黑龙江省哈尔滨市2023-2024学年高二数学上学期期末考试

Page3数学试题一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从1,2,3,4,5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（

）A． B． C． D．2．各项均为正数的等比数列前项和为，且成等差数列，若，则（

）A．15 B． C．或15 D．或3．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下:116

785

812

730

134

452

125

689

024

169

334

217

109

361

908

284

044

147

318

027若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（

）A． B． C． D．4．一组数据的均值为，第25百分位数为，方差为，则（

）A．B．C．数据的均值为D．数据的方差为5．双曲线：的渐近线与圆相切，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．46．已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（

）A． B． C． D．7．已知点是抛物线上的一点，若以抛物线的焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于两点，，当的面积为时，的值为（

）A．2 B． C．4 D．8．已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线：的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（

）A．实轴长为6B．虚轴长为2C．焦距为 D．离心率为10．下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件B．已知点，，直线过且与线段相交，则其倾斜角的范围是C．圆：与：恰有四条公切线，则D．圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于11．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知,则（

）A．B．C． D．数列是等差数列12．双曲线的左、右焦点分别为，与有公共焦点的椭圆在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，的面积分别是,过作直线的垂线，垂足为，则（

）A．I到y轴的距离为a B．点的轨迹是双曲线C．若，则 D．若，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某高中学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用按比例分配的分层抽样方法从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一与高二参加活动的总人数为.14．已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是.15．已知抛物线的焦点为，第一象限的两点在抛物线上，且满足，．若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.16．已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则实数k的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知数列的首项为3，且满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.18．（本小题满分12分）过点作直线与抛物线相交于两点.(1)若直线的斜率是1，求弦的长度；(2)若，求直线的方程．19．（本小题满分12分）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和．20．（本小题满分12分）某学校后勤服务中心为监控学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的众数；(2)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；(3)学校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定学生评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之间的会给“中评”，评分在[80，100]之间的会给“好评”，已知本周和校长共进午餐的3名学生都会根据自己的感受独立地作答，不会受到另外两人的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆：，，P是圆上的一个动点，线段的垂直平分线l与直线交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：为定值．22．（本小题满分12分）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A,B,设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点，连接线段并延长交椭圆于点.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值．数学答案一单选题1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.D二、多选题9.AB10.BC11.ACD12.ACD三、填空题13.1414.

15.16.三、解答题17.【解】（1）由数列的首项为，且满足，可得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得，可得，所以数列的前项和.18【解】（1）直线的方程为，由消去得，设，解得，，即，所以.（2）由于直线过且与抛物线相交于两点，所以可设直线的方程为，由消去并化简得，，，，由得，所以，由解得或，所以的值为，所以直线的方程为或，即或.19．【解】（1）设公差为，公比为，则，又，解得，所以，；（2），，，两式相减得，故.20．【解】（1）由，解得.该组数据的众数在分数为[70,80]这一组，取中点值为75分，即众数为75（2）由题中数据可得对食堂服务质量评分的平均分为因为76.2>75，所以食堂不需要内部整顿.（3）由图可知，[40，60）、[60，80）、[80，100]这三组的频率分别为0.1、0.5、0.4；用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1、0.5、0.4；以本次抽取的3名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，记3名学生分别为甲、乙、丙；设本周校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为A，则A事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；即.即本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为0.396.21.【解】（1）如图所示，

连结，根据题意，，则，点的轨迹是以，为焦点的双曲线，设双曲线方程为，其中，，，，，故所求的方程为．（2）证明：

设直线的方程为，，，所以，则，所以中点为，当时，，此时;当时，则垂直平分线方程为，令得，即，所以，又，综上可得为定值1．22.【解】（1）由题知，椭圆的焦点为，，故可设椭圆的方程为，将点代入可得，解得，所以椭圆得方程为.

（2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；根据题意可知直线斜率均存在，且，；所以直线的方程