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文档简介
第5讲几何概率A级基础演练(时间:30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,则含有麦锈病种子的概率是 ().A.1 B.0.1 C.0.01 D.0.001解析设事件A为“10mL小麦种子中含有麦锈病种子”,由几何概率的概率计算公式得P(A)=eq\f(10,1000)=0.01,所以10mL小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.答案C2.(·巫山二模)如图的矩形长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 ().A.eq\f(16,5) B.eq\f(21,5) C.eq\f(23,5) D.eq\f(19,5)解析由几何概率的概率公式,得eq\f(S,10)=eq\f(138,300),所以阴影部分面积约为eq\f(23,5),故选C.答案C3.(·福建)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于 ().A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析S△ABE=eq\f(1,2)|AB|·|AD|,S矩形ABCD=|AB||AD|.故所求概率P=eq\f(S△ABE,S矩形ABCD)=eq\f(1,2).答案C4.(·辽宁)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为 ().A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析设出AC的长度,先利用矩形面积小于32cm2求出AC长度的范围,再利用几何概率的概率公式求解.设AC=xcm,CB=(12-x)cm,0<x<12,所以矩形面积小于32cm2即为x(12-x)<32⇒0<x<4或8<x<12,故所求概率为eq\f(8,12)=eq\f(2,3).答案C二、填空题(每小题5分,共10分)5.(·长沙模拟)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2)))上随机取一个数x,cosx的值介于0至eq\f(1,2)之间的概率为________.解析根据题目条件,结合几何概率的概率公式可得所求的概率为P=eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-\f(π,3))),\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(-π,2))))=eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)6.(·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2),则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4),则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.解析设A={小波周末去看电影},B={小波周末去打篮球},C={小波周末在家看书},D={小波周末不在家看书},如图所示,则P(D)=1-eq\f(\f(1,2)2π-\f(1,4)2π,π)=eq\f(13,16).答案eq\f(13,16)三、解答题(共25分)7.(12分)如图,在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q,求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.解弦长不超过1,即|OQ|≥eq\f(\r(3),2),而Q点在直径AB上是随机的,事件A={弦长超过1}.由几何概率的概率公式得P(A)=eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)=eq\f(\r(3),2).∴弦长不超过1的概率为1-P(A)=1-eq\f(\r(3),2).8.(13分)已知关于x的一次函数y=mx+n.(1)设集合P={-2,-1,1,2,3}和Q={-2,3},分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n,求函数y=mx+n是增函数的概率;(2)实数m,n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m+n-1≤0,,-1≤m≤1,,-1≤n≤1,))求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率.解(1)抽取的全部结果所含元素有:(-2,-2),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3),共10个元素.设使函数为增函数的事件为A,则A包含的元素有:(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3),共6个,所以,P(A)=eq\f(6,10)=eq\f(3,5).(2)m,n满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m+n-1≤0,,-1≤m≤1,,-1≤n≤1))的区域如图所示,要使函数的图象过一、二、三象限,则m>0,n>0,故使函数图象过一、二、三象限的(m,n)的区域为第一象限的阴影部分,∴所求事件的概率为P=eq\f(\f(1,2),\f(7,2))=eq\f(1,7).B级能力突破(时间:30分钟满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为 ().A.eq\f(4-π,2) B.eq\f(π-2,2)C.eq\f(4-π,4) D.eq\f(π-2,4)解析设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积,即为π-2,则阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为P=eq\f(2π-4,4)=eq\f(π-2,2).答案B2.(·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b,则方程x=2eq\r(2a)-eq\f(2b,x)有不等实数根的概率为 ().A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)解析方程x=2eq\r(2a)-eq\f(2b,x),即x2-2eq\r(2a)x+2b=0,原方程有不等实数根,则需满足Δ=(2eq\r(2a))2-4×2b>0,即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内,(a,b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界),而事件A“方程x=2eq\r(2a)-eq\f(2b,x)有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界).由几何概率公式可得P(A)=eq\f(\f(1,2)×1×1,1×1)=eq\f(1,2).故选B.答案B二、填空题(每小题5分,共10分)3.(·武汉一模)有一个底面圆的半径为1,高为3的圆柱,点O1,O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O1,O2的距离都大于1的概率为________.解析确定点P到点O1,O2的距离小于等于1的点的集合为,以点O1,O2为球心,1为半径的两个半球,求得体积为V=2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13=eq\f(4,3)π,圆柱的体积为V=Sh=3π,所以点P到点O1,O2的距离都大于1的概率为V=1-eq\f(\f(4π,3),3π)=eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)4.(·烟台二模)已知正三棱锥S-ABC的底边长为4,高为3,在三棱锥内任取一点P,使得VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC的概率是________.解析三棱锥P-ABC与三棱锥S-ABC的底面相同,VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC就是三棱锥P-ABC的高小于三棱锥S-ABC的高的一半,过高的中点作一平行底面的截面,这个截面下任取一点都符合题意,设底面ABC的面积为S,三棱锥S-ABC的高为h,则所求概率为:P=eq\f(\f(1,3)Sh-\f(1,3)×\f(1,4)S×\f(1,2)h,\f(1,3)Sh)=eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)三、解答题(共25分)5.(12分)(·巫溪调研)设函数f(x)=x2+bx+c,其中b,c是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率.(1)若随机数b,c∈{1,2,3,4};(2)已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1},b,c是算法语句b=4*Rand()和c=4*Rand()的执行结果.(注:符号“*”表示“乘号”)解由f(x)=x2+bx+c知,事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b+c≤4,,c≤3.))(1)因为随机数b,c∈{1,2,3,4},所以共等可能地产生16个数对(b,c),列举如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).事件A:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b+c≤4,,c≤3))包含了其中6个数对(b,c),即:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).所以P(A)=eq\f(6,16)=eq\f(3,8),即事件A发生的概率为eq\f(3,8).(2)由题意,b,c均是区间[0,4]中的随机数,点(b,c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图),其面积S(Ω)=16.事件A:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b+c≤4,,c≤3))所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分),其面积为S(A)=eq\f(1,2)×(1+4)×3=eq\f(15,2).所以P(A)=eq\f(SA,SΩ)=eq\f(\f(15,2),16)=eq\f(15,32),即事件A发生的概率为eq\f(15,32).6.(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.解甲比乙早到4小时内乙需等待,甲比乙晚到2小时
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