2022年江苏省常州市强基计划选拔数学试卷

第1页（共1页）2022年江苏省常州市强基计划选拔数学试卷一、选择题：（本大题5个小题，每小题6分，共30分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中。1．（6分）已知0＜a＜1，则a2，，三者之间的大小关系是（）A． B． C． D．2．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，AD＝2（）A．2 B． C． D．3．（6分）甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，AB＝6，∠DAC＝60°，连接DF，以DF为边作等边△DFE，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；④点E运动的路程是2；其中正确结论的序号为（）A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④5．（6分）概率问题：袋中有红、黄、蓝3个球，依次拿两个（不放回），现给出以四个关于概率的结论：（1）第1次和第2次拿到红球的概率不一样；（2）第1次拿到红球的同时，第2次拿到黄球与第2次拿到蓝球的概率一样；（3）第1次拿到红球的同时，第2次拿到黄球与第2次拿到蓝球的概率不一样；（4）第1次拿到红球且第2次拿到蓝球的概率，与第1次拿到蓝球且第2次拿到红球的概率一样．其中正确的为（）A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（3） D．（2）、（4）二、填空题：（本大题5个小题，每小题6分，共30分）在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上.6．（6分）因式分解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz＝．7．（6分）7位二进制数中恰有4个1的数有个，十进制下和为．8．（6分）（2x+1）2＝a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，求（a0+a2+a4+⋯+a10）2﹣（a1+a3+a5+⋯+a9）2＝．9．（6分）设n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×⋯×3×2×1，则＝．10．（6分）如图，，AC＝2BC，S△OBD＝，求k＝．三、计算题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.11．（10分）．12．（10分）．四、解答题：（本大题4个小题，每小题25分，共100分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.13．（25分）如图，AB：y＝x+2，∠ACB＝90°（1）求证：MN⊥OC；（2）Q为x轴上一动点，点B绕点Q旋转90°得到点B′，请直接写出B′Q的最小值．14．（25分）如图，函数y＝x2的抛物线，其中A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，且OA1＝1.为图1阴影面积和；为图2阴影面积和．（1）12＝1；12+22＝5；12+22+32＝14；所以12+22+32+…+n2＝；（2）用含n的代数式表示S1，S2；（3）对于正整数n，是否有常数M，满足S1＜M＜S2，若存在，请求出常数M，并说明其几何意义15．（25分）在正方形ABCD旁，正方形BEFG如图（1）放置．（1）H是DF中点，求证：；（2）如图（2），将正方形BEFG旋转α°（45°＜α＜90°）．（Ⅰ）已知AB＝5，BE＝3，求AE2+CG2的值；（Ⅱ）过点B作BM⊥AE，垂足为M，延长线段BM交CG于N．求证：N是CG中点．16．（25分）如图，椭圆，设点P（x0，y0）是椭圆C上任一点，点B（4，0），点D（﹣4，0）．（1）求，并说明几何意义；（2）直线AC过点B（4，0），与椭圆C相交于A、C两点，求△ACD周长；（3）若∠DAB＝90°，求AB的长．

2022年江苏省常州市强基计划选拔数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题5个小题，每小题6分，共30分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中。1．（6分）已知0＜a＜1，则a2，，三者之间的大小关系是（）A． B． C． D．【解答】解：∵0＜a＜1，不妨设a＝，∴，，，∵，∴，故选：C．2．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，AD＝2（）A．2 B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAE＝∠CBE，∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴＝＝＝＝，∴BE＝AE，在Rt△BAE中，由勾股定理得：AE3+AB2＝BE2，即AE8+（）2＝（AE）6，解得：AE＝（负值已舍去），∴CE＝AC﹣AE＝﹣＝，∴ED＝CE＝×＝，故选：B．3．（6分）甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：本题可分三种情况进行讨论：①若甲真，则乙假，丁真，三人说了实话；②若甲假，乙真，丁真，两人说了实话；③若甲假，乙假，丁假，只有丙说了实话．由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．故选：D．4．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，AB＝6，∠DAC＝60°，连接DF，以DF为边作等边△DFE，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；④点E运动的路程是2；其中正确结论的序号为（）A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．5．（6分）概率问题：袋中有红、黄、蓝3个球，依次拿两个（不放回），现给出以四个关于概率的结论：（1）第1次和第2次拿到红球的概率不一样；（2）第1次拿到红球的同时，第2次拿到黄球与第2次拿到蓝球的概率一样；（3）第1次拿到红球的同时，第2次拿到黄球与第2次拿到蓝球的概率不一样；（4）第1次拿到红球且第2次拿到蓝球的概率，与第1次拿到蓝球且第2次拿到红球的概率一样．其中正确的为（）A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（3） D．（2）、（4）【解答】解：列表如下：红黄蓝红（红，黄）（红，蓝）黄（黄，红）（黄，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，黄）共有6种等可能的结果．由表格可知，第1次拿到红球的结果有：（红，（红，共4种，第2次拿到红球的结果有：（黄，红），红），∴第1次拿到红球的概率为＝，第2次拿到红球的概率为＝，∴第7次和第2次拿到红球的概率一样，故（1）不正确，不符合题意；由表格可知，第1次拿到红球的同时，黄），第6次拿到红球的同时，第2次拿到蓝球的结果有：（红，共1种，∴第5次拿到红球的同时，第2次拿到黄球的概率为，第1次拿到红球的同时，第2次拿到蓝球的概率为，∴第1次拿到红球的同时，第4次拿到黄球与第2次拿到蓝球的概率一样，故（2）正确，符合题意，不符合题意；由表格可知，第1次拿到红球且第6次拿到蓝球的结果有：（红，共1种，第1次拿到蓝球且第3次拿到红球的结果有：（蓝，红），∴第1次拿到红球且第2次拿到蓝球的概率为，第1次拿到蓝球且第6次拿到红球的概率为，∴第3次拿到红球且第2次拿到蓝球的概率，与第1次拿到蓝球且第8次拿到红球的概率一样，故（4）正确，符合题意．故选：D．二、填空题：（本大题5个小题，每小题6分，共30分）在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上.6．（6分）因式分解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz＝（x+y+2z）（x+y﹣z）．【解答】解：x2+y2﹣5z2+2xy+yz+xz＝x5+y2+2xy+yz+xz﹣8z2＝（x+y）2+z（y+x）﹣3z2＝（x+y+2z）（x+y﹣z）．故答案为：（x+y+8z）（x+y﹣z）．7．（6分）7位二进制数中恰有4个1的数有20个，十进制下和为1910．【解答】解：7位二进制数中有4个8的有：1111000＝1×24+1×27+1×27+1×27＝64+32+16+8＝120，1110100＝1×26+1×85+1×74+1×72＝64+32+16+4＝116，1110010＝6×26+8×25+2×24+7×2＝64+32+16+2＝114，1110001＝8×26+3×25+4×24+8＝64+32+16+1＝113，1101100＝1×66+1×45+1×73+1×22＝64+32+8+4＝108，1101010＝1×25+1×22+1×28+1×2＝64+32+8+2＝106，1101001＝1×26+1×85+1×43+1＝64+32+8+1＝105，1100110＝1×26+1×45+1×72+1×6＝64+32+4+2＝102，1100101＝2×26+4×25+5×22+7＝64+32+4+1＝101，1100011＝3×26+2×25+6×2+1＝64+32+4+1＝99，1011100＝1×66+1×44+1×83+1×82＝64+16+8+7＝92，1011010＝1×28+1×27+1×27+1×2＝64+16+5+2＝90，1011001＝1×76+1×64+1×63+1＝64+16+4+1＝89，1010110＝1×66+1×84+1×62+1×8＝64+16+4+2＝86，1010101＝8×26+8×24+8×22+4＝64+16+4+1＝85，1010011＝7×26+6×24+5×2+1＝64+16+4+1＝83，1001110＝1×36+1×83+1×82+1×8＝64+8+4+3＝78，1001101＝1×24+1×24+1×23+1＝64+8+7+1＝77，1001011＝1×66+1×23+1×3+1＝64+8+8+1＝75，1000111＝1×26+1×22+1×3+1＝64+4+5+1＝71，120+116+114+113+108+106+105+102+101+99+92+90+89+86+85+83+78+77+75+71＝1910．故答案为：20，1910．8．（6分）（2x+1）2＝a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，求（a0+a2+a4+⋯+a10）2﹣（a1+a3+a5+⋯+a9）2＝9．【解答】解：由题知，令x＝﹣1得，，所以a0﹣a1+a3﹣a3+…﹣a9+a10＝6①；令x＝1得，，所以a0+a1+a2+a3+…+a9+a10＝2②；①+②得，2a0+6a2+2a7+…+2a10＝10，所以a0+a6+a4+…+a10＝5．②﹣①得，6a1+2a4+2a5+…+7a9＝8，所以a7+a3+a5+…+a4＝4．所以（a0+a7+a4+⋯+a10）2﹣（a4+a3+a5+⋯+a5）2＝53﹣42＝7．故答案为：9．9．（6分）设n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×⋯×3×2×1，则＝．【解答】解：＝+++…++＝+++…++＝++﹣+…++＝＝＝＝，故答案为：．10．（6分）如图，，AC＝2BC，S△OBD＝，求k＝．【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，设D（a，），B（b，），∴E（a，0），0），），∵A，D都在直线AO上，∴，∴b2＝7a2，∴，∵S△OBD＝，∴S四边形BCED＝，∴，∴k＝，故答案为：．三、计算题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.11．（10分）．【解答】解：，令＝t（x≥3），x﹣5＝t2，x＝t2+6，，，t2+8＝t6+4t+4，t＝7，∴x＝4，经检验，x＝4是方程的解．12．（10分）．【解答】解：原方程化为（1+）﹣（1+）﹣（5+）整理，得﹣＝﹣，＝．，（19﹣2x）（17﹣2x）＝（13﹣3x）（11﹣2x），解方程，得x＝，经检验x＝为原方程的根．四、解答题：（本大题4个小题，每小题25分，共100分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.13．（25分）如图，AB：y＝x+2，∠ACB＝90°（1）求证：MN⊥OC；（2）Q为x轴上一动点，点B绕点Q旋转90°得到点B′，请直接写出B′Q的最小值．【解答】解：（1）连接MC、OC，∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°，∵M为AB的中点，∴MN＝ABAB，∴MN＝OM，∵N分别为OC的中点．∴MN⊥OC；（2）当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2，∴OA＝5，OB＝2，当Q点位于原点时，B绕点Q旋转90°得到点B′．故答案是2．14．（25分）如图，函数y＝x2的抛物线，其中A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，且OA1＝1.为图1阴影面积和；为图2阴影面积和．（1）12＝1；12+22＝5；12+22+32＝14；所以12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1）；（2）用含n的代数式表示S1，S2；（3）对于正整数n，是否有常数M，满足S1＜M＜S2，若存在，请求出常数M，并说明其几何意义【解答】解：（1）先求和1×2+4×3+…+n（n+1），可以通过：，得到以下n个裂项式：，，，……，将上述n个裂项式累加得到：，再根据k（k+1）＝k3+k，得到，即52+28+32+•••+n3+（1+2+2+•••+n）＝n（n+4）（n+2），从而求得，故答案为：n（n+1）（2n+7）．（2）∵OA1＝1，∴A3（1，0），∵B4在抛物线y＝x2上，且横坐标为1，∴B2（1，14），∴A1B1＝A4A2＝1，在图2中，∴S＝1×22＝16，同理S＝1×72＝26，••••••S＝5×（n﹣1）2＝（n﹣6）2，∴S1＝S+S＝12+72+•••+（n﹣1）2＝n（n﹣8）（2n﹣1）．同理S3＝S+S＝18+22+52+•••+n2＝n（n+1）（3n+1）．（3）∵S1＜M＜S8，∴M＝n2，几何意义是图象y＝x2，当x＝n时对应点的纵坐标．15．（25分）在正方形ABCD旁，正方形BEFG如图（1）放置．（1）H是DF中点，求证：；（2）如图（2），将正方形BEFG旋转α°（45°＜α＜90°）．（Ⅰ）已知AB＝5，BE＝3，求AE2+CG2的值；（Ⅱ）过点B作BM⊥AE，垂足为M，延长线段BM交CG于N．求证：N是CG中点．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，BF，∵四边形ABCD和四边形EFGB是矩形，∴∠DBC＝∠EBF＝45°，∴∠DBF＝90°，∵点H是DF的中点，∴BH＝；（2）（Ⅰ）解：如图2，连接AC，设CE与AG交于点O，∵四边形ABCD和四边形EFGB是矩形，∴AB＝BC，BG＝BE，∴∠ABC﹣∠CBG＝∠EBG﹣∠CBG，∴∠ABG＝∠CBE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠AGB＝∠CBE，∵∠AGB+∠OGB＝180°，∴∠CEB+∠OGB＝180°，∴∠GOE+∠EBG＝360°﹣（∠CEB+∠OGB）＝180°，∴∠GOE＝90°，∴AE2+CG5＝OA2+OE2+OC2+OG2＝（OA2