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文档简介
考研数学(数学三)模拟试卷3(共9套)(共203题)考研数学(数学三)模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题,每题1.0分,共7分。)1、设函数f(x)=则下列结论正确的是()。A、f(x)有间断点B、f(x)在(-∞,+∞)上连接,但在(-∞,+∞)内有不可导的点C、f(x)在(-∞,+∞)内处处可导。但在f’(x)在(-∞,+∞)上不连续D、f’(x)在(-∞,+∞)上连续标准答案:C知识点解析:本题主要考查分段函数在分界点处的连续性,可导性及导函数的连续性问题。f(x)的定义域是(-∞,+∞),它被分成两个子区间(-∞,0]和(0,+∞),在(-∞,0]内f(x)=x2,因而它在(-∞,0]上连续,在(-∞,0)内导函数连续,且f’-(0)=0;在(0,+∞)内f(x)=,因而它在(0,+∞)内连续且导函数连续。注意,因而f(x)在(-∞,+∞)连续,可见A不正确;又因,即f(x)在x=0右导数f’+(0)存在且等于零,这表明f’(0)存在且等于零,于是,f’(x)在(-∞,+∞)上处处存在,可见B不正确;注意,当x>0时,f’(x)=,于是不存在,这表明f’(x)在x=0处间断,可见C正确,D不正确,故选C。2、设f’(x0)=0,f”(x0)>0,则必定存在一个正数δ,使得()。A、曲线y=f(x)在(x0-δ,x0+δ)是凹的B、曲线y=f(x)在(x0-δ,x0+δ)是凸的C、曲线y=f(x)在(x0-δ,x0)单调下降,而在(x0,x0+δ)单调上升D、曲线y=f(x)在(x0-δ,x0)单调上升,而在(x0,x0+δ)单调下降标准答案:C知识点解析:f’’(x0)=,由极限的不等式性质→δ>0,当xε(x0-δ,x0+δ)且x≠x0时,>0→当xε(x0-δ,x0)时,f’(x)<0;当xε(x0,x0+δ)时,f’(x)>0,又f(x)在x=x0连续→f(x)在(x0-δ,x0)单调下降,在(x0,x0+δ)单调上升,故应选C。3、设f(x)=(1+x2)x2-1,g(x)=,则x→0时f(x)是g(x)的()。A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶而非等阶无穷小D、等阶无穷小标准答案:B知识点解析:这是考查如下的型极限,由洛必达法则与等阶无穷小替换得其中用了下面的等阶无穷小替换:x→0时(1+x2)x2-1~In[(1+x2)x2-1+1]=x2In(1+x2)~x4,。故应选B。4、设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)+f(1-x)≠0,则I=()。A、0B、C、D、1标准答案:B知识点解析:该积分不可能直接计算,需作变量替换得出一个类似的积分,二者合并后消去f(x)令1-x=t,x=1-t,则所以I=,故选B。5、a=-5是齐次方程组(Ⅰ)有非零解的()。A、充分必要条件B、充分条件,但不是必要条件C、必要条件,但不是充分条件D、既不是必要条件又不是充分条件标准答案:B知识点解析:根据克拉姆法则,当齐次方程组的系数矩阵式方阵时,它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为0。于是a=-5是(I)有非零解的充分条件,但不是必要条件。6、n维向量α=(1/2,0,…0,1/2)T,A=E-4ααT,β=(1,1,…1)T,则Aβ的长度为()。A、B、C、nD、n2标准答案:B知识点解析:Aβ=(E-4ααT)β=β-4α(αTβ)=β-4α=(-1,1,…1,-1)T,‖Aβ‖=。7、在区间(-1,1)上任意投一质点,以X表示该质点的坐标,则该质点落在(-1,1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,则()。A、X与|X|相关,且相关系数|P|=1B、X与|X|相关,但|P|<1C、X与|X|不相关,且也不独立D、X与|X|相互独立标准答案:C知识点解析:依题设,X在[-1,1]上服从均匀分布,其概率密度为,由于,故cov(X,|X|)=0,从而p=0,X与|X|不相关,于是可排除A和B,对于任意实数a(0<a<1),有,又,从而,所以X与|X|不独立,故应选C。二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)8、若f’(cosx+2)=tan2x+3sin2x,且f(0)=8,则f(x)=_________________________。标准答案:知识点解析:令t=cosx+2→cosx=t-2,cos2x=(t-2)2,sin2x=1-(t-2)2,tan2x=(t-2)-2-1。→f’(t)=(t-2)-2-1+3-3(t-2)2=2+(t-2)-2-3(t-2)2→f(t)=2t-(t-2)-1-(t-2)3+C→f(x)=2x--(x-2)3+C。由,因此。9、已知f(x)在(-∞,+∞)内可导,且,则c=_________________________。标准答案:知识点解析:若c=0,=1,若c≠0,则由拉格朗日中值定有f(x)-f(x-1)=f’(ξ)﹒1,其中ξ介于x-1与x之间,当x→∞时,也有ξ→∞,故由已知条件。又根据题设条件e3c=e,可知。10、已知当x>0与y>0时,则函数f(x,y)在点(x,y)=(1,1)处的全微分=_________________________。标准答案:知识点解析:由于,令,则f(u,v)=。从而当x>0,y>0时f(x,y)=,求全微分可得,令x=1,y=1就有。11、已知级数与反常积分均收敛,则常数p的取值范围是_________________________。标准答案:0<p<2知识点解析:由于是交错级数,只要p>0就符合莱布尼兹判别法的要求,因而收敛。而当p≤0时,该级数的通项不趋于零,所以一定发散。又对于来说,直接计算即可知:p<2时收敛,p≥2时发散。两者结合即得上述答案。12、设实对称要使得A的正,负惯性指数分别为2,1,则a满足的条件是_________________________。标准答案:a<0或>4知识点解析:A的正,负惯性指数分别为2和1的充分必要条件是︳A︳<0(A的对角线元素有正数,不可能特征值都负),求出︳A︳=-a2+4a,得答案。13、设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,其密度函数为f(x,y)=,则常数a=_________________________。标准答案:知识点解析:方法一:利用二维正态分布的标准形式对指数式配方,且该正态分布的相关系数p=0,即X,Y独立。由于2x2+y2+8x-4y+14=2(x+2)2+(y-2)2+2,从而f(x,y)=。由二维正态分布的标准式可知,。故由f(x,y)=。方法二:利用密度函数的积分等于1来定出常数是一种常用的方法。根据泊松积分可得于是有。三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)14、求不定积分。标准答案:方法一:作变量替换x=tant(),则有。再分部积分得,其中。于是。根据三角形示意图,易变量还原得。方法二:为了作分部积分,先求。同样由三角形示意图,变量还原得。于是由分部积分得。知识点解析:暂无解析15、设二元可微函数F(x,y)在直角坐标系中可写成F(x,y)=f(x)+g(y),其中f(x),g(y)均为可微函数,而在极坐标系中可写成F(x,y)=,求二元函数F(x,y)。标准答案:由题设可知,在极坐标系中F(x,y)与θ无关,于是再由F(x,y)=f(x)+g(y)得。代入①式得-yf’(x)+xg’(y)=0,即=λ(常数)。由f’(x)=λx,g’(y)=λy分别得。因此F(x,y)=f(x)+g(y)=C(x2+y2)+C0,其中C与C0为常数。知识点解析:暂无解析16、设函数f(x,y)=计算二重积分,其中D={(x,y)︱x2+(y-1)2≤1}。标准答案:如图所示,设在直线y=1下方的部分记为D1,在y=1上方的部分记为D2,且D2在y轴右侧的部分记为D’2,于是知识点解析:暂无解析17、设f(x)是幂级数在(-1,1)内的和函数,求f(x)和f(x)的极值。标准答案:先由逐项求导可得f’(x)的解析式,再由此解析式求f(x)的驻点与f(x)。由于f(x)=+1,xε(-1,1)。根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导,因此有f’(x)因此f(x)由f’(x)的表达式可知,f(x)在(-1,1)内有唯一驻点x=0,且故f(x)在x=0点取得极大值f(0)=1。知识点解析:暂无解析18、证明推广的积分中值定理:设F(x)与G(x)都是区间[a,b]上的连续函数,且G(x)≥0,G(x)≠0,则至少存在一点ξε[a,b]使得标准答案:设F(x)在[a,b]上的最大值与最小值分别是M与m,利用G(x)≥0且G(x)≠0即知当xε[a,b]时,由定积分的性质即知,由于G(x)≥0且G(x)≠0,故,从而有。再由F(x)是以m与M分别为其最小值与最大值的区间[a,b]上的连续函数即知存在ξε[a,b]使得,即。知识点解析:暂无解析19、设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,-2,4,0)T,c为任意。记B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=α1-α2的通解。标准答案:首先AX=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,-2,4,0)T可得到下列讯息:①Ax=0的基础解系包含1个解,即4-r(A)=1,得r(A)=3,即r(α1,α2,α3,α4)=3。②(1,2,2,1)T是Ax=β解,即α1+2α2+2α3+α4=β。③(1,-2,4,0)T是Ax=0的解,即α1-2α2+4α3=0。α1,α2,α3线性相关,r(α1,α2,α3)=2。显然B(0,-1,1,0)T=α1-α2,即(0,-1,1,0)T是Bx=α1-α2的一个解。由②,B=(α3,α2,α1,β-α4)=(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3),于是r(B)=r(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3)=r(α1,α2,α3)=2。则Bx=0的基础解系包含解的个数为4-r(B)=2个,α1-2α2+4α3=0说明(4,-2,1,0)T是Bx=0的解;又从B=(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3)容易得到B=(-2,-2,-1,1)T=0,说明(-2,-2,-1,1)T也是Bx=0的解,于是(4,-2,1,0)T和(-2,-2,-1,1)T构成Bx=0的基础解系。Bx=α1-α2的通解为:(0,-1,1,0)T+C1(4,-2,1,0)T+C2(-2,-2,-1,1)T,C1,C2任意。知识点解析:暂无解析20、设α1,α2,…,αs都是实的n维列向量,规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。(Ⅰ)证明A是实对称矩阵;(Ⅱ)证明A是负惯性指数为0;(Ⅲ)设r(α1,α2,…,αs)=k,求二次型XTAX的规范性。标准答案:(Ⅰ)记C=(α1,α2,…,αs),这是一个n×s实矩阵,则根据矩阵乘法的分块法则,A=CCT,于是AT=(CCT)T=CCT=A。即A是对称矩阵。(Ⅱ)A的负惯性指数为0也就是A的特征值都不是负数。设λ是A的一个特征值,η是属于λ的一个特征向量,即Aη=λη,则ηTAη=ληTη,→ηTCCTη=ληTη,即(CTη,CTη)=λ(ηT,η)则λ=(CTη,CTη)/(ηT,η)≥0。(Ⅲ)A的正、负惯性指数之和等于A的秩,因为A的负惯性指数为0,正惯性指数就为A的秩,由于C是实矩阵r(A)=r(C)=r(α1,α2,…,αs)=k,于是为A的正惯性指数为k,二次型XTAX的规范形为y21+y22+…+y2k。知识点解析:暂无解析21、设X,Y相互独立且同服从[0,θ](θ>0)上的均匀分布,求E[min(X,Y)],E[max(X,Y)]。标准答案:由于X,Y相互独立,且都服从[0,θ]上的均匀分布,故可得(X,Y)的联合密度故E[min(X,Y)]E[max(X,Y)]=知识点解析:暂无解析22、进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止,设每次试验的成功率都是p(0<p<1),现进行10批试验,其各批试验次数分别为5,4,8,3,4,7,3,1,2,3。求:(Ⅰ)试验成功率p的矩估计值;(Ⅱ)试验失败率q的最大似然估计值。标准答案:依题意,试验总体X服从参数为p的几何分布,即P{X=m}=pqm-1,其中m=1,2,…,q=1-p。根据数据就是从总体X中取出的样本值,样本容量n=10。其未知参数p的矩估计值与q的最大似然估计值待求。(Ⅰ)EX=。试验成功率p的矩估计量,相应矩估计值为。(Ⅱ)最大似然函数L(x1,…,x10;p),简记为L,则,,解似然方程,可得。于是试验成功率p的最大似然估计值,根据最大似然估计的不变性,其试验失败率q的最大似然估计值为。知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、已知f(x)在x=0处二阶可导,且f’(0)=f"(0)=2,则=()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:根据反函数求导法则2、曲线y=的渐近线条数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案:C知识点解析:因为=∞,所以x=0是一条垂直渐近线;因为=∞,所以不存在水平渐近线;则y=x+1是一条斜渐近线;所以y=-x-1是一条斜渐近线。综上一共有三条渐近线,故选择(C)。3、下列命题中正确的是()A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:选项(D),若绝对收敛,则收敛,因此可得=0,而un2是un的高阶无穷小,根据正项级数判别法,低阶收敛能推出高阶收敛,因此收敛,故选择(D)。4、设,其中D={(x,y)|x2+y2<1},则()A、M<N<P。B、N<M<P。C、M=N<P。D、M=P<N。标准答案:C知识点解析:M=因为积分区域D关于x轴和y轴都对称,x3、3xy2是关于x的奇函数,3x2y、y3是关于y的奇函数,所以根据对称性可得M=0。因为积分区域D关于x轴和y轴都对称,sinxcosy是关于x的奇函数,sinxcosy是关于y的奇函数,所以根据对称性可得N=0。因为积分区域为D={(x,y)|x2+y2<1},则有e|x+y|-1>0,即P>0。故有M=N<P,选择(C)。5、设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,若矩阵AB可逆,则下列说法中正确的是()A、A的行向量组线性无关,B的行向量组也线性无关。B、A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关。C、A的列向量组线性无关,B的行向量组线性无关。D、A的列向量组线性无关,B的列向量组也线性无关。标准答案:B知识点解析:由于矩阵AB可逆,可知r(AB)=m,而r(A)、r(B)≥r(AB),且有r(A),r(B)≤m,可知r(A)=r(B)=m。因此,矩阵A行满秩,矩阵B列满秩,即A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关,故选(B)。6、设α1,α2,α3,α4,α5为4维列向量,下列说法中正确的是()A、若α1,α2,α3,α4线性相关,那么当k1,k2,k3,k4不全为0时,k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0。B、若α1,α2,α3,α4线性相关,那么当k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0时,k1,k2,k3,k4不全为0。C、若α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出,则α1,α2,α3,α4线性相关。D、若α1,α2,α3,α4线性相关,则α5不能由α1,α2,α3,α4线性表出。标准答案:C知识点解析:(C)选项,反证法。假设α1,α2,α3,α4线性无关,因为α1,α2,α3,α4,α5必线性相关(5个4维列向量必线性相关),则α5可由α1,α2,α3,α4线性表出,矛盾。从而α1,α2,α3,α4线性相关。7、设A,B为随机事件,且0<P(A)<1,则下列说法正确的是()A、若P(A)=P(AB),则AB。B、若P(A+B)=P(AB),则A=B。C、若P(AB)=,则A,B为对立事件。D、若P(A|B)=,则A,B相互独立。标准答案:D知识点解析:因为两个事件发生的概率相等并不意味着两事件相等,所以(A)(B)(C)不一定成立,而从而可得P(AB)=P(A)P(B),则A,B相互独立。8、设总体X的概率密度为f(x)=,X1,X2,…,Xn是来自X的简单随机样本,统计量T=的期望为()A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:由期望的定义和性质可得,二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、=________。标准答案:知识点解析:通过拼凑将所给极限变形并由等价无穷小代换得10、差分方程yx+1-2yx=3x2的通解为________。标准答案:yx=A.2x-9-6x-3x2,A为任意常数知识点解析:对应的齐次方程的通解为yx*=A.2x(其中A为任意常数)。非奇特解与右端为同名函数,因此设=B0+B1x+B2x2,代入给定方程,有B0+B1(x+1)+B2(x+1)2-2B0-2B1x-2B2x2=3x2,整理得(-B0+B1+B2)+(-B1+2B2)x-B2x2=3x2,比较同次幂的系数得-B0+B1+B2=0,-B1+2B2=0,-B2=3,故B0=-9,B1=-6,B2=-3。因此,通解为yx=yx*+=A.2x-9-6x-3x2,A为任意常数。11、设f(x,y,z)=exyz2是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数,其中z=z(x,y),则f’x(0,1,-1)=________。标准答案:1知识点解析:z是关于x,y的函数,因此f(x,y,z)=exyz2两边对x求偏导可得,x+y+z+xyz=0两边对x求偏导可得12、曲线θ=(1≤r≤3)的弧长为________。标准答案:2+知识点解析:曲线的参数方程为(1≤r≤3),根据弧长公式,13、设A,B为三阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=________。标准答案:18知识点解析:由|2E+A|=(-1)3|-2E-A|=0,知|-2E-A|=0,λ=-2为A的一个特征值,由A~B,故A,B有相同特征值。因此B的三个特征值为λ1=-2,λ2=1,λ3=-1,且存在可逆矩阵P,使得P-1BP=。于是从而|E+B|=9,且|A|=λ1λ2λ3=2。故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2.9=18。14、相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布N(0,),则D(|X1-X2|)=________。标准答案:1-知识点解析:随机变量X1和X2均服从正态分布N(0,),记Z=X1-X2,则Z~N(0,1),因此有概率密度φ(z)=。D(|X1-X2)=D(|Z|)=E(|Z|2)-[E(|Z|)]2=E(Z2)-[E(|Z|)]2=D(Z)+[E(Z)]2-[E(|Z|)]2,其中D(Z)=1,E(Z)=0,三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、求极限标准答案:利用泰勒公式展开可得知识点解析:暂无解析16、设某产品的需求函数Q=Q(P)是单调减少的,收益函数R=PQ,当价格为P0,对应的需求量为Q0时,边际收益R’(Q0)=2,R’(P0)=-150,需求对价格的弹性EP满足|EP|=,求P0和Q0。标准答案:由题意,收益既可以看作是价格的函数,也可以看作是需求量的函数。由此,R’(P0)=Q0(1+EP)=-150,R’(Q0)=P0(1+)=2。又因为需求函数单调减少,可得<0,所以EP<0,EP=。由此解得P0=6,Q0=300。知识点解析:暂无解析17、根据k的不同的取值情况,讨论方程x3-3x+k=0实根的个数。标准答案:令f(x)=x3-3x+k,x∈R,令f’(x)=3x2-3=0,解得驻点x=-1,x=1,函数的单增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单减区间为[-1,1],因此该函数至多有三个根。因为函数f(x)连续,根据零点定理,f(-∞)<0,f(-1)=2+k,f(1)=k-2,f(+∞)>0。k<-2时,f(-1)<0,f(1)<0,函数在(1,+∞)上存在唯一一个根;-2<k<2时,f(-1)>0,f(1)<0,函数在每个单调区间有一根,共有三个根;k>2时,f(-1)>0,f(1)>0,函数在(-∞,-1)存在唯一一个根;k=-2时,f(-1)=0,f(1)<0,方程在x=-1处和(1,+∞)内各有一个根,共两个根;k=2时,f(-1)>0,f(1)=0,方程在x=1处和(-∞,-1)内各有一个根,共两个根。综上所述,k<-2或k>2,方程有且仅有一个根;-2<k<2,方程有三个根;k=±2,方程有两个根。知识点解析:暂无解析18、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=f(1),证明:存在满足0<ξ<η<1的ξ,η,使得f’(ξ)+f’(η)=0。标准答案:f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,在上分别使用拉格朗日中值定理,可知存在ξ∈,使得由f(0)=f(1),可知(1)+(2)得,f’(ξ)+f’(η)=0。故存在0<ξ<η<1,使得f(ξ)+f(η)=0。知识点解析:暂无解析19、计算二重积分,其中D为平面区域{(x,y)|x2+y2≤2x,x≥1}。标准答案:二重积分先画出积分区域,如图2所示,为右侧的阴影部分,由于积分区域关于x轴对称,根据被积函数中y的奇偶性,被积函数是关于y的奇函数,所以有选用极坐标求二重积分知识点解析:暂无解析20、讨论线性方程组的解的情况,在线性方程组有无穷多解时,求其通解。标准答案:系数矩阵为A=,增广矩阵为从而|A|=(a+3)(a-1)3。当a≠-3且a≠1时,方程组有唯一解;当a=1时,r(A)=r(A,b)=1,方程组有无穷多解,对增广矩阵作初等变换从而所对应的齐次方程组的基础解系为ξ1=(-1,1,0,0)T,ξ2=(-1,0,1,0)T,ξ3=(-1,0,0,1)T,特解为η*=(1,0,0,0)T,则方程通解为x=η*+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3,k1,k2,k3为任意常数。当a=-3时,r(A)=r(A,b)=3,方程组有无穷多解.对增广矩阵作初等变换从而所对应的齐次方程组的基础解系为ξ=(1,1,1,1)T,特解为η*=(-2,-1,-4,0)T,则方程通解为x=η*+kξ,k为任意常数。知识点解析:暂无解析21、设A是各行元素和均为零的三阶矩阵,α,β是线性无关的三维列向量,并满足Aα=3β,Aβ=3α。(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵;(Ⅱ)若α=(0,-1,1)T,β=(1,0,-1)T,求矩阵A。标准答案:(Ⅰ)因为A的各行元素和为零,从而λ=0为A的一个特征值,并且γ=(1,1,1)T为A属于λ=0的特征向量。另一方面,又因为Aα=3β,Aβ=3α,所以A(α+β)=3(α+β),A(α-β)=-3(α-β),λ=3和λ=-3为A的两个特征值,并且α+β和α-β为A属于λ=3,-3的特征向量,可见A有三个不同的特征值,所以A能相似于对角矩阵。(Ⅱ)A的三个特征向量为γ=(1,1,1)T,α+β=(1,-1,0)T,α-β=(-1,-1,2)T,知识点解析:暂无解析22、已知随机变量X的概率密度为fX(x)=当X=x(x>0)时,Y服从(0,x)上的均匀分布。(Ⅰ)求(X,Y)的联合概率密度;(Ⅱ)求关于Y的边缘概率密度fY(y)及条件概率密度fX|Y(x|y);(Ⅲ)判断随机变量X,Y是否独立,并说明理由。标准答案:(Ⅰ)由题知当x>0时,fY|X(y|x)=当x≤0时,f(x,y)=0。(Ⅲ)因为f(x,y)≠fX(x).fY(y),所以X,Y不独立。知识点解析:暂无解析23、设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,样本矩阵和样本方差分别为和S2。记T=+kS2,已知统计量T是μ2的无偏估计,求k并在μ=0时计算D(T)。标准答案:由题意E(T)=μ2,而知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、下列无穷小中阶数最高的是().A、ex-etanxB、C、ln(1+x)-sinxD、标准答案:B知识点解析:ex-etanx=etanx(ex-tanx-1)~x-tanx,2、下列命题正确的是().A、若f(x)在x0处可导,则一定存在δ>0,在|x-x0|<δ内f(x)可导B、若f(x)在x0处连续,则一定存在δ>0,在|x-x0|<δ内f(x)连续C、若存在,则f(x)在x0处可导D、若f(x)在x0的去心邻域内可导,f(x)在x0处连续,且存在,则f(x)在x0处可导,且标准答案:D知识点解析:得f(x)在x=0处可导(也连续).对任意的a≠0,因为不存在,所以f(x)在x=a处不连续,当然也不可导,即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点,A,B不对;所以f(x)在x=0处不连续,当然也不可导,C不对;因为f(x)在x0处连续且在x0的去心邻域内可导,所以由微分中值定理有选D.3、设f(x)二阶连续可导,g(x)连续,且则().A、f(0)为f(x)的极大值B、f(0)为f(x)的极小值C、(0,f(0))为y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案:C知识点解析:显然得g(0)=0,g'(0)=-2.故(0,f(0))为y=f(x)的拐点,选C.4、设f(x)=x3-3x+k只有一个零点,则k的范围是().A、|k|<1B、|k|>1C、|k|>2D、k<2标准答案:C知识点解析:f(x)为三次函数,至少有一个零点,因为函数不单调,故要使函数只有一个零点,必须极小值大于零或极大值小于零.F'(x)=3(x2-1)=0,得驻点x=±1,且由图形可知,x=-1为极大值点,x=1为极小值点.故f(-1)=2+k<0k<-2,f(1)=-2+k>0k>2,选C.5、设则B等于().A、P1P2-1AB、AP1P2-1C、P1AP2-1D、P2-1AP1标准答案:C知识点解析:选C.6、设A为3阶矩阵,B=(β1,β2,β3),β1为AX=0的解,β2不是AX=0的解,又r(AB)<min{r(A),r(B)},则r(AB)=().A、0B、1C、2D、3标准答案:B知识点解析:因为β2不是AX=0的解,所以AB≠O,从而r(AB)≥1;显然β1,β2不成比例,则r(B)≥2,由r(AB)7、对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=E(X)·E(Y),则().A、D(XY)=D(X)·D(Y)B、D(X+Y)=D(X)-D(Y)C、X和Y独立D、X和Y不相关标准答案:D知识点解析:因为E(XY)=E(X)E(Y),所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,于是ρXY=0,即X,Y不相关,应选D.8、设(X1,X2,…,Xn)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本,则().A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:选D.二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、设f(x)=exsin2x,则f(4)(0)=___________________.标准答案:-24知识点解析:10、标准答案:知识点解析:11、标准答案:知识点解析:当t=0时,x=1.12、微分方程的通解为______________________________.标准答案:知识点解析:13、设A为三阶实对称矩阵,为方程组AX=0的解,为方程组(2E-A)X=0的一个解,|E+A|=0,则A=________________________.标准答案:知识点解析:显然为A的特征向量,其对应的特征值分别为λ1=0,λ2=2,因为A为实对称矩阵,所以考ξ1Tξ2=k2-2k+1=0,解得k=1,于是又因为|E+A|=0,所以λ3=-1为A的特征值,14、设X1,X2,…,Xm与Y1,Y2,…,Yn分别为来自相互独立的标准正态总体X与Y的简单随机样本,则D(Z)=_____________________________.标准答案:2(m+n-2)知识点解析:三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"'(ξ)=9.标准答案:由得f(0)=0,f'(0)=2.作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D,使得P(0)=0,P'(0)=2,P(1)=1,P(2)=6,则φ(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0.因此φ(x)在[0,1]和[1,2]上都满足罗尔定理的条件,则存在ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2),使得φ'(ξ1)=φ'(ξ2)=0.又φ'(0)=0,由罗尔定理,存在η3∈(0,ξ1),η2∈(ξ1,ξ2),使得φ"(η1)=φ"(η2)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(η1,η2)(0,2),使得φ"'(ξ=0.而φ"'(x)=f"'(x)-9,所以f"'(ξ)=9.知识点解析:暂无解析16、设u=f(x2+y2,xz),z=z(x,y)由ex+ey=ez确定,其中f二阶连续可偏导,求标准答案:由ex+ey=ez得知识点解析:暂无解析17、设f(x)连续,且f(1)=0,f’(1)=2,求极限标准答案:知识点解析:暂无解析18、求幂级数的收敛域与和函数.标准答案:由得R=+∞,原级数的收敛域为(-∞,+∞).知识点解析:暂无解析19、求微分方程y"+y'-2y=xex+sin2x的通解.标准答案:特征方程为λ2+λ一2=0,特征值为λ1=-2,λ2=1,y"+y'-2y=0的通解为y=C1e-2x+C2ex.设y"+y'-2y=xex,(*)y"+y'-2y=sin2x.(**)知识点解析:暂无解析20、设B为三阶非零矩阵,为BX=0的解向量,且AX=α3有解.(I)求常数a,b.(Ⅱ)求BX=0的通解.标准答案:由B为三阶非零矩阵得r(B)≥1,从而BX=0的基础解系最多有两个线性无关的解向量,于是解得a=3b.由AX=α3有解得r(A)=r(A┆α),由解得b=5,从而a=15.由α1,α2为BX=0的两个线性无关解得3-r(B)≥2,从而r(B)≤1,再由r(B)≥1得r(B)=1,α1,α2为BX=0的一个基础解系,故BX=0的通解为知识点解析:暂无解析21、设二次型f(xz,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1,且(0,1,-1)T为二次型的矩阵A的特征向量.(I)求常数a,b;(Ⅱ)求正交变换X=QY,使二次型XTAX化为标准形.标准答案:知识点解析:暂无解析22、设随机变量X的分布律为P{X=k)=p(1-p)k-1(k=1,2,…),Y在1~k之间等可能取值,求P{Y=3).标准答案:令Ak={X=k}(k=1,2,…),B={Y=3},P(B|A1)=P(B|A2)=0,P(B|Ak)=(k≥3),由全概率公式得知识点解析:暂无解析23、设X1,X2,…,Xn(n>2)相互独立且都服从N(0,1),Yi=Xi-(i=1,2,…,,n).求(I)D(Yi)(i=1,2,…,n);(Ⅱ)Cov(Y1,Yn);(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0).标准答案:因为X1,X2,…,Xn独立且都服从正态分布,所以Y1+Yn服从正态分布,知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、设f(x)与x为等阶无穷小,且f(x)≠x,则当x→0+时,[f(x)]x-xx是()。A、比f(x)-x高阶的无穷小B、比f(x)-x低阶的无穷小C、比f(x)-x同阶但不等阶的无穷小D、比f(x)-x等阶的无穷小标准答案:D知识点解析:由于f(x)~x,所以f(x)=x[1+a(x)],其中当x→0时,a(x)→0,于是其中,当x→0时[1+a(x)]x-1~xa(x),因此[f(x)]x-xx与f(x)-x为等阶无穷小。故选D。2、设f(x)在x=0的某领域内连续,=-3,则f(x)在x=0处()。A、不可导B、取极小值C、取极大值D、不取极值,但f’(0)=0标准答案:B知识点解析:当x→0时,,故,从而,由于f(x)在x=0的某领域内连续,故有f(0)=0,且,所以A不正确。由可知在x=0的某领域内有>0,即f(x)>0=f(0),所以f(0)=0为极小值,x=0为极小值点,故选B。3、设D是由直线x=0,y=0,x+y=1在第一象限所围成的平面区域,则J==()。A、e+1B、e-1C、D、标准答案:D知识点解析:区域D如图方法一:选用极坐标变换,D的极坐标表示:,于是选D。方法二:D:0≤x≤1,0≤y≤1-x,,对内层积分作变量替换:x=y=t(对y积分,x为常数),选D。方法三:化为后,用分部积分法,选D。4、若方程y’’+py’+qy=0的一切解都是x的周期函数,则一定有()。A、p>0,q=0B、p=0,q>0C、p<0,q=0D、p=0,q<0标准答案:B知识点解析:这是二阶常系数齐次线性方程,其通解形式由特征方程r2+pr+q=0的特征根所决定,①当p2-4q>0时,r1,r2为不等的实特征根,原方程通解为y=c1er1x+c2er2x,这时y不可能是x的周期函数。②当p2-4q=0时,r1=r2=,原方程的通解为,也不可能是x的周期函数。③当p2-4q<0时,,原方程的通解为,只有当p=0时,它的通解才是x的周期函数,这时q>0,故选B。5、设A是5×4矩阵,r(A)=4,则下列命题中错误的为()。A、AX=0只有零解B、AATX=0有非零解C、对任何5维向量β,AX=β都有解D、对任何4维向量β,ATX=β都有无穷多解标准答案:C知识点解析:答案A对,因为r(A)=未知数个数4。答案B对,因为AAT是5阶矩阵,而r(AAT)<5。答案C错,因为存在5维向量β不可用A的列向量组表示,使得AX=β误解。答案D对,因为r(AT)=方程个数4,对任何4维向量β,r(AT︳β)不会大于4。6、设A=,则下列矩阵中与A合同但不相似的是()。A、B、C、D、标准答案:D知识点解析:首先可排除答案A,因为r(A)=2,而答案A的矩阵的秩为1,所以它与A不合同。两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样,(即正,负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同,因此应该从计算特征值下手。求出︳λE-A︳=λ(λ+3)(λ-3),A的特征值为0,-3,3。显然答案C中矩阵的特征值也是0,-3,3,因此它和答案A相似,可排除。剩下答案B和答案D两个矩阵中,只要看一个,答案D中矩阵的特征值容易求出,为0,-1,1,因此它和A合同而不相似。(也可计算出答案B中矩阵的特征值为0,1,4,因此它和A不合同。)7、设随机变量X的密度函数关于x=μ对称,F(x)为其分布函数,则有()。A、F(μ+x)=F(μ-x)B、F(μ+x)+F(μ-x)>1C、0<F(μ+x)+F(μ-x)<1D、F(μ+x)+F(μ-x)=1标准答案:D知识点解析:利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性,作积分变量替换可导出所需要的结论。又所以故选D。8、设x1,x2,…,xn是取自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,其样本均值和方差分别为,s2,则服从自由度为n的x2分布的随机变量是()。A、B、C、D、标准答案:D知识点解析:因X~N(μ,σ2),所以,又因与S2独立,根据X2分布的可加性,只需4个选项中的第1个加项服从X2(1)分布即可,依题意,有,应选D。二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、n为给定的自然数,极限=_________________________。标准答案:知识点解析:1、此极限是1∞型未定式。原式=,其中大括号内的极限是型未定式,由洛必达法则,有,于是原式=。2、由于,记,则当x→0时y→0,从而,又因,故原式=。10、将抛物线y=x2-x与x轴及直线x=c(c>1)所围成平面图形绕x轴转一周,所得旋转体的体积vx等于弦OP(P为抛物线与直线x=c的交点)绕x轴旋转所得锥体的体积v锥,则c的值为_________________________。标准答案:知识点解析:图形如下图所示。由题设知,化简得,得c=。11、设u(x,y)=y2F(3x+2y),若=x2,则=_________________________。标准答案:知识点解析:1、由=x2得=x2,即F(3x+1)=4x2,设3x+1=t,x=,则F(t)=,从而F(3x+2y)=,于是。2、由u(x,y)=y2F(3x+2y)可得=3y2F’(3x+2y),①→=F’=(3x+1)②又由=x2→=2x③。由②,③→F’(3x+1)=2x,F’(3x+1)==[(3x+1)-1],→F’(3x+2y)=(3x+2y-1),代入①得y2(3x+2y-1)。12、设方程+(a+sin2x)y=0的全部解均以π为周期,则常数a=_________________________。标准答案:知识点解析:一阶线性齐次方程+(a+sin2x)y=0的全部解为y=(c为常数),它们均以π为周期(a+sin2t)dt以π为周期。1、a+sin2t以π为周期,则(a+sin2t)dt以π为周期(a+sin2t)dt=πa+=π(a+)=0,即a=。2、由于(a+sin2t)dt=ax+(1-cos2t)dt=(a+)x-sin2x,它以π为周期。13、已知B=,矩阵A相似于B,A*为A的伴随矩阵,则︱A*+3E︱=_________________________。标准答案:27知识点解析:A相似于B,则A*+3E相似于B*+3E,于是︱A*+3E︱=︱B*+3E︱,方法一:求出B*=︱B︱B-1=-12,︱B*+3E︱==27。方法二:用特征值︱λE-B︱==︱λ-3︱(λ2-4),B的特征值为2,-2,3,︱B︱=-12,于是B*的特征值为-6,6,-4,B*+3E的特征值为-3,9,-1,︱B*+3E︱=27。14、设随机变量X1,X2,…,X12独立同分布且方差存在,则随机变量U=X1+X2+…+X7,V=X6+X7+…+X12的相关系数PUV=_________________________。标准答案:知识点解析:设DXi=σ2,由于随机变量X1,X2,…,X12独立同分布,故有DU=DV=7σ2,cov(U,V)==DX6+DX7=2σ2(因为i≠j时,=0),于是。三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、过点(1,0)作曲线y=的切线,求该切线与曲线及x轴围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积Vx和Vy。标准答案:设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为又因切线过点(1,0),所以有从而可知切点的横坐标x0=3,切线方程为知识点解析:暂无解析16、设f(x)满足。(Ⅰ)讨论f(x)在(-∞,+∞)是否存在最大值或最小值,若存在则求出;(Ⅱ)求y=f(x)的渐近线方程。标准答案:(Ⅰ)先求出f(x)的表达式,由,得。上式中令x=0,等式显然成立,又两边求导得f(-x)=-x-e-x。因此,f(x)=x-ex,xε(-∞,+∞)。下面讨论f(x)的最值问题,由f’(x)=(1-ex)①>0,x<0,②=0,x=0,③<0,x>0→f(0)=-1是f(x)在(-∞,+∞)的最大值,f(x)在(-∞,+∞)无最小值。(Ⅱ)由→x→-∞时有渐近线y=x。又f(x)无间断点,且→y=f(x)无其他渐近线。知识点解析:暂无解析17、设函数y(x)在(-∞,+∞)内有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程;(Ⅱ)求解变换后的微分方程的通解。标准答案:本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出之间的联系,再代入方程使之简化,从而将非常数系数方程化为常系数线性微分方程再求解。(Ⅰ)由反函数求导公式,即,再对x求导,有,从而有代入原方程即y’’-y=sinx。(Ⅱ)y’’-y=sinx对应齐次方程y’’-y=0的特征根为r=±1,因此对应齐次方程通解为=c1ex+c2e-x。在y’’-y=sinx中,由于r=i不是相应齐次方程的特征根,因此它有形如y=Acosx+Bsinx的特解,将其代入y’’-y=sinx中,可得A=0,B=,因而方程y’’-y=sinx有特解y*=,故方程y’’-y=sinx的通解为y=c1ex+c2e-x-。知识点解析:暂无解析18、设连续函数f(x)满足,求。标准答案:因为f(x)=,所以在[0,1]上积分上式可得将累次积分表成二重积分后交换积分顺序,可得(其中D如图所示)再对内层积分作变量替换并凑微分可得,故,解得I=2。知识点解析:暂无解析19、设函数y(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二次可导,且满足y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x),y(a)=y(b)=0,其中函数p(x),q(x)与f(x)都在[a,b]上连续,且存在常数q0>0使得q(x)≥q0,存在常数F>0使得︱f(x)︱≤F,求证:当xε[a,b]时︱y(x)︱≤。标准答案:由y(x)在[a,b]上连续知y(x)在[a,b]上取得它的最大值与最小值,即存在x1ε[a,b]使得y(x1)是y(x)在[a,b]上的最大值,又存在x2ε[a,b]使得y(x2)是y(x)在[a,b]上的最小值。无妨设最大值y(x1)>0,而最小值y(x2)<0。由于y(a)=y(b)=0,可见x1ε[a,b],x2ε[a,b]。由极大值的必要条件可得y’(x1)=0,y’’(x1)≤0,从而在最大值点x=x1处有f(x1)=y’’(x1)+p(x1)y’(x1)-q(x1)y(x1)=y’’(x1)-q(x1)y(x1)→q(x1)y(x1)=y’’(x1-f(x1)≤-f(x1)→y(x1)≤。类似由极小值的必要条件可得y’(x2)=0,y’’(x2)≥0,从而在最小值点x=x2处有f(x2)=y’’(x2)+p(x2)y’(x2)-q(x2)y(x2)=y’’(x2)-q(x2)y(x2)→q(x2)y(x2)=y’’(x2)-f(x2)≥-f(x2)→y(x2)≥。综合以上的讨论即得当xε[a,b]时有。知识点解析:暂无解析20、设A是m×n阶矩阵,试证明:(Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m),则对任何m×s矩阵C,矩阵方程AX=C都有解。(Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n),则存在n×m矩阵B,使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。标准答案:(Ⅰ)因为r(A)=m,对任何β,m=r(A)≤r(A,β)≤m,((A,β)是m×(n+1)矩阵)因此总有r(A)=r(A,β),于是方程组AX=β总有解。设C=(β1,β2,…,βs),对每个i=1,2,…,s,取η1是方程组AX=β1的一个解,则矩阵D=(η1,η2,…,ηs),则AD=C。(Ⅱ)如果A列满秩,则AT行满秩,根据(Ⅰ)的结果,存在m×n矩阵H,使得ATH=E,记B=HT,则BA=HTA=(ATH)T=E。知识点解析:暂无解析21、设A是n阶矩阵,n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量,特征值分别为1和2。(Ⅰ)证明βTα=0;(Ⅱ)求矩阵βαT的特征值;(Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。标准答案:(Ⅰ)条件说明Aa=a,ATβ=2β,βTa=βTAa=(ATβ)Ta=2βTa,得βTa=0。(Ⅱ)((βa)T)2=βaTβaT=(aTβ)βaT,而aTβ=(βTa)T=0,于是((βa)T)2=0,从而βaT的特征值λ都满足λ2=0,即βaT的特征值都为。(Ⅲ)βaT不相似于对角矩阵,可用反证法说明。如果对角矩阵相似于βaT,则这个对角矩阵的对角线上的元素是βaT的特征值,都是0,即是零矩阵。βaT相似于零矩阵,也一定是零矩阵,但是a和β分别是A和AT的特征向量,都不是零向量,因此βaT不是零矩阵。知识点解析:暂无解析22、有甲、乙、丙三个口袋,其中甲口袋装有1个红球,2个白球,2个黑球;乙袋装有2个红球,1个白球,2个黑球;丙袋装有2个红球,3个白球。现任取一袋,从中任取2个球,用X表示取到的红球数,Y表示取到的白球数,Z表示取到的黑球数,试求:(Ⅰ)(X,Y)的联合分布;(Ⅱ)cov(X,Y)+cov(Y,Z)。标准答案:方法一:(Ⅰ)用全概率公式求(X,Y),(Y,Z)的联合分布,即有从而(X,Y)与(Y,Z)的联合分布与边缘分布可列表如下:(Ⅱ)于是cov(X,Y)+cov(Y,Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)=方法二:(Ⅰ)求(X,Y)的联合分布同方法一,但不求(Y,Z)的联合分布。(Ⅱ)由Z=2-X-Y,故cov(X,Y)+cov(Y,Z)=cov(X,Y)+cov(Y,2-X-Y)=cov(X,Y)-cov(Y,X)-cov(Y,Y)=-DY又,故cov(X,Y)=cov(Y,Z)=-DX=。知识点解析:暂无解析23、设x1,x2,…,xn来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为其中λ>0,a>0为已知参数。记Y=。(Ⅰ)求λ的矩估计量和最大似然估计量;(Ⅱ)求Y的数学期望EY的最大似然估计量。标准答案:(Ⅰ)EX令EX=,得λ的矩估计量。样本的似然函数L(x1,x2,…,xn;λ)=,取对数InL=nInλ-,令,解得,从而λ的最大似然估计量。(Ⅱ)EY由于EY是λ的单调函数,根据最大似然估计的不变性,故EY的最大似然估计量为。知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、设f(x)在x=x0的某邻域内存在二阶导数,且=a>0,则存在点(x0,f(x0))的左、右侧邻域使得()A、曲线y=f(z)在内是凸的.B、曲线y=f(z)在内是凹的.C、曲线y=f(z)在都是凹的.D、曲线y=f(z)在内都是凸的.标准答案:B知识点解析:由所给条件推知存在x=x0的去心邻域>0.于是知,当x∈(x0)且x<x0时,f"(x)<0,曲线是凸的;当x∈(x0)且x>x0时,f"(x)>0,曲线是凹的.故应选B.2、设函数z=z(x,y)由方程F()=0确定,其中F为可微函数,且F’2≠0,则=()A、x.B、y.C、z.D、0.标准答案:C知识点解析:对方程F()=0两边关于x求偏导数,得再将原方程两边对y求偏导数,得3、设anxn在x=3处条件收敛,则(x一1)n在x=一1处()A、必绝对收敛.B、必条件收敛.C、必发散.D、敛散性要看具体的{an}.标准答案:A知识点解析:anx在x=3处条件收敛,所以收敛半径R=3,所以(x一1)”的收敛区间为(一2,4),而x=一1∈(一2,4),所以,在x=一1处,该幂级数绝对收敛.选A.4、A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:作积分变量代换,令u=x—t,5、设非齐次线性方程组Ax=b有通解k1ξ1+k2ξ2+η=k1(1,2,0,—2)T+k2(4,一1,一1,一1)T+(0,0,0,1)T,其中k1,k2是任意常数,则下列向量中不是Ax=b的解向量的是()A、α1=(1,2,0,一1)T.B、α2=(6,1,一2,一1)T.C、α3=(一5,8,2,一3)T.D、α4=(5,1,一1,一2)T.标准答案:B知识点解析:若α是Ax=b的解,则α可表示成k1ξ1+k2ξ2,即α一η=k1ξ1+k2ξ2.若α一η可由ξ1,ξ2线性表示,则是Ax=0的解;若不能由ξ1,ξ2线性表示,则不是Ax=0的解.将ξ1,ξ2,α1一η,α2一η,α3一η,α4一η合并成矩阵,并一起作初等行变换.故知,α2一η不能由ξ1,ξ2线性表示,不是Ax=0的解向量(α1一η,α3一η,α4一η是解向量),故应选B.6、设A=,则①A~B;②AB;③A≌B;④|A|=|B|,其中正确的个数为()A、1.B、2.C、3.D、4.标准答案:D知识点解析:四项均正确.将A的1,3行互换,且1,3列互换得B,即E13AE13=B(或E24AE24=B).因E13=E13=E13,故有E13AE13=B,即A~B;E13AE13=B,即AB;E13AE13=B,即A≌B,且|A|=|B|.故应选D.7、设(X,Y)是二三维连续型随机变量,下列各式都有意义,若X与Y独立,则下列式中必成立的个数为()①E(XY)=EX.EY;②FX|Y(x|y)=fX(x);③P{X>x,Y>y}=1一FX(x)FY(y);④令Z=X+Y,则FZ(z)=∫-∞+∞FX(z—y)Y(y)dy.A、1.B、2.C、3.D、4.标准答案:C知识点解析:①显然成立;②成立,事实上fX|Y(x|y)==fX(x);③不成立,事实上P{X>x,Y>y}=1一=1一P{{X≤x}∪{Y≤y}}≠1一FX(z)FY(y);④成立,事实上FZ(z)=P{X+Y≤z}=fX(x)fY(y)dxdy=∫-∞+∞[∫-∞z—yfX(x)dx]fY(y)dy=∫-∞+∞FX(z—y)fY(y)dy.8、假设总体X在非负整数集{0,1,2,…,k}上等可能取值,k为未知参数,x1,x2,…,xn为来自总体X的简单随机样本值,则k的最大似然估计值为()A、xn.B、.C、min{x1,…,xn}.D、max{x1,…,xn}.标准答案:D知识点解析:由题意,知X的分布律似然函数L(x1,…,xn;k)=(0≤xi≤k,i=1,2,…,n).则lnL=一nln(k+1),故<0,又k≥x1,k≥x2,…,k≥xn←→k≥max{x1,…,xn}.所以k的最大似然估计值为k=max{x1,…,xn}.二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、直角坐标中的累次积分I=f(x,y)dy化为极坐标先r后θ次序的累次积分I=___________.标准答案:知识点解析:按题目上、下限,积分区域D如图阴影部分所示,对y的积分上限方程y=,化为极坐标为r=2acosθ。对y的积分下限方程y=2a—,化为极坐标为r=4asinθ。OA的倾斜角记为θ0,tanθ0=.于是,由极坐标,直线段OA将D分成两块,在极坐标系中,积分如答案所示.10、设f(x)连续且f(x)≠0,又设f(x)满足f(x)=∫0xf(z—t)dt+∫01f2(t)dt,则f(x)=___________.标准答案:知识点解析:f(x)=∫0xf(x—t)dt+∫01f2(t)dt(第—个积分令x—t=u)=一∫x0f(u)du+∫01f2(t)dt=∫0xf(u)du+∫01f2(t)dt.令∫01f2(t)dt=a,于是f(x)=∫0xf(u)du+a,f’(x)=f(x),f(0)=a,解得f(x)=Cex.由f(0)=a,得f(x)=aex,代入∫01f2(t)dt=a中,得a=∫01f2(t)dt=a2∫01e2tdt=(e2—1).解得a=0(舍去),a.11、设常数a>0,双纽线(x2+y2)2=a2(x2一y2)围成的平面区域(如图)记为D,则二重积分(x2+y2)dσ=___________.标准答案:a知识点解析:由于被积函数及积分区域D关于两坐标轴都对称,所以12、=___________.标准答案:一1知识点解析:13、设方程组(Ⅰ):则x1+x2+x3=___________.标准答案:2知识点解析:法一解方程组(Ⅰ),求出x1,x2,x3,代入即得.对方程组(Ⅰ)的增广矩阵作初等行变换,对应齐次方程组的基础解系为(一3,1,2)T,非齐次方程组的特解为(一5,0,7)T,通解为k(一3,1,2)T+(一5,0,7)T=(一3k一5,k,2k+7)T,将通解代入x1+x2+x3=(一3k一5)+k+(2k+7)=2.故应填2.法二由①×3+②×2得x1+x2+x3=一48+50=2,故应填2.14、已知随机变量X1,X2,X3的方差都是σ2,任意两个随机变量之间的相关系数都是ρ,则ρ的最小值=___________.标准答案:知识点解析:由题可得D(X1+X2+X3)=DX1+DX2+DX3+2Coy(X1,X2)+2Cov(X1,X3)+2Cov(X2,X3)=3σ2+6ρσ2=3σ2(1+2ρ)≥0,所以ρ≥.三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、设F(x)=∫-∞+∞|x—t|dt,求F"(x).标准答案:将第一个积分作积分变量代换,令t=一u,并将变换后的u仍记为t,并与第二项合并,注意到这两个反常积分都是收敛的,于是知识点解析:暂无解析16、设D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},计算|xy一1|dσ.标准答案:作出区域D,如图所示.在D中作曲线y=,将区域D分成D1,D2及D3.知识点解析:暂无解析17、(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分的定义;(Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)都存在,且=f’x(x0,y0)△x+f’y(x0,y0)△y,(Ⅲ)举例说明(Ⅱ)的逆定理不成立.标准答案:(Ⅰ)定义:设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域U内有定义,(x0+△x,y0+△y)∈U.增量△z=f(x0+△x,y0+△y)一f(x0,y0)A△x+B△y+ο(ρ),(*)其中A,B与△x和△y都无关,ρ==0,则称f(x,y)在点(x0,y0)处可微,并称为z=f(x,y)在点(x0,y0)处的微分.(Ⅱ)[证]设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则(*)式成立.令△y=0,于是令△x→0,有=B.证明了f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)存在,并且=f’x(x0,y0)△x+f’y(x0,y0)△y.(Ⅲ)当f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)存在时,z=f(x,y)在点(x0,y0)处未必可微.反例:同理f’y(0,0)=0.两个偏导数存在.以下用反证法证出f(x,y)在点(0,0)处不可微.若可微,则有△f=f(△x,△y)一f(0,0)=0△x+0△y+ο(ρ),但此式是不成立的.例如取△y=k△x,极限值随k的变化而变化,(**)式不成立,所以f(x,y)在点(0,0)处不可微.知识点解析:暂无解析18、设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设φ(x)=∫xbf(t)dt—k∫axf(t)dt.证明:(Ⅰ)存在ξ∈[a,b],使φ(ξ)=0;(Ⅱ)若增设条件f(x)≠0,则(Ⅰ)中的ξ是唯一的,且必定有ξ∈(a,b).标准答案:(Ⅰ)φ(a)=∫abf(t)dt,φ(b)=一k∫abf(t)dt,φ(a)φ(b)=一k[∫abf(t)dt]≤0.如果∫abf(t)dt=0,则φ(a)φ(b)=0.取ξ=a或ξ=b,使φ(ξ)=0.如果∫abf(t)dt≠0,则φ(a)φ(b)<0,存在ξ∈(a,b)使φ(ξ)=0.综上,存在ξ∈[a,b]使φ(ξ)=0.证毕.(Ⅱ)若增设条件f(x)≠0,则φ’(x)=一f(x)一kf(x)=一(k+1)f(x)≠0.由于f(x)连续且f(x)≠0,所以或者f(x)>0,或者f(x)<0,所以φ(x)在[a,b]上严格单调,则φ(x)至多有一个零点,又由(Ⅰ)知φ(a)φ(b)<0,则(Ⅰ)中的ξ是唯一的,且ξ∈(a,b).知识点解析:暂无解析19、设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程求f(t).标准答案:化为极坐标,得此为f(t)的一阶线性微分方程.由通解公式,得又由题设有f(0)=1,因此C=1.从而f(t)=(4πt2+1).知识点解析:暂无解析20、设A=,X是2阶方阵.(Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X;(Ⅱ)方程AX一XA=E,其中E是2阶单位阵.问方程是否有解?若有解,求满足方程的所有X;若无解,说明理由.标准答案:(Ⅰ)用待定元素法求X.设X=,代入方程,得取x3=2k1,得x2=一k1.取x4=k2,得x1=k2.故X=,其中k1,k2是任意常数.(Ⅱ)法一AX一X4=E,设X=,由(Ⅰ)得显然方程组中第1个和第4个方程相互矛盾,故矩阵方程AX一XA=E无解.法二由(Ⅰ)易知tr(AX)=tr(XA),故tr(AX一XA)=tr(AX)一tr(XA)=0≠tr(E)=2.故矩阵方程AX一XA=E无解.知识点解析:暂无解析21、已知A=,求A的特征值,并讨论A可否相似对角化标准答案:故有λ1=1+a,λ2=a,λ3=1一a.看特征方程是否有重根,对任意的a,λ1=1+a≠λ2=a.若λ1=1+a=λ3=1一a,则a=0;若λ2=a=λ3=1一a,则a=.故当a≠0且a≠时,λ1≠λ2≠λ3,A有三个不同的特征值,可以相似对角化.当a=,是二重特征值.由于E—A)=2,对应线性无关特征向量只有一个,故A不可相似对角化.当a=0时,λ1=λ3=1,是二重特征值.由于E—A=,则r(E—A)=2,对应线性无关特征向量也只有一个,故A不可相似对角化.知识点解析:暂无解析22、设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=(Ⅰ)求Z=X一2Y的概率密度;(Ⅱ)求P{X≤}.标准答案:(Ⅰ)法一分布函数法.由分布函数的定义FZ(z)=P{Z≤z}=P{X一2Y≤z},可知当z<一1时,FZ(z)=0;当一1≤z<0时,积分区域如图(a)所示:当0≤z<1时,积分区域如图(b)所示:FZ(z)=P{X一2Y≤z}=1一P{X一2Y>z}=1一(1—z)2;当z≥1时,FZ(z)=1.综上法二公式法.fZ(z)=∫-∞+∞f(z+2y,y)dy,法二利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布.即条件{Y=}等价于在直线AB上随机投点,再要求{X≤}等价于范围缩小到AC上随机投点,如图所示,知识点解析:暂无解析23、设X1,X2,…,X5是总体X~N(0,22)的简单随机样本,X=X.(Ⅰ)令随机变量Y=+(X4一X5)2,求EY与DY;(Ⅱ)求随机变量Z=的分布;(Ⅲ)给定α(0<α<0.5),常数c满足P{Z>c}=α,设随机变量U~F(2,1),求P{U>}.标准答案:(Ⅰ)设X1,X2,…,X5是来自总体X~N(0,22)的简单随机样本,由~χ2(2),得(Ⅲ)由Z~t(2)→Z2~F(1,2)→与U同分布,则P{U>}=P{Z2<c2}=P{一c<Z<c>=1—2α.知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、当x→0时,下列无穷小量中阶数最高的是()A、(1+x)x3-1。B、ex5+3x2-1。C、∫x0tan2tdt。D、(x-sinx)2。标准答案:D知识点解析:本题考查无穷小量阶的比较。可利用等价无穷小替换观察其与x的阶数的大小,也可用待定系数法,通过求极限,当l为某个常数时,k即为无穷小量的阶数。对于选项A,(1+x)x3-1~ln[(1+x)x3-1+1]=ln(1+x)x3=x3ln(1+x)=x4,因此A选项是x的4阶无穷小;对于选项B,ex5+3x2-1~x5+3x2~3x2,因此B选项是x的2阶无穷小;对于选项C,利用待定系数法确定阶数,即因此可得C选项是x的3阶无穷小;对于选项D,x→0时,,因此可得D选项是x的6阶无穷小。综上所述,故本题选D。2、函数y=f(x)在(-∞,+∞)上连续,其二阶导函数的图形如图所示,则f(x)的拐点个数为()A、2个。B、3个。C、4个。D、5个。标准答案:C知识点解析:本题考查拐点的定义。函数的拐点可能在二阶导数等于0的点和导数不存在的点取到,关键是观察二阶导数等于O或二阶导数不存在的点两端正负是否一样。观察函数f(x)的二阶导函数的图形,二阶导函数等于零的点分别为x1,x2,x3,x4,这些点当中,只有x1,x2,x4三个点两端的f"(x)变号,即三点两端的凹凸性相反,因此x1,x2,x4均为函数的拐点。此外,二阶导函数不存在的点为x=0,该点两端的f"(x)也变号,即x=0两端的凹凸性也相反,因此x=0也是函数的拐点。故本题选C。3、已知df(x,y)=(6x2y+3y3-3x2)dx+(2x3+9xy2+2y)dy,则(x,y)=()A、2x3(y+1)+3y2x(y+3)+y2-x3+C。B、2x3y+3y3x-x3+y<>2+C。C、2x3y+3y3x-x3+C。D、2x3+9y2x+y2+C。标准答案:B知识点解析:本题考查全微分的定义。dx前是函数对x的偏导数,dy前是函数对Y的偏导数,先通过x的偏导数对x积分,再通过y的偏导数对y积分之后即可得函数的表达式。由题意可得因此f(x,y)=∫(6x2y+3y3-3x2)dx=2x3y+3y3x-x3+φ(y)。又根据可得2x3+9y2x+φ'(y)=2x3+9y2x+2y,因此可得φ'(y)=2y+C,即f(x,y)=2x3y+3y3x-x3+y2+C。故本题选B。4、下列各级数发散的是()A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:本题考查级数的敛散性判断。判断级数敛散性常用的方法有比较审敛法、根值审敛法、莱布尼茨判别法、利用等价级数判断敛散性等。综上所述,故本题选A。5、已知,矩阵B满足A*B+A-1-B=0,其中A*是矩阵A的伴随矩阵,则|B|=()A、-1。B、-4。C、D、标准答案:C知识点解析:本题考查伴随矩阵的性质和矩阵方程的求解。首先对矩阵方程变形,化成矩阵乘积的形式,然后利用已知矩阵求出A的行列式,利用A*A=AA*=|A|E消去方程中的A*,最后根据行列式性质|AB|=|A||B|求出行列式|B|的值。方程两边同时乘矩阵A,对矩阵方程变形可得AA*B+E-AB=0,根据公式A*A=AA*=|A|E,上式变为AB-|A|B=E(A-|A|E)B=E,其中,等式变为(A+E)B=E,两边同时取行列式,|A+E|·|B|=1,解得。故本题选C。6、下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵为()A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:本题考查矩阵可相似对角化的条件。实对称矩阵必可相似对角化;n阶矩阵A如果有n个不同的特征值或有n个线性无关的特征向量,则矩阵A必可相似对角化。A选项的矩阵是实对称矩阵,因此必可相似对角化。B选项的矩阵是一个上三角矩阵,主对角线元素即矩阵的特征值,因此该矩阵有3个不同的特征值,则矩阵必可相似对角化。C选项的矩阵设为C,则得矩阵的特征值为9,0,0,对于二重特征值0,根据r(0E-A)=r(A)=1,可得齐次方程组(0E-A)x=0的基础解系有2个线性无关的特征向量;即属于特征值0的线性无关的特征向量有2个,从而C选项的矩阵必可相似对角化。D选项的矩阵是一个上三角矩阵,主对角线元素为其特征值,分别为-1,-1,2,对于特征值-1,由可知齐次方程组(-E-A)X=0只有一个解向量,即属于二重特征值一l的特征向量只有1个,因此D选项的矩阵不能相似对角化。综上所述,故本题选D。7、设A,B,C是三个随机事件,已知P(ABC)>0,则P(BC|A)=P(B|A)P(C|A)的充分必要条件是()A、P(B|A)=PB、P(BC|A)=P(C|AB)。C、P(C|AB)=P(C|A)。D、P(B|A)=P(C|A)。标准答案:C知识点解析:本题考查随机事件概率的基本性质。根据随机变量的相互独立性及条件概率的性质推导公式成立的条件。根据已知可得因此可得P(BC|A)=P(B|A)P(C|A)=P(B|A)×P(C|AB),即P(C|A)=P(C
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