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文档简介
2023-2024学年湖南省邵阳市名校中考数学模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.若与互为相反数,则x的值是()A.1 B.2 C.3 D.42.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E,若BC=3,则DE的长为()A.1 B.2 C.3 D.43.下列图案中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.如图,若△ABC内接于半径为R的⊙O,且∠A=60°,连接OB、OC,则边BC的长为()A. B. C. D.5.如果菱形的一边长是8,那么它的周长是()A.16 B.32 C.163 D.3236.一、单选题如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=()A.75° B.80° C.85° D.90°7.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后第七位,这一结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算半径为1的圆内接正六边形的面积S6,则S6的值为()A. B.2 C. D.8.如图,从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A、B、C在圆周上,
将剪下的扇形作为一个圆锥侧面,如果圆锥的高为,则这块圆形纸片的直径为(
)A.12cm B.20cm C.24cm D.28cm9.已知一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形是()A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形10.如图,已知直线,点E,F分别在、上,,如果∠B=40°,那么()A.20° B.40° C.60° D.80°二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为____米.(结果保留两个有效数字)(参考数据;sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601)12.新田为实现全县“脱贫摘帽”,2018年2月已统筹整合涉农资金235000000元,撬动800000000元金融资本参与全县脱贫攻坚工作,请将235000000用科学记数法表示为___.13.如果不等式无解,则a的取值范围是________14.如图,⊙O的半径为1cm,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则图中阴影部分面积为_____cm1.(结果保留π)15.如图,矩形中,,,将矩形沿折叠,点落在点处.则重叠部分的面积为______.16.二次根式中的字母a的取值范围是_____.17.如图,校园内有一棵与地面垂直的树,数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子,第一次是阳光与地面成60°角时,第二次是阳光与地面成30°角时,两次测量的影长相差8米,则树高_____________米(结果保留根号).三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)已知抛物线F:y=x1+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为(﹣33(1)求抛物线F的解析式;(1)如图1,直线l:y=33x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x1,y1)(点A在第二象限),求y1﹣y1(3)在(1)中,若m=43①判断△AA′B的形状,并说明理由;②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.19.(5分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.(1)b=_________,c=_________,点B的坐标为_____________;(直接填写结果)(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.20.(8分)某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树,经过研究,决定租用当地租车公司一共62辆A,B两种型号客车作为交通工具.下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息:型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注:载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆,租车总费用为y元.求y与x的函数解析式,请直接写出x的取值范围;若要使租车总费用不超过21940元,一共有几种租车方案?哪种租车方案总费用最省?最省的总费用是多少?21.(10分)先化简,再计算:其中.22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C.求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:;点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点,DE⊥x轴于点E,DF∥AC交抛物线对称轴于点F,求DE+DF的最大值;①在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;②点Q在抛物线对称轴上,其纵坐标为t,请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围.23.(12分)有一个二次函数满足以下条件:①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x1,y1)(点B在点A的右侧);②对称轴是x=3;③该函数有最小值是﹣1.(1)请根据以上信息求出二次函数表达式;(1)将该函数图象x>x1的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”,平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)(x3<x4<x5),结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围.24.(14分)如图,点A是直线AM与⊙O的交点,点B在⊙O上,BD⊥AM,垂足为D,BD与⊙O交于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.求证:AM是⊙O的切线;若⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】由题意得+=0,去分母3x+4(1-x)=0,解得x=4.故选D.2、A【解析】试题分析:由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°,∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠B=∠DAB,∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB,∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°,∴∠CAD=30°,∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC,∴CD=DE=BD,∵BC=3,∴CD=DE=1考点:线段垂直平分线的性质3、D【解析】分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案.详解:A.是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误;B.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项正确.故选D.点睛:本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图形重合.4、D【解析】
延长BO交圆于D,连接CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°;又BD=2R,根据锐角三角函数的定义得BC=R.【详解】解:延长BO交⊙O于D,连接CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,∴∠CBD=30°,∵BD=2R,∴DC=R,∴BC=R,故选D.【点睛】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理,注意:作直径构造直角三角形是解决本题的关键.5、B【解析】
根据菱形的四边相等,可得周长【详解】菱形的四边相等∴菱形的周长=4×8=32故选B.【点睛】本题考查了菱形的性质,并灵活掌握及运用菱形的性质6、A【解析】分析:依据AD是BC边上的高,∠ABC=60°,即可得到∠BAD=30°,依据∠BAC=50°,AE平分∠BAC,即可得到∠DAE=5°,再根据△ABC中,∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°,可得∠EAD+∠ACD=75°.详解:∵AD是BC边上的高,∠ABC=60°,∴∠BAD=30°,∵∠BAC=50°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=25°,∴∠DAE=30°﹣25°=5°,∵△ABC中,∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°,∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°,故选A.点睛:本题考查了三角形内角和定理:三角形内角和为180°.解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用.7、C【解析】
根据题意画出图形,结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积.【详解】如图所示,单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF中,△AOB是边长为1的正三角形,所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6××1×1×sin60°=.故选C.【点睛】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,关键是根据正三角形的面积,正n边形的性质解答.8、C【解析】
设这块圆形纸片的半径为R,圆锥的底面圆的半径为r,利用等腰直径三角形的性质得到AB=R,利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr=,解得r=R,然后利用勾股定理得到(R)2=(3)2+(R)2,再解方程求出R即可得到这块圆形纸片的直径.【详解】设这块圆形纸片的半径为R,圆锥的底面圆的半径为r,则AB=R,根据题意得:2πr=,解得:r=R,所以(R)2=(3)2+(R)2,解得:R=12,所以这块圆形纸片的直径为24cm.故选C.【点睛】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.9、D【解析】
根据多边形的外角和是360°,以及多边形的内角和定理即可求解.【详解】设多边形的边数是n,则(n−2)⋅180=3×360,解得:n=8.故选D.【点睛】此题考查多边形内角与外角,解题关键在于掌握其定理.10、C【解析】
根据平行线的性质,可得的度数,再根据以及平行线的性质,即可得出的度数.【详解】∵,,∴,∵,∴,∵,∴,故选C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补,且内错角相等.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、6.2【解析】
根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长,从而可以解答本题.【详解】解:在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2(米),答:大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.故答案为:6.2.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.12、2.35×1【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】解:将235000000用科学记数法表示为:2.35×1.故答案为:2.35×1.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.13、a≥1【解析】
将不等式组解出来,根据不等式组无解,求出a的取值范围.【详解】解得,∵无解,∴a≥1.故答案为a≥1.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式组的运算法则.14、【解析】试题分析:根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积,将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可.试题解析:如图所示:连接BO,CO,∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,∴AB=BC=CO=1,∠ABC=110°,△OBC是等边三角形,∴CO∥AB,在△COW和△ABW中,∴△COW≌△ABW(AAS),∴图中阴影部分面积为:S扇形OBC=.考点:正多边形和圆.15、10【解析】
根据翻折的特点得到,.设,则.在中,,即,解出x,再根据三角形的面积进行求解.【详解】∵翻折,∴,,又∵,∴,∴.设,则.在中,,即,解得,∴,∴.【点睛】此题主要考查勾股定理,解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.16、a≥﹣1.【解析】
根据二次根式的被开方数为非负数,可以得出关于a的不等式,继而求得a的取值范围.【详解】由分析可得,a+1≥0,解得:a≥﹣1.【点睛】熟练掌握二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键.17、【解析】设出树高,利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长,然后作差建立方程即可.解:如图所示,在RtABC中,tan∠ACB=,∴BC=,同理:BD=,∵两次测量的影长相差8米,∴=8,∴x=4,故答案为4.“点睛”本题考查了平行投影的应用,太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关,而且与时间有关,不同时间随着光线方向的变化,影子的方向也在变化,解此类题,一定要看清方向.解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系,从而得出答案.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)y=x1+33x;(1)y1﹣y1=233π;(3)①△AA′B为等边三角形,理由见解析;②平面内存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形,点P的坐标为(13,23)、(﹣【解析】
(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式;(1)将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中,可求出x1、x1的值,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y1的值,做差后即可得出y1-y1的值;(3)根据m的值可得出点A、B的坐标,利用对称性求出点A′的坐标.①利用两点间的距离公式(勾股定理)可求出AB、AA′、A′B的值,由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形;②根据等边三角形的性质结合菱形的性质,可得出存在符合题意得点P,设点P的坐标为(x,y),分三种情况考虑:(i)当A′B为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标;(ii)当AB为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标;(iii)当AA′为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标.综上即可得出结论.【详解】(1)∵抛物线y=x1+bx+c的图象经过点(0,0)和(﹣33∴c=013-∴抛物线F的解析式为y=x1+33(1)将y=33x+m代入y=x1+33x,得:x解得:x1=﹣π,x1=π,∴y1=﹣133π+m,y1=∴y1﹣y1=(133π+m)﹣(﹣13(3)∵m=43∴点A的坐标为(﹣233,23∵点A′是点A关于原点O的对称点,∴点A′的坐标为(233,﹣①△AA′B为等边三角形,理由如下:∵A(﹣233,23),B(233∴AA′=83,AB=83,A′B=∴AA′=AB=A′B,∴△AA′B为等边三角形.②∵△AA′B为等边三角形,∴存在符合题意的点P,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况,设点P的坐标为(x,y).(i)当A′B为对角线时,有x-2解得x=2∴点P的坐标为(13,23(ii)当AB为对角线时,有x=-2解得:x=-2∴点P的坐标为(﹣233,(iii)当AA′为对角线时,有x=-2解得:x=-2∴点P的坐标为(﹣23综上所述:平面内存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形,点P的坐标为(13,23)、(﹣233【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(1)将一次函数解析式代入二次函数解析式中求出x1、x1的值;(3)①利用勾股定理(两点间的距离公式)求出AB、AA′、A′B的值;②分A′B为对角线、AB为对角线及AA′为对角线三种情况求出点P的坐标.19、(1),,(-1,0);(2)存在P的坐标是或;(1)当EF最短时,点P的坐标是:(,)或(,)【解析】
(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得点B的坐标;(2)分别过点C和点A作AC的垂线,将抛物线与P1,P2两点先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可;(1)连接OD.先证明四边形OEDF为矩形,从而得到OD=EF,然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标,从而得到点P的纵坐标,然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.【详解】解:(1)∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得:,解得:b=﹣2,c=﹣1,∴抛物线的解析式为.∵令,解得:,,∴点B的坐标为(﹣1,0).故答案为﹣2;﹣1;(﹣1,0).(2)存在.理由:如图所示:①当∠ACP1=90°.由(1)可知点A的坐标为(1,0).设AC的解析式为y=kx﹣1.∵将点A的坐标代入得1k﹣1=0,解得k=1,∴直线AC的解析式为y=x﹣1,∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣1.∵将y=﹣x﹣1与联立解得,(舍去),∴点P1的坐标为(1,﹣4).②当∠P2AC=90°时.设AP2的解析式为y=﹣x+b.∵将x=1,y=0代入得:﹣1+b=0,解得b=1,∴直线AP2的解析式为y=﹣x+1.∵将y=﹣x+1与联立解得=﹣2,=1(舍去),∴点P2的坐标为(﹣2,5).综上所述,P的坐标是(1,﹣4)或(﹣2,5).(1)如图2所示:连接OD.由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.由(1)可知,在Rt△AOC中,∵OC=OA=1,OD⊥AC,∴D是AC的中点.又∵DF∥OC,∴DF=OC=,∴点P的纵坐标是,∴,解得:x=,∴当EF最短时,点P的坐标是:(,)或(,).20、(1)21≤x≤62且x为整数;(2)共有25种租车方案,当租用A型号客车21辆,B型号客车41辆时,租金最少,为19460元.【解析】
(1)根据租车总费用=A、B两种车的费用之和,列出函数关系式,再根据AB两种车至少要能坐1441人即可得取x的取值范围;(2)由总费用不超过21940元可得关于x的不等式,解不等式后再利用函数的性质即可解决问题.【详解】(1)由题意得y=380x+280(62-x)=100x+17360,∵30x+20(62-x)≥1441,∴x≥20.1,∴21≤x≤62且x为整数;(2)由题意得100x+17360≤21940,解得x≤45.8,∴21≤x≤45且x为整数,∴共有25种租车方案,∵k=100>0,∴y随x的增大而增大,当x=21时,y有最小值,y最小=100×21+17360=19460,故共有25种租车方案,当租用A型号客车21辆,B型号客车41辆时,租金最少,为19460元.【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用等,解题的关键是理解题意,正确列出函数关系式,会利用函数的性质解决最值问题.21、;【解析】
根据分式的化简求值,先把分子分母因式分解,再算乘除,通分后计算减法,约分化简,最后代入求值即可.【详解】解:====当时,原式=.【点睛】此题主要考查了分式的化简求值,把分式的除法化为乘法,然后约分是解题关键.22、(1)y=﹣x2+2x+3;(2)DE+DF有最大值为;(3)①存在,P的坐标为(,)或(,);②<t<.【解析】
(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),根据系数的关系,即可解答(2)先求出当x=0时,C的坐标,设直线AC的解析式为y=px+q,把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式,过D作DG垂直抛物线对称轴于点G,设D(x,﹣x2+2x+3),得出DE+DF=﹣x2+2x+3+(x-1)=﹣x2+(2+)x+3-,即可解答(3)①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1,求出直线PC的解析式,再结合抛物线的解析式可求出P1,过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2,再利用A的坐标求出P2,即可解答②观察函数图象与△ACQ为锐角三角形时的情况,即可解答【详解】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,∴﹣2a=2,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得,解得,∴直线AC的解析式为y=3x+3,如答图1,过D作DG垂直抛物线对称轴于点G,设D(x,﹣x2+2x+3),∵DF∥AC,∴∠DFG=∠ACO,易知抛物线对称轴为x=1,∴DG=x-1,DF=(x-1),∴DE+DF=﹣x2+2x+3+(x-1)=﹣x2+(2+)x+3-,∴当x=,DE+DF有最大值为;答图1答图2(3)①存在;如答图2,过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1,∵直线AC的解析式为y=3x+3,∴直线PC的解析式可设为y=x+m,把C(0,3)代入得m=3,∴直线P1C的解析式为y=x+3,解方程组,解得或,则此时P1点坐标为(,);过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2,直线AP2的解析式可设为y=x+n,把A(﹣1,0)代入得n=,∴直线PC的解析式为y=,解方程组,解得或,则此时P2点坐标为(,),综上所述,符合条件的点P的坐标为(,)或(,);②<t<.【点睛】此题
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