高二年级上数学寒假作业解析版

第一章章末测试卷

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

一=1,

1.答案D解析因为｛mb,c｝为空间的一个基底，设a+b=2(Z>+c)+〃(c+a),即«〃=1,无解，

〔P+2=0,

3_36

所以a+b,b+c,c+a不共面，故D正确；因为,=二^£子所以。=(1,—1,3)和b=(3,—3,6)不平

行，故A错误；△ABC为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是N4,所以无法推出初•启=0,

故B错误；若a力=0即可得出C项错误.综上所述，本题的正确答案为D.

2.答案B解析因为办=g万1+然+颛7,且3+：+；=1,所以P,A,B,C四点共面.故选B.

3.答案D解析取8C中点E,连接AE,OE,则无=告为+沆)，G,是△ABC的重心，则AGI=|AE,

所以后I=%E=?(OE—3A),因为OG=2GGi,所以灰;=。06|=。(亦+n])=。04+《(走—04)=舐^+

^OE=^OA+^(OB+OC)=^OA+^OB+^OC,所以x=y=z=,.

4.答案D解析以。为坐标原点，分别以射线A4,DiCi,OQ的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建

立空间直角坐标系，则笠(2,2,0),Ci(0,2,0),EQ,1,2),F(l,2,2).

设平面REF的法向量为〃=(x,y,z),

—\nB\E=0,[—y+2z=0,

BiE=(0,-1,2),BiF=(-l,0,2),则，即八

|〃•布=0,〔f+2z=0.

令z=1,得w=(2,2,1).又因为81cl=(—2,0,0),

2X2+0+0|4

所以点G到平面SEP的距离/?=

l«l-—22+22+1

5.答案A解析不妨设SA=SB=SC=1,以点S为坐标原点，SA,SB,SC所在直

线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系SQ，Z,则相关各点坐标为A(l,0,0),

3(0,1,0),C(0,0,1),S(0,0,0),“,I，0),A(0,0,

因为的=G，I，0),丽=(0,-1,所以L^|=乎，|丽=坐，褊•曲=-3,

_SM-BN_VTo

所以cos〈的，BN)

血的、

因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为邛.故选A.

6.答案B解析作AM_Lx轴于M,BN_Lr轴于乂则AM=3,BN=2,MN=5.又赢=俞+疝+诵,

二俞=加+丽+标2+2(危•MN+AM-NB+^M•NB).

又AMJLMN,MN1.NB,(AM,NB)=60°,故矗2=9+25+4+6=©.故选B.

7.答案D解析以。为坐标原点，D4,DC,OP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设XE=w(0<m<2).

D(0,0,0),P(0,0,1),E(l,m,0),C(0,2,0).可取平面A8C£>的一个法向量

为"1=(0,0,1),设平面PEC的法向量为“2=3,b,c),

PC=(0,2,-1),C£=(l,m-2,0),

"2•尸C=0,2b—c=0,fc=2b,

则〈/J

亦„a+b(/«—2)=0,\a=b(2——，〃)，

l"2•CE=0.

令b=l,得"2=(2—，〃，1,2).

cos(«],"2〉=7^~g=~i~~、=建..,./n=2一由.即4E=2一小.

l«il•\n2\7(2f)2+1+42Vv

8.答案B解析如图，设4在底面ABC内的射影为O,以。为坐标原点，建立如图所

示的空间直角坐标系.设△ABC边长为1,

则A停,0,0),田(一半,坐)，所以血=(-平,坐).

易知平面ABC的一个法向量为“=(0,0,1),

水

3历

则ABi与底面ABC所成角a的正弦值为sina=|cos(AB\,〃〉|=—育<,2=芋故选

3

A户+率

2364十9

B.

9.答案AD解析以。为坐标原点，分别以D4,OC,所在直线为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系Dryz,如图，则。(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,

0),Ai(a,0,a),B\(a,a,a),0(今*多.对于A,48•AC=(0,a,0)-(—a,a,0)

=a2,所以A正确；对于B,AB•A^C=(Q,a,0)-(—a,a,-a)=a2,所以B不正确；对

于C,CD•AB\—(0,—a,0)(0,a,a)——a2,所以C不正确；对于D,AB,AiO=CO,a,0)-(—^,\a,

—1«)=1a2,所以D正确.故选AD.

10.答案ABC解析对于A,'.'AD^AC+^AB,：.3>AD=AC+2AB,：.2AD-2AB=AC-Ab,：.2BD

=反，：.3BD^BD+DC,即3砺=证，；.A正确；

对于B,若。为aABC的重心，则7+无+的=0,：.3PQ-QA-QB-QC=3PQ,

：.3PQ=^+PB+PC,即的=；或无，；.B正确；

对于C,若丽•反1=0,无•靠=0,则

PA'BC+PC'AB^PA•BC+PC•(AC+CB)^^•BC+PC•AC+PC•CB^PA-BC+PC•AC-PC•BC

=(FA-PC)BC+PC•AC=&•BC+PC•AC=AC•CB+PC•AC=AC•(CB+PC)=AC•而,

：.AC-PB=0,：.C正确；对于D,\'^m=PN-PM=^PB+PV)-^=^PB+PC-PA),

：.\MN\=^PB+PC-PA\.

I1

"\PB+PC-PA\(^2+PB2+PC2~2^•PB-2PA•PC+2PB•PC)7-(22+22+22-2X2X2X--

111_►

2X2X2X2+2X2X2X2)5=2V2,/.\MN\=y[2,：.D错误.故选ABC.

11.答案ABCD解析对于A,由ND4B=1",AB=2AO及余弦定理得8。=小4。,从而8Z>+AO2=AB2,

故8£>_LAQ.由P£>_L底面ABC。，BOU平面ABCD,可得BC_LPD又AQCP£>=。，AD,POU平面用。,

所以8O_L平面RW,又南U平面以。，故以_LBD故A正确.

对于B,因为P£>_L底面ABCZ),所以NP8O就是PB与平面A3CQ所成的角，又tan/PBO=A4=噂，所

DUJ

以/尸8。=卷.故B正确.对于C,显然NPCD是异面直线PC与A8所成的角，易得cosNPC3=犍=乎.

故C正确.

对于D,以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D^z.设AO=1,则A(l,0,0),8(0,小，

0）,c（-l,#,0）,。（0,0,1）,所以油=（-1,小，0）,丽=（0,小,-1）,BC=（-1,0,0）.

设平面用8的法向量为〃=(xi,力，zi),

n-AB=0,f—xi+小yi=0,__

则j即jr取力=1,可得"=（小，1,小）是平面附8的一个法向量.

ji-PB=0,l\3yi-Zi=0,

,m-PB=0,f-x/3v2—Z2=0,

设平面PBC的法向量为》1=(X2,次，Z2),贝M即，'

jn-BC=0,1一及=0,

取竺=1,可得，〃=(0,1,小)是平面P8C的一个法向量，所以cos(m,”〉=萧俞=¥^，

所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为邛7.故D正确.

12.答案CD解析依题意作图，如图所示，

由于AO_LB£>,AD±CD,故NBOC是二面角C-AQ-B的平面角，

则NB3C=120。，因为BOCCO=O,所以AO_L平面BCD

过2作BELCD交CD的延长线于E,

因为AQ_L平面BCD,BEU平面BCD,所以AZ)_LBE.

因为8E_1_C£),ADC\CD=D,所以8E_L平面ACO,故BE是三棱锥8-ACZ)的高.

…2/——•AC小X灰厂,——

VV

在原图中，BC=，3+6=3,AD=BC=3=V2,BD=y]3~2=\,

8=、4。-4。=、6—2=2,BE=BDXsin60°=1X^=坐，

所以％FBc=U8T8=gx3xAOXC£>XBE=(X也X2X^=乎，故B错误.

以。为坐标原点，DA,QC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则人诋0,0),B(0,-1,啕，C(0,2,0),赢=(f,-1,明，AC=(­y[2,2,0),

n-AB=—y[2x-zy+^-z=0,

设平面ABC的法向量为〃=(x,y9z),贝!!<-

-<\/2x+2y=0,

取X=黄，则>=小，z=5,所以〃=(加，小，5),

平面ACO的一个法向量为m=(0,0,1),则狼〃=5W0,

所以平面AC。与平面ABC不垂直，故A错误.

平面8c。的一个法向量为。=(1,0,0),cos〈〃，a)=]^防=，鸟=j导，

sin〈〃，。〉=\1-cos2(n,a)—

设二面角A-5C-O的平面角为仇由图可知。为锐角，

…、sin</i,a〉A/42.A

则tan6=|tan〈〃，d)\=~一(1=王一，故LFC正确.

cos\YI,a/-j

BC=\Q,I，一孚)，平面AC£)的一个法向量为/n=(0,0,1),cos</n,BC)m-BCy[2]

—=~14

\m\-\BC\

所以BC与平面4C£>所成角的正弦值是智，故D正确.

13.答案)a+5+；c解析OE=OA+)jAb=OA+}jX^(AB+AC)

-OA+^(OB—OA-\-OC—OA)—；OA+；O8+；OC=；a+%+；c.

14.答案(一1,-2,-3)#解析由题意得B(—1,2,3)关于x轴的对称点B'的坐标为(一1,一2,

[3)；点C(1,一1,2)关于。孙平面的对称点为C'(1,-1,-2),所以|B'C'|=

、(一1一1)2+(—2+1)2+(—3+2)2=#.

15.答案3解析如图，可设@=a,AD=b,AA\—c,于是可得

ACi=AB+BC+CCi^AB+Ab+AA]^a+b+c,同理可得防i=—a+b+c,

于是有4cl•BD\=(a+b+c)\—a+b+c)=~a2+b2+c2+2b-c

=-4+1+4+2X1X2Xcos60°=3.

16.答案号一^析设AAi=/%(m>0),CM=n(0^n^m),如图建立空间直角坐标系,

则01(0,0,⑼，M(0,1,n)9A(小，0,0),

所以而/=(0,1,n—m)9启=(一小，1,n).

又MD\LMA,所以万亩•AM=1+n(n—in)=0,所以"?一〃=[(〃#0).

所以S/\MAD\=^D\M•AM=^\jl+Cm—n)2•yji+\+n2=^\1+*•yj4+n2

当且仅当〃=正，”=平时，等号成立，所以当△M4出的面积取得最小值时，其棱A4i=乎.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.解析ka~\-b—(k—2,5A+3,—Z+5),

〃一3力=(1+3义2,5—3X3,-1-3X5)=(7,-4,-16).

k—D5^4-3-^4-51

(1)・・•(依+A)〃(。-3——,解得上=—/

/—4—lo3

(2)V(ka+b)_L(。-3b),

.•./-2)X7+(5A+3)X(—4)+(—&+5)X(-16)=0.解得人=竽.

18.证明如图，以A为坐标原点，AB,AD,A尸所在的直线分别为x,y,z轴建立空间

直角坐标系Axyz.设以=4£)="，AB=b.

(l)P(0,0,a),A(0,0,0),C(b,a,0),B(b,0,0),因为M,N分别为AB,PC的中点，

所以0,0),雄，5，葭).易知法为平面孙。的一个法向量施=S，0,0),

又加=(0,冬。所以嘉•加=0,所以初_1_血血

又MW平面雨。，所以MN〃平面BAD

(2)由(1)可知P(0,0,a),C(b,a,0),围，0,0),且。(0,a,0).

所以正=s，a,-a),PM=[^,0,一a),PD=(0,a,-a).

设平面PMC的一个法向量为〃]=8，yi,zi),

左.八(bx]+ay\-az\=09_2a

则，=>\b所以<，

.m-PM=0,[力一3=0,L=-zi,

令Z1=A,则〃I=(2a,—byb).设平面尸。C的一个法向量为〃2=(X2,冲，Z2),

H2•PC=0,[bx2+ay2—az2=0,(X2=O,

则<.所以

〔〃2•而=0,切2—e=0,m=Z2,

令Z2=l,则"2=(0,1,1).

因为"I•“2=0—6+。=0,所以"IJ_〃2.所以平面PMC_L平面P£)C.z|

19.解析(1)证明：•.•平面平面BCD,平面ABOD平面BCD=BO,ABU平面48，人卜

ABLBD,\M

，A8_L平面BCD/\\

又C/)U平面BCD,J.ABLCD.

(2)过点8在平面BCD内作BE_LB£>,如图所示.

由(1)知AB_L平面BCD,BEU平面BCQ,BCU平面BCO,

：.ABLBE,ABA.BD.

以8为坐标原点，分别以前，丽，函的方向为x轴、)■轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

依题意，得8(0,0,0),C(l,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),从0,j,则反1=(「1,0),前=(0,1,

AD=(0,1,-1).

设平面M8C的法向量为〃=(沏，加，zo),

nBC=0,「。+泗=。，

则J即J1,1

、“.病=0,[少+产=0,

取zo=l,得平面MBC的一个法向量为”=(1,-1,I).

设直线AO与平面M2C所成角为仇

则sin，=|cos<n,俞〉|='!^空1=乎.即直线AO与平面M8C所成角的正弦值为半.

l«l-IAD|

20.解析(1)证明：在题图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是A。的中点，ZBAD=^,所以BELAC,

即在题图2中，BEA-OAt,BELOC,又04coe=0,OA\,0CU平面40C,从而BE_L平面4OC.又

BC孀DE,所以四边形BCDE是平行四边形，所以CD〃BE,所以CO_L平面AQC.

(2)因为平面A|BE_L平面BCQE,又由(1)知，BEYOAx,BE±OC,所以NAQC为二面角4一BE-C的平

面角，所以/40C=T*.如图，以。为原点，分别以08,OC,04所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间

直角坐标系，因为A^=A|E=BC=EO=1,BC〃ED,所以0,0),《一坐，0,。)，4(0,0,孽,

C(0,孚,0),则病=(一坐坐,o),庆=(o,坐,一骑,诙=砺=(一6,0,0).

设平面ABC的法向量为川=(沏，》,ZI),平面A1CQ的法向量为"2=(X2,竺，Z2),平面4BC与平面4CZ)

的夹角为6.

n\,BC=0,[-xi+)i=0,

可取"1=(1,1,1).

ji—zi=0,

/ii,AjC—0,

fl2•CD=O,fx2=0,

又彳即彳八可取〃2=(0,1,1).

[〃2«加=0,22-Z2=0,

从而cos&=|cos(m,〃2〉1=侏篙=7自6=半，即平面48c与平面4co夹角的余弦值为由.

21.解析(1)证明：由题设可得，△ABgACBD,从而AD=DC.

又△ACO是直角三角形，所以/ADC=90°.

如图，取AC的中点。，连接。。，BO,贝!|OO_LAC,D0=A0.

又由于△ABC是正三角形，故BOJMC.

所以ND0B为二面角。一AC一8的平面角.

在RtZXAOB中，BO2+AO2=AB2.

又。0=40,AB=BD,

所以302+002=802+402=482=802,故/。08=90°.

所以又ACU平面4£>C,OOU平面AOC,AC^0D=0,所以BOJ_平面ADC.

又BOU平面ABC,所以平面AC£)J_平面ABC.

(2)由题设及(1)知，OA,0B,0。两两垂直.以0为坐标原点，'的方向为x轴正方向，|苏|为单位长,

建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则41,0,0),8(0,小，0),C(-l,0,0),0(0,0,1).

由题设知，四面体A8CE的体积为四面体ABC。的体积的/从而点E到平面ABC的距离为点。到平面

ABC的距离的今即E为。8的中点，得《0,杀J.

故病=(-1,0,1),危=(—2,0,0),靠=(一1,坐，；).

设/1=(羽y,z)是平面D4E的法向量，

—x+z=0,

〃AQ=0,

则J_即J31令x=l,可得〃=(1,半，1

、°

n•AE=0,—x+~2^y,+^2z=Of

m•AC=Ol

设勿是平面4EC的法向量，贝”一t同理可取机=(0,-1,小)

jn-AE=0.

由图知二面角。一4E-C为锐角，所以二面角。一AE-C的余弦值为坐

22.解析(1)证明：如图，连接8。交AC于点N,连接MN.

RN1

因为BC〃AO,所以而=16=亍

又因为PM：〃0=1：2,所以MN〃PB.

又因为MNU平面ACM,P8Q平面ACM,

所以P3〃平面ACM.

(2)如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),cb=(-2,2,0),

PD=(0,4,-4).

设平面PC£)的一个法向量为"=(x,y,z),

ncb=o,

[-42yx_+24yz==0o,,令x=l，得[y=i，

则即，即〃=(i,1,1).

4z=

nPD=0,

1S

又平面4CO的一个法向量机=(0,0,1),所以cos〈/n,〃〉=忑=含,

_^6

故二面角A-CD-P的正弦值为

―3,

(3)设而=，而(0W2W1),则血=(0,44,-42),所以病=(0,4-42,4A),

由(2)得平面PCO的一个法向量〃=(1,1,1)，且直线AM与平面PCO所成角的正弦值为为一，

|4-4A+4A|

所以cos〈AM,”〉=

\1(4—42)2+(42)2,福3，

解得a=g,即加=]b.

又|丽尸、42+42=46,故I而1=3而|=26.

第二章直线与圆

[时间：120分钟满分:150分]

(2—4।

1.答案D解析k=——=-5，解得«=10,即欣一2,10),M10，4),所以|MN|=

MN-2—a2

N(—2—10)2+(10—4)2=6^.故选D.

2.答案A解析方法一(直接法)：设圆心坐标为(0,b),则由题意知((0—1)2+(6-2)2=1,解得

b=2,故圆的方程为/+6-2)2=1.故选A.

方法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1,作图易知圆心为(0,2),故圆的方程为/+。-2)2

=1.故选A.

方法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选项中，可排除B、D,又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.

(b-\

i=-3,

a+2o

3.答案C解析设点A(—2,1)关于直线x—3y=0的对称点为。(mb),则<,解得

[「a-23X『6+10,

所以。(一1,-2),所以HC|+|3q=|OC|+|BC|,当B,D,C共线时，HQ+|8C|取最小值，最

b=—2,

小值为|QB|=yj(1+1)2+(2+2)2=2小.

|3a+46+3]|3a+4〃+3|

4.答案D解析设圆心为半径为，，则满足条件的圆面积最小即r最小,r=

[32+425

2^3?X4^+3,因为圆心3，份在y=j(x>0)上，所以6=*即出?=3,所以「min="^^^=3,当且

仅当3a=珈即。=2,泻时取等号，所以此时圆的方程为(x—2)2+。一|)-=9.

x+y=2,\x=1,?

5.答案C解析方法一：由'得由题意，知直线/的斜率上=一1所以直线/的方程

\2x~y=1,[y=\,3

为y—1=—|(x—1),即2元+3y—5=0.故选C.

方法二：由题意设直线/：x+y—2+A(2A:—y—l)=0(2£R),即(l+22)x+(l—X)y—2—2=0,又直线/的一

个方向向量□=(—3,2),所以3(1+2H)=2(1T),解得4—氐所以直线/的方程为2x+3y—5=0.故选

C.

6.答案B解析因为圆G：(x+ap+G，-2产=1的圆心为C(—a,2),半径外=1,圆C2：(x-b)2+(y

—2)2=4的圆心为Q(Z?，2),半径段=2,所以|CC2l=d(—a—b))+(2—2)2=/+例=1+2,所以〃

9(ci—b)29

+b2+2ab=9,所以仅一匕)2+4"=9,所以ab=］一----"---・不即当时，“6取得最大值，最大值

7.答案A解析圆C的方程/+以+9-5=0可化为(x+2)2+y2=9,则圆C与x轴正半轴交于点4(1,

0),与y轴正半轴交于点2(0,小),如图所示，因为过定点M(—1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2+4x

+W—5=0在第一象限内的部分有交点，所以kMA<k<kMB,所以0<&<小.

8.答案A解析如图所示，易知直线AB的方程是y=3,直线AC的方程是升尹1,

即3x+2y-6=0,且直线x=“只与边A8,AC相交.设直线x=a与AB交于点D,与

=3〃c

AC交于点E,则点£>,后的坐标分别为3,3),(〃，6从而|£)£=3-、2〃，\AADE

11331X3X3=919

=g4。||£)£：|=卞*丞?=4标①.又SAAec=22>所以SAADE=/MBC=4②，由①②

得意2=*解得"=小或。=—小(舍去).故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题

目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.答案ABC解析当直线过原点时，设直线的方程为、=&，把点(1,2)代入，得k=2,所以此时直线

的方程为2r-y=0；当直线斜率k=1时，设直线的方程为y=x+6,把点(1,2)代入，得。=1,所以此时

直线的方程为x—y+1=0；当直线斜率k=-l时，设直线的方程为y=~x+b,把点(1,2)代入，得b=3,

所以此时直线的方程为x+y-3=0.

10.答案ABC解析由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0,0),(4,-3),半径分别为4,r,所以圆心

距为5,若两圆外切，则4+r=5,即r=l,故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；当两圆相交

时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x—6y—41+户=0,

所以-41+/=-37,解得r=2,故B正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另

一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52=42+/,解得「=3,故C正确.

11.答案AB解析过点A,C的直线方程为出'=告与，化为一般式为x+2)，-4=0,过点A,3的

直线方程为X=-2,过点B,C的直线方程为y=-1,所以原点O到直线x+2y—4=0的距离"AC=竽，

原点0到直线x=-2的距离dAB—2,原点O到直线y=-1的距离dec—1.所以dAB>dAc>dBC,又|OA|=

N(—2)2+32=回,|OB|=d(-2)2+(-1)2=小,且|℃|=#62+(-1)2=病.结合图形可知,

若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为(0,-1)或(6,-1),所以圆的半径为1或病.

故选AB.

12.答案ACD解析设圆(X—5)2+。-5)2=16的圆心为颇5,5),由题易知直线AB的方程为江芸1,

2

即x+2y—4=0,则圆心M到直线A8的距离d=»f*=?>4,所以直线A8与圆M相离，所以点

P到直线AB的距离的最大值为4+4=4+/,而4+东<5+寸修'=10,故A正确.

易知点P到直线A3的距离的最小值为"-4=卷-4,而卷一4v

一4=1,故B不正确.

过点B作圆例的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接MB,MN,MQ,则当NP8A最小时，点

P与N重合，此时|尸身=｛用此|2—|叫2=囚52+(5—2)2-42=3g,当ZPBA最大时，点、P与Q重合，

此时|PB|=3也，故C、D都正确.综上，选ACD.

13.答案|或一1解析本题主要考查两直线的平行关系.当。=一1时，两直线方程分别为2y+l=0,

〃2—1-a-122

厂1=。，显然两直线平行；当时，由得。巧.故〃的值为§或T

xv4]/4]

14.答案x+4y—8=0解析设直线/：/力因为直线/过点P(4,1),所以^+另=1

4,所以他216,当且仅当a=8,人=2时等号成立.所以当4=8,8=2时，ZVlOB的面积S=g"

yfab

取得最小值，此时直线/的方程为5+Q1,即x+4厂8=0.

oZ

15.答案信，,解析由题可知，y—1+y]9-x2,即/+。-1)2=9(代1),其图象y\^^^A(35

如图所示：又直线y=A(x-3)+5即fcc-y-3k+5=0过定点A(3,5).

当直线与半圆相切时，则|一[?："=3,解得八卷'

..8(一土!)：|........

5-12(121-4-3-2-1012341

当直线过点8(—3,1)时，A=3二(_3)=]•所以3.'

16.答案m解析根据题意，设点P的坐标为(。，b),则直线PA的方程为了=士(》+1),其在y

a~v1

轴上的截距为噩,直线PB的方程为y=£(x—5),其在y轴上的截距为一言.若点P满足使直线PA,

PB在y轴上的截距之积为5,则有缶"X(一趋')=5,变形可得〃+(〃-2)2=9,则点尸在圆。-2)2+>2

=9上.若圆M：(无一4)2+。一相)2=4上存在唯一的点P满足题意，则圆M与圆。-2)2+炉=9有且只有

一个公共点，即两圆内切或外切.又两圆的圆心距为“(4-2)2+加2又2,所以两圆外切，所以4+加=

25,解得，*=±\②.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

2x+y—5=0,x=2,

17.解析⑴由得,

,x—2y—0)=1，

所以交点坐标为(2,1).

当直线/的斜率存在时，设/的方程为y-l=Z(x-2),即近一y+1—2k=0,

I5A+1-244

则点A到直线/的距离为=3,解得『，所以/的方程为4x-3y-5=0；

■xjN+l

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=2,符合题意.

故直线/的方程为以一3丫-5=0或》=2.

(2)设直线2x+y—5=0与x—2y=0的交点为P,由(1)可知P(2,1),过点P任意作直线/(如图所示)，设"

为点A到直线/的距离，则dW|B4|(当/_LB4时，等号成立)，

由两点间的距离公式可知|以|=四.

即所求的距离的最大值为也.

18.解析(1)由题意得，圆心C一定在线段AB的垂直平分线上,

0—2

-=.(_])­，线段的中点为(。，1),

所以直线AB的垂直平分线为x—>+1=0.

所以直线/：x+y+l=0与x-y+l=0的交点即为圆心C,即C的坐标为(-1,0),半径r=|C4|=2.

所以圆C的方程为(x+1)2+炉=4.

(2)当直线人斜率不存在时，方程为x=0,此时圆心到/i距离为1,截得的弦长为2小，满足题意；

IT+3I

当直线/i斜率存在时，设为k,则/i：fcc-y+3=0,圆心(一1,0)到/|的距离”=

7k2+1

4

1,所以％=§,则直线/i的方程为4x-3y+9=0.

综上，直线/|的方程为x=0或4x-3y+9=0.

19.解析(1)直线AB的斜率显然存在，设为则直线A8的方程为^=丘+1.

因为+(1n)=%所以|A8|=,由然:=邛~,得A2=15,因为直线CD的方

(，+1、

程为y=—3+1，所以(苧)=1-1(\

所以lCDT=2、p高=2、J1—嘉=小.

(2)当直线A3的斜率不存在时，△4BE的面积S=；X4X2=4；

当直线AB的斜率存在时，设其斜率为A,则直线AB的方程为y=fcv+l,显然ZWO,

则直线CD的方程为y=-%+l,

|2^-1+1|\2k\

易知E到直线AB的距离即M到AB的距离，设为d,则d=

7K+1y］吩+1

所以△ABE的面积S=；|A8|•d=2⑷2+3)3

(R+i)2'

(4/-D(r-1)*+4=2,2)-4'易知兵(。r

令公+1=>4,则s=2-3=2',所以

Se4.

综上，ZSABE面积的取值范围为停，4.

20.解析(1)圆C：/+)2+2x—4y+/n=0可化为(x+1)2+0—2)2=5—m，

所以圆C的圆心坐标为(一1,2).

又圆C与y轴相切，所以寸5—m=l,即机=4,故圆C的半径为1.

(2)设P(x,y),则|PMF=|PCT—|MCF=(X+1)2+()，-2)2-1,\PO\2^x2+y2.

由于|PM|=2|PO|,则(x+l)2+(y—2产-1=4(/+*),整理得点尸的轨迹方程为+^+|)=y.

21.解析由题意知，圆M的半径r=2,例(0,4),设P(26,b).

(1):用是圆M的一条切线，.\ZMAP=90°,

\MP\=y](0-2/?)2+(4-^)2="MF+<PF=^22+(2A/3)2=4,

解得b=0或,,

...点P的坐标为(0,0)或停，

-8£Q

(2)圆N过定点(0,4),W£L理由如下：'：ZMAP=90,二经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,

其方程为(X—6)2+(y—等B4Z?~+(b―4)2

=,SP(2x+y—4)/7—(^+^2—4y)=0.

8

工=5，

'2x+y—4=0,售或1父

由/+y2_4y=(),解得4・••圆N过定点(0,4),5'5》

产亍

(A+4Y4〃+(/?—4)2

(3)由(2)得圆N的方程为(龙一份2+0,一六一)=-------------，即x2+y2—2bx—(b+4)y+4b=0,①

又圆M：/+。-4)2=4,即广+产一8丁+12=0,②

②一①，得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2bx+(。-4)y+12—4。=0,

4

点