陕西省西安市2024年中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是正确的）1．抛物线y＝x2-2的顶点坐标是（）A．（-2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，-2）2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（）A． B．3 C． D．3．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．76cm B．（64+12）cmC．（64+12）cm D．64cm5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4，若⊙C与AB相离，则半径为r满足（）A．r＞2 B．r＜2 C．0＜r＜2 D．0＜r＜26．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（）A．19 B．17 C．22 D．207．扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为135°，AB的长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，则扇面面积为（）A．cm2 B．300πcm2 C．600πcm2 D．30πcm28．若二次函数y＝x2+2x+3m-1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（）A．m＞ B．m＜2C．m＜-2或m≥- D．≤m＜2二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）9．在△ABC中，若|sinA-|+（-cosB）2＝0，则∠C的度数是．10．在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的一部分经过点A（-1，0），且其对称轴是直线x＝2，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是．12．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是．13．已知抛物线C1：y＝2x2-4x-1，抛物线C2是由抛物线C1向右平移3个单位得到的，那我们可以得到抛物线C1和抛物线C2一定关于某条直线对称，则这条直线为．14．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为．三、解答题（共11小题，计78分．解答题应写出过程）15．计算：（1）2cos60°+|1-2sin45°|+（）0．（2）-tan60°．16．如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数；（2）已知△ADF的面积为，求⊙O的面积．18．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．20．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，）21．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．按如图所示建立平面直角坐标系．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？22．如图所示，要在底边，BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．（1）设矩形EFGH的长HG＝y，宽HE＝x，确定y与x的函数关系式；（2）设矩形EFGH的面积为S，当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？并求出最大值．23．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．24．已知抛物线y＝ax2+bx-4经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的左侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．25．问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．（3）问题解决有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．

答案1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】105°10．【答案】25πcm211．【答案】x1＝-1，x2＝512．【答案】3π13．【答案】14．【答案】（-14，0）15．【答案】（1）解：原式＝＝＝.（2）解：原式＝＝＝＝-1．16．【答案】解：如图，直线PE即为所求．17．【答案】（1）解：如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴，∵AF＝AB，∴∠APB＝∠APF＝30°，∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°；（2）解：∵∠AOF＝60°，AO＝FO，∴△AOF是等边三角形，∴∠DAF＝60°；

∵，

∴△ADF是直角三角形.∴DF=AF，AD＝2AF，∴S△ADF=AF×DF=AF2=，∴AF＝2，

即⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝π×22＝4π．18．【答案】解：∵是的中线，∴∴∴，∵，∴在Rt△ABC中，，∴设，，由勾股定理得：，∴，即，∴，∴，∵，∴，解得：，∴的长为，的长为10．19．【答案】（1）证明：∵∠P＝∠C，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD.（2）解：连接OC，如图，∵∠1＝30°，∴∠P＝30°，∵CD⊥AB，∴，∴∠BOC＝2∠P＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴OB＝BC＝3，∴⊙O的直径为6．20．【答案】解：过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，设EF＝x米，∵∠CDE＝127°，∴∠DEF＝127°－90°＝37°，在Rt△EDF中，tan∠DEF＝，则DF＝EF•tan∠DEF≈x，由题意得：∠ACB＝∠ECF，∵∠ABC＝∠EFC＝90°，∴△ABC∽△EFC，∴，即，解得：x＝22.4，∴，∴（米），答：DE的长度约为28米．21．【答案】（1）解：由题意得，B（20，0），C（5，3），设抛物线解析式为y＝ax（x-20），∴5a（5-20）＝3，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：船行驶到桥下的时间为：36÷6＝6小时，水位上升的高度为：0.3×6＝1.8m．∵抛物线解析式为，∴抛物线顶点坐标为（10，4），∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4-1.8＝2.2m＞2m，∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．22．【答案】（1）解：∵S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH，∴，化简得：；（2）解：把代入S＝xy，得：；∵，0<x<120，∴当x＝60时，有最大值，最大值为4800．23．【答案】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA．∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD=OC．∴直线PB与⊙O相切；（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．∵⊙O与PA相切于点C，∴∠PCF=∠E．又∵∠CPF=∠EPC，∴△PCF∽△PEC，∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．∵EF是直径，∴∠ECF=90°．设CF=x，则EC=2x．则x2+（2x）2=62，解得x=．则EC=2x=．24．【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx-4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：如图：∵，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，在中，令x＝0得y＝－4，∴C（0，-4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线l，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P，∴，∴或，解得或或或，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的左侧，∴P的坐标为（，）或（，）．25．【答案】（1）（2）解：如图1，∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠B+∠ADC＝180°，∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴C、D、E在同一条直线上，∴；（3）解：存在符合要求的面积最小的四边形OABC，如图2：连接OB，∴OB=30cm.∵∠AOC＝60°，OA＝OC，∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，∴∠BOE＝60°，OE＝OB，∴△BOE是等边三角形，∴BE＝OB＝30，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠A