四边形，综合四个选项，判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等，故选：B．6化简：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断．【详解】∵被开方数大于或等于0，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、利用了二次根式的乘除法、二次根式的性质，注意a是负数是解题关键．7.如图，中，，分别是其角平分线和中线，过点B作于G，交于F，连接，则线段的长为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理得到，根据等腰三角形性质得到，求得，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】解：中，，∴，∵平分，∴在和中，，∴，∴，∴，∵是的中线，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．8.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，则，根据等边对等角得到，设，则，则可推出，，则由平角的定义可得答案．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，，∴，故选：B．9.如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：在矩形纸片中，，，∴，，，∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，∴，，，∴，设，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，∴，，，∴，设，则，∵，∴，∴，∴线段GP长为，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．10.如图，平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.①②⑤ D.①③④【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义可得，进而可得，然后结合已知条件可得AB=AE=BE，于是可判断②；根据等边三角形的性质可得，然后根据SAS即可证明，从而可判断①；由与等底（）等高（与间的距离相等）可得，而易得，于是可得，进而可判断⑤；若=，则根据等腰三角形的性质和平行线的性质易得，但题中未限定这一条件，从而可判断③④不一定正确；于是可得答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∵，∴AB=AE=BE，∴是等边三角形；故②正确；∴，∵，∴；故①正确；∵与等底（）等高（与间的距离相等），∴，又∵与同底等高，∴，∴；故⑤正确．若=，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，即，即，但题中未限定这一条件，∴③④不一定正确；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11.代数式子有意义，则的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式的分母不为0，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：且，解得：且；故答案为：且．12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：______，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．【答案】AD=BC．【解析】【分析】直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案．【详解】当AD∥BC，AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形．故答案是AD=BC（答案不唯一）．13.若，则=_________．【答案】16【解析】【分析】由二次根式有意义的条件可得：，求解再求解，从而可得答案.【详解】解：由题意得：由①得：由②得：所以：故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，求一个数算术平方根，一元一次不等式组的解法，以及有理数的除法运算，掌握以上知识是解题的关键.14.如图，，，，，数轴上点表示的数是_________．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求得的长，根据数轴即可求点表示的数．【详解】解：∵，，，，∴，数轴上点表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．15.已知菱形的两条对角线和交于点O，并且，．则菱形的周长为__________cm．【答案】36【解析】【分析】利用菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理，求出菱形的边长，即可求解．【详解】解：如图，∵菱形的两条对角线，交于点O，，，∴，，∴，∴菱形的周长为；故答案为：．【点睛】本题考查求菱形的性质、勾股定理．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．16.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，进而得到，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案．详解】解：由数轴可知，，∴，∴，故答案为：．17.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为______．【答案】6【解析】【分析】根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO，可将阴影部分面积转化为△BOC的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ADCB为菱形，∴OC=OA，AB∥CD，∠FCO=∠OAE，∵∠FOC=∠AOE，△CFO≌△AEO（ASA），∴S△CFO=S△AOE，∴S△CFO+S△BOF=S△BOC，∴S△BOC=SABCD=×AC•BD=××6×8=6，故答案为：6．【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为△BOC的面积为解题关键．18.如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是_________．【答案】【解析】【分析】首先根据B、C两点的坐标确定线段BC的长，然后根据A点向右平移线段BC的长度得到D点，即可由A点坐标求得点D的坐标．【详解】解：∵B，C的坐标分别是（−2，−2），（2，−2），∴BC＝2−（−2）＝2＋2＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，∵点A的坐标为（0，1），∴点D的坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）．【点睛】本题主要考查了平行四边形性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC的长，难度不大．19.如图，在矩形中，，对角线相交于点为边上的动点，连接，则的最小值是______________．【答案】5【解析】【分析】过点E作于点M，作点D关于的对称点N，连接交于点，连接，，则，，，先证明当点P和重合时，取最小值，最小值即为的长，再求出，，在中，根据勾股定理得，即可得到答案．【详解】解：过点E作于点M，作点D关于的对称点N，连接交于点，连接，，则，，，∵，，∴当点P和重合时，取最小值，最小值即为的长，∵四边形是矩形，∴，，∴是等腰三角形，∴，∴是的中位线，，∴，在中，根据勾股定理得，即的最小值是5，故答案为：5【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，找到点P的位置是解题的关键．20.如图，在等腰中，，，以为直角边作等腰，以为直角边作等腰，，则的长度为______．【答案】【解析】【分析】根据题意分别求出，，，，，即得出其规律，即可解答．【详解】解：在等腰中，，，，，以为直角边作等腰，，，以为直角边作等腰，，，以为直角边作等腰，，，以为直角边作等腰，，，以为直角边作等腰，，，…的长度为：，故答案为：．【点睛】本题考查等腰直角三角形的定义，勾股定理和图形类规律探索．根据题意总结出规律是解题关键．三、解答题（满分60分）21.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算：（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；（2）先计算二次根式乘法，再计算二次根式加减法即可．【小问1详解】解：．【小问2详解】解：．22.先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算是解题的关键．23.如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．【答案】符合条件的图形如图所示见解析.【解析】【分析】利用数形结合的思想解决问题即可.【详解】符合条件的图形如图所示：【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝4，CD＝3．求直角边BC的长．【答案】2【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝6，由勾股定理得，BC＝＝＝2．【点睛】此题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25.如图，在中，D、E分别是边AC、BC的中点，延长EC至点F，使，过点D作DGBC（点G位于点D右侧），且，连接FG．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）若，求FG的长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）先证明，又DGBC即可得到结论；（2）先证明DE是的中位线，得到，由四边形DEFG为平行四边形，即可得到答案．【小问1详解】证明：∵，，∴，∵DGBC，∴四边形DEFG平行四边形．【小问2详解】解：∵D、E分别是边AC、BC的中点，∴DE是的中位线，∴，∵四边形DEFG为平行四边形，∴．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，证明四边形DEFG为平行四边形是解题的关键．26.定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若与是关于4的共轭二次根式，则__________（2）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．【答案】（1）（2）－2【解析】【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可；（2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可．【小问1详解】解：∵与是关于4的共轭二次根式，∴，∴．【小问2详解】∵与是关于12的共轭二次根式，∴∴，∴．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．27.如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合；点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）如图1，连接AE，请直接写出AE与AF有何数量关系，答：__________．（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，并加以证明．（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，当，时，求MN的长．【答案】（1）；（2），MN⊥DM，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）借助△ADF与△ABE全等可得；（2）在Rt△ANF和Rt△ADF中，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在△AEF中利用三角形中位线定理得证．【小问1详解】解：如图，，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∴BC﹣CE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∵AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，故答案为AE＝AF；【小问2详解】线段MD与MN的关系为：MD＝MN，MD⊥MN．证明：如图1，在Rt△ADF中，∵M是AF的中点，∴DMAF，∵N是EF的中点，∴MNAE，∵AE＝AF，∴DM＝MN，由（1）得：△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠FAD，∵DMAF＝AM，∴∠FAD＝∠ADM，∵∠FMD＝∠FAD+∠ADM＝2∠FAD，∵MN∥AE，∴∠FMN＝∠EAF，∵∠BAD＝∠EAF+∠BAE+∠FAD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，∴∠DMN＝∠