高考数学一轮总复习 第十一篇 第5讲 几何概率 理 湘教版

第5讲几何概率A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，则含有麦锈病种子的概率是 ()．A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001解析设事件A为“10mL小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概率的概率计算公式得P(A)＝eq\f(10,1000)＝0.01，所以10mL小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.答案C2.(·巫山二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 ()．A.eq\f(16,5) B.eq\f(21,5) C.eq\f(23,5) D.eq\f(19,5)解析由几何概率的概率公式，得eq\f(S,10)＝eq\f(138,300)，所以阴影部分面积约为eq\f(23,5)，故选C.答案C3．(·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 ()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析S△ABE＝eq\f(1,2)|AB|·|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|.故所求概率P＝eq\f(S△ABE,S矩形ABCD)＝eq\f(1,2).答案C4．(·辽宁)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为 ()．A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析设出AC的长度，先利用矩形面积小于32cm2求出AC长度的范围，再利用几何概率的概率公式求解．设AC＝xcm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面积小于32cm2即为x(12－x)＜32⇒0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率为eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·长沙模拟)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数x，cosx的值介于0至eq\f(1,2)之间的概率为________．解析根据题目条件，结合几何概率的概率公式可得所求的概率为P＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－π,2))))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)6．(·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－eq\f(\f(1,2)2π－\f(1,4)2π,π)＝eq\f(13,16).答案eq\f(13,16)三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解弦长不超过1，即|OQ|≥eq\f(\r(3),2)，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概率的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).8．(13分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1，))求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．解(1)抽取的全部结果所含元素有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个元素．设使函数为增函数的事件为A，则A包含的元素有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个，所以，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)m，n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1))的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P＝eq\f(\f(1,2),\f(7,2))＝eq\f(1,7).B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ()．A.eq\f(4－π,2) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(4－π,4) D.eq\f(π－2,4)解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝eq\f(2π－4,4)＝eq\f(π－2,2).答案B2．(·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等实数根的概率为 ()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)解析方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)，即x2－2eq\r(2a)x＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(2eq\r(2a))2－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概率公式可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,1×1)＝eq\f(1,2).故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．解析确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，圆柱的体积为V＝Sh＝3π，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－eq\f(\f(4π,3),3π)＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)4．(·烟台二模)已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是________．解析三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥S－ABC的高为h，则所求概率为：P＝eq\f(\f(1,3)Sh－\f(1,3)×\f(1,4)S×\f(1,2)h,\f(1,3)Sh)＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)三、解答题(共25分)5．(12分)(·巫溪调研)设函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率．(1)若随机数b，c∈{1,2,3,4}；(2)已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b＝4*Rand()和c=4*Rand()的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号”）解由f(x)＝x2＋bx＋c知，事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c≤4，,c≤3.))(1)因为随机数b，c∈{1,2,3,4}，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．事件A：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c≤4，,c≤3))包含了其中6个数对(b，c)，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，即事件A发生的概率为eq\f(3,8).(2)由题意，b，c均是区间[0,4]中的随机数，点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图)，其面积S(Ω)＝16.事件A：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c≤4，,c≤3))所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，其面积为S(A)＝eq\f(1,2)×(1＋4)×3＝eq\f(15,2).所以P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(\f(15,2),16)＝eq\f(15,32)，即事件A发生的概率为eq\f(15,32).6．(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．解甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时