考研数学（数学三）模拟试卷3（共203题）

考研数学（数学三）模拟试卷3（共9套）（共203题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设函数f(x)=则下列结论正确的是()。A、f(x)有间断点B、f(x)在(-∞，+∞)上连接，但在(-∞，+∞)内有不可导的点C、f(x)在(-∞，+∞)内处处可导。但在f’(x)在(-∞，+∞)上不连续D、f’(x)在(-∞，+∞)上连续标准答案：C知识点解析：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续性问题。f(x)的定义域是(-∞，+∞)，它被分成两个子区间(-∞，0]和(0，+∞)，在(-∞，0]内f(x)=x2，因而它在(-∞，0]上连续，在(-∞，0)内导函数连续，且f’-(0)=0；在(0，+∞)内f(x)=，因而它在(0，+∞)内连续且导函数连续。注意，因而f(x)在(-∞，+∞)连续，可见A不正确；又因，即f(x)在x=0右导数f’+(0)存在且等于零，这表明f’(0)存在且等于零，于是，f’(x)在(-∞，+∞)上处处存在，可见B不正确；注意，当x＞0时，f’(x)=，于是不存在，这表明f’(x)在x=0处间断，可见C正确，D不正确，故选C。2、设f’(x0)=0，f”(x0)＞0，则必定存在一个正数δ，使得()。A、曲线y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)是凹的B、曲线y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)是凸的C、曲线y=f(x)在(x0-δ，x0)单调下降，而在(x0，x0+δ)单调上升D、曲线y=f(x)在(x0-δ，x0)单调上升，而在(x0，x0+δ)单调下降标准答案：C知识点解析：f’’(x0)=，由极限的不等式性质→δ＞0，当xε(x0-δ，x0+δ)且x≠x0时，＞0→当xε(x0-δ，x0)时，f’(x)＜0；当xε(x0，x0+δ)时，f’(x)＞0，又f(x)在x=x0连续→f(x)在(x0-δ，x0)单调下降，在(x0，x0+δ)单调上升，故应选C。3、设f(x)=(1+x2)x2-1，g(x)=，则x→0时f(x)是g(x)的()。A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶而非等阶无穷小D、等阶无穷小标准答案：B知识点解析：这是考查如下的型极限，由洛必达法则与等阶无穷小替换得其中用了下面的等阶无穷小替换：x→0时(1+x2)x2-1～In[(1+x2)x2-1+1]=x2In(1+x2)～x4，。故应选B。4、设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)+f(1-x)≠0，则I=()。A、0B、C、D、1标准答案：B知识点解析：该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合并后消去f(x)令1-x=t，x=1-t，则所以I=，故选B。5、a=-5是齐次方程组(Ⅰ)有非零解的()。A、充分必要条件B、充分条件，但不是必要条件C、必要条件，但不是充分条件D、既不是必要条件又不是充分条件标准答案：B知识点解析：根据克拉姆法则，当齐次方程组的系数矩阵式方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为0。于是a=-5是(I)有非零解的充分条件，但不是必要条件。6、n维向量α=(1/2,0,…0,1/2)T，A=E-4ααT，β=(1,1,…1)T，则Aβ的长度为()。A、B、C、nD、n2标准答案：B知识点解析：Aβ=(E-4ααT)β=β-4α(αTβ)=β-4α=(-1，1，…1，-1)T，‖Aβ‖=。7、在区间(-1，1)上任意投一质点，以X表示该质点的坐标，则该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则()。A、X与｜X｜相关，且相关系数｜P｜=1B、X与｜X｜相关，但｜P｜＜1C、X与｜X｜不相关，且也不独立D、X与｜X｜相互独立标准答案：C知识点解析：依题设，X在[-1，1]上服从均匀分布，其概率密度为，由于，故cov(X，｜X｜)=0，从而p=0，X与｜X｜不相关，于是可排除A和B，对于任意实数a(0＜a＜1)，有，又，从而，所以X与｜X｜不独立，故应选C。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、若f’(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且f(0)=8，则f(x)=_________________________。标准答案：知识点解析：令t=cosx+2→cosx=t-2，cos2x=(t-2)2，sin2x=1-(t-2)2，tan2x=(t-2)-2-1。→f’(t)=(t-2)-2-1+3-3(t-2)2=2+(t-2)-2-3(t-2)2→f(t)=2t-(t-2)-1-(t-2)3+C→f(x)=2x--(x-2)3+C。由，因此。9、已知f(x)在(-∞，+∞)内可导，且，则c=_________________________。标准答案：知识点解析：若c=0，=1，若c≠0，则由拉格朗日中值定有f(x)-f(x-1)=f’(ξ)﹒1，其中ξ介于x-1与x之间，当x→∞时，也有ξ→∞，故由已知条件。又根据题设条件e3c=e，可知。10、已知当x＞0与y＞0时，则函数f(x，y)在点(x，y)=(1，1)处的全微分=_________________________。标准答案：知识点解析：由于，令，则f(u，v)=。从而当x＞0，y＞0时f(x，y)=，求全微分可得，令x=1，y=1就有。11、已知级数与反常积分均收敛，则常数p的取值范围是_________________________。标准答案：0＜p＜2知识点解析：由于是交错级数，只要p＞0就符合莱布尼兹判别法的要求，因而收敛。而当p≤0时，该级数的通项不趋于零，所以一定发散。又对于来说，直接计算即可知：p＜2时收敛，p≥2时发散。两者结合即得上述答案。12、设实对称要使得A的正，负惯性指数分别为2，1，则a满足的条件是_________________________。标准答案：a＜0或＞4知识点解析：A的正，负惯性指数分别为2和1的充分必要条件是︳A︳＜0(A的对角线元素有正数，不可能特征值都负)，求出︳A︳=-a2+4a，得答案。13、设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其密度函数为f(x，y)=，则常数a=_________________________。标准答案：知识点解析：方法一：利用二维正态分布的标准形式对指数式配方，且该正态分布的相关系数p=0，即X，Y独立。由于2x2+y2+8x-4y+14=2(x+2)2+(y-2)2+2，从而f(x，y)=。由二维正态分布的标准式可知，。故由f(x，y)=。方法二：利用密度函数的积分等于1来定出常数是一种常用的方法。根据泊松积分可得于是有。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、求不定积分。标准答案：方法一：作变量替换x=tant()，则有。再分部积分得，其中。于是。根据三角形示意图，易变量还原得。方法二：为了作分部积分，先求。同样由三角形示意图，变量还原得。于是由分部积分得。知识点解析：暂无解析15、设二元可微函数F(x，y)在直角坐标系中可写成F(x，y)=f(x)+g(y)，其中f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成F(x，y)=，求二元函数F(x，y)。标准答案：由题设可知，在极坐标系中F(x，y)与θ无关，于是再由F(x，y)=f(x)+g(y)得。代入①式得-yf’(x)+xg’(y)=0，即=λ(常数)。由f’(x)=λx，g’(y)=λy分别得。因此F(x，y)=f(x)+g(y)=C(x2+y2)+C0，其中C与C0为常数。知识点解析：暂无解析16、设函数f(x，y)=计算二重积分，其中D={(x，y)︱x2+(y-1)2≤1}。标准答案：如图所示，设在直线y=1下方的部分记为D1，在y=1上方的部分记为D2，且D2在y轴右侧的部分记为D’2，于是知识点解析：暂无解析17、设f(x)是幂级数在(-1，1)内的和函数，求f(x)和f(x)的极值。标准答案：先由逐项求导可得f’(x)的解析式，再由此解析式求f(x)的驻点与f(x)。由于f(x)=+1，xε(-1，1)。根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导，因此有f’(x)因此f(x)由f’(x)的表达式可知，f(x)在(-1，1)内有唯一驻点x=0，且故f(x)在x=0点取得极大值f(0)=1。知识点解析：暂无解析18、证明推广的积分中值定理：设F(x)与G(x)都是区间[a，b]上的连续函数，且G(x)≥0，G(x)≠0，则至少存在一点ξε[a，b]使得标准答案：设F(x)在[a，b]上的最大值与最小值分别是M与m，利用G(x)≥0且G(x)≠0即知当xε[a，b]时，由定积分的性质即知，由于G(x)≥0且G(x)≠0，故，从而有。再由F(x)是以m与M分别为其最小值与最大值的区间[a，b]上的连续函数即知存在ξε[a，b]使得，即。知识点解析：暂无解析19、设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，-2，4，0)T，c为任意。记B=(α3，α2，α1，β-α4)，求方程组Bx=α1-α2的通解。标准答案：首先AX=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，-2，4，0)T可得到下列讯息：①Ax=0的基础解系包含1个解，即4-r(A)=1，得r(A)=3，即r(α1，α2，α3，α4)=3。②(1，2，2，1)T是Ax=β解，即α1+2α2+2α3+α4=β。③(1，-2，4，0)T是Ax=0的解，即α1-2α2+4α3=0。α1，α2，α3线性相关，r(α1，α2，α3)=2。显然B(0，-1，1，0)T=α1-α2，即(0，-1，1，0)T是Bx=α1-α2的一个解。由②，B=(α3，α2，α1，β-α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，于是r(B)=r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2。则Bx=0的基础解系包含解的个数为4-r(B)=2个，α1-2α2+4α3=0说明(4，-2，1，0)T是Bx=0的解；又从B=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)容易得到B=(-2，-2，-1，1)T=0，说明(-2，-2，-1，1)T也是Bx=0的解，于是(4，-2，1，0)T和(-2，-2，-1，1)T构成Bx=0的基础解系。Bx=α1-α2的通解为：(0，-1，1，0)T+C1(4，-2，1，0)T+C2(-2，-2，-1，1)T，C1，C2任意。知识点解析：暂无解析20、设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。(Ⅰ)证明A是实对称矩阵；(Ⅱ)证明A是负惯性指数为0；(Ⅲ)设r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的规范性。标准答案：(Ⅰ)记C=(α1，α2，…，αs)，这是一个n×s实矩阵，则根据矩阵乘法的分块法则，A=CCT，于是AT=(CCT)T=CCT=A。即A是对称矩阵。(Ⅱ)A的负惯性指数为0也就是A的特征值都不是负数。设λ是A的一个特征值，η是属于λ的一个特征向量，即Aη=λη,则ηTAη=ληTη，→ηTCCTη=ληTη，即(CTη，CTη)=λ(ηT，η)则λ=(CTη，CTη)/(ηT，η)≥0。(Ⅲ)A的正、负惯性指数之和等于A的秩，因为A的负惯性指数为0，正惯性指数就为A的秩，由于C是实矩阵r(A)=r(C)=r(α1，α2，…，αs)=k，于是为A的正惯性指数为k，二次型XTAX的规范形为y21+y22+…+y2k。知识点解析：暂无解析21、设X，Y相互独立且同服从[0，θ](θ＞0)上的均匀分布，求E[min(X，Y)]，E[max(X，Y)]。标准答案：由于X，Y相互独立，且都服从[0，θ]上的均匀分布，故可得(X，Y)的联合密度故E[min(X，Y)]E[max(X，Y)]=知识点解析：暂无解析22、进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是p(0＜p＜1)，现进行10批试验，其各批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3。求：(Ⅰ)试验成功率p的矩估计值；(Ⅱ)试验失败率q的最大似然估计值。标准答案：依题意，试验总体X服从参数为p的几何分布，即P{X=m}=pqm-1，其中m=1，2，…，q=1-p。根据数据就是从总体X中取出的样本值，样本容量n=10。其未知参数p的矩估计值与q的最大似然估计值待求。(Ⅰ)EX=。试验成功率p的矩估计量，相应矩估计值为。(Ⅱ)最大似然函数L(x1，…，x10；p)，简记为L，则，，解似然方程，可得。于是试验成功率p的最大似然估计值，根据最大似然估计的不变性，其试验失败率q的最大似然估计值为。知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知f(x)在x=0处二阶可导，且f’(0)=f"(0)=2，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：根据反函数求导法则2、曲线y=的渐近线条数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：C知识点解析：因为=∞，所以x=0是一条垂直渐近线；因为=∞，所以不存在水平渐近线；则y=x+1是一条斜渐近线；所以y=－x－1是一条斜渐近线。综上一共有三条渐近线，故选择(C)。3、下列命题中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选项(D)，若绝对收敛，则收敛，因此可得=0，而un2是un的高阶无穷小，根据正项级数判别法，低阶收敛能推出高阶收敛，因此收敛，故选择(D)。4、设，其中D={(x，y)｜x2+y2＜1}，则()A、M＜N＜P。B、N＜M＜P。C、M=N＜P。D、M=P＜N。标准答案：C知识点解析：M=因为积分区域D关于x轴和y轴都对称，x3、3xy2是关于x的奇函数，3x2y、y3是关于y的奇函数，所以根据对称性可得M=0。因为积分区域D关于x轴和y轴都对称，sinxcosy是关于x的奇函数，sinxcosy是关于y的奇函数，所以根据对称性可得N=0。因为积分区域为D={(x，y)｜x2+y2＜1}，则有e｜x+y｜－1＞0，即P＞0。故有M=N＜P，选择(C)。5、设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若矩阵AB可逆，则下列说法中正确的是()A、A的行向量组线性无关，B的行向量组也线性无关。B、A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关。C、A的列向量组线性无关，B的行向量组线性无关。D、A的列向量组线性无关，B的列向量组也线性无关。标准答案：B知识点解析：由于矩阵AB可逆，可知r(AB)=m，而r(A)、r(B)≥r(AB)，且有r(A)，r(B)≤m，可知r(A)=r(B)=m。因此，矩阵A行满秩，矩阵B列满秩，即A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关，故选(B)。6、设α1，α2，α3，α4，α5为4维列向量，下列说法中正确的是()A、若α1，α2，α3，α4线性相关，那么当k1，k2，k3，k4不全为0时，k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0。B、若α1，α2，α3，α4线性相关，那么当k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0时，k1，k2，k3，k4不全为0。C、若α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出，则α1，α2，α3，α4线性相关。D、若α1，α2，α3，α4线性相关，则α5不能由α1，α2，α3，α4线性表出。标准答案：C知识点解析：(C)选项，反证法。假设α1，α2，α3，α4线性无关，因为α1，α2，α3，α4，α5必线性相关(5个4维列向量必线性相关)，则α5可由α1，α2，α3，α4线性表出，矛盾。从而α1，α2，α3，α4线性相关。7、设A，B为随机事件，且0＜P(A)＜1，则下列说法正确的是()A、若P(A)=P(AB)，则AB。B、若P(A+B)=P(AB)，则A=B。C、若P(AB)=，则A，B为对立事件。D、若P(A｜B)=，则A，B相互独立。标准答案：D知识点解析：因为两个事件发生的概率相等并不意味着两事件相等，所以(A)(B)(C)不一定成立，而从而可得P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立。8、设总体X的概率密度为f(x)=，X1，X2，…，Xn是来自X的简单随机样本，统计量T=的期望为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由期望的定义和性质可得，二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=________。标准答案：知识点解析：通过拼凑将所给极限变形并由等价无穷小代换得10、差分方程yx+1－2yx=3x2的通解为________。标准答案：yx=A.2x－9－6x－3x2，A为任意常数知识点解析：对应的齐次方程的通解为yx*=A.2x(其中A为任意常数)。非奇特解与右端为同名函数，因此设=B0+B1x+B2x2，代入给定方程，有B0+B1(x+1)+B2(x+1)2－2B0－2B1x－2B2x2=3x2，整理得(－B0+B1+B2)+(－B1+2B2)x－B2x2=3x2，比较同次幂的系数得－B0+B1+B2=0，－B1+2B2=0，－B2=3，故B0=－9，B1=－6，B2=－3。因此，通解为yx=yx*+=A.2x－9－6x－3x2，A为任意常数。11、设f(x，y，z)=exyz2是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，其中z=z(x，y)，则f’x(0，1，－1)=________。标准答案：1知识点解析：z是关于x，y的函数，因此f(x，y，z)=exyz2两边对x求偏导可得，x+y+z+xyz=0两边对x求偏导可得12、曲线θ=(1≤r≤3)的弧长为________。标准答案：2+知识点解析：曲线的参数方程为(1≤r≤3)，根据弧长公式，13、设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E+A｜=0，λ1=1，λ2=－1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=________。标准答案：18知识点解析：由｜2E+A｜=(－1)3｜－2E－A｜=0，知｜－2E－A｜=0，λ=－2为A的一个特征值，由A～B，故A，B有相同特征值。因此B的三个特征值为λ1=－2，λ2=1，λ3=－1，且存在可逆矩阵P，使得P－1BP=。于是从而｜E+B｜=9，且｜A｜=λ1λ2λ3=2。故｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=2.9=18。14、相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布N(0，)，则D(｜X1－X2｜)=________。标准答案：1－知识点解析：随机变量X1和X2均服从正态分布N(0，)，记Z=X1－X2，则Z～N(0，1)，因此有概率密度φ(z)=。D(｜X1－X2)=D(｜Z｜)=E(｜Z｜2)－[E(｜Z｜)]2=E(Z2)－[E(｜Z｜)]2=D(Z)+[E(Z)]2－[E(｜Z｜)]2，其中D(Z)=1，E(Z)=0，三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、求极限标准答案：利用泰勒公式展开可得知识点解析：暂无解析16、设某产品的需求函数Q=Q(P)是单调减少的，收益函数R=PQ，当价格为P0，对应的需求量为Q0时，边际收益R’(Q0)=2，R’(P0)=－150，需求对价格的弹性EP满足｜EP｜=，求P0和Q0。标准答案：由题意，收益既可以看作是价格的函数，也可以看作是需求量的函数。由此，R’(P0)=Q0(1+EP)=－150，R’(Q0)=P0(1+)=2。又因为需求函数单调减少，可得＜0，所以EP＜0，EP=。由此解得P0=6，Q0=300。知识点解析：暂无解析17、根据k的不同的取值情况，讨论方程x3－3x+k=0实根的个数。标准答案：令f(x)=x3－3x+k，x∈R，令f’(x)=3x2－3=0，解得驻点x=－1，x=1，函数的单增区间为(－∞，－1)，(1，+∞)，单减区间为[－1，1]，因此该函数至多有三个根。因为函数f(x)连续，根据零点定理，f(－∞)＜0，f(－1)=2+k，f(1)=k－2，f(+∞)＞0。k＜－2时，f(－1)＜0，f(1)＜0，函数在(1，+∞)上存在唯一一个根；－2＜k＜2时，f(－1)＞0，f(1)＜0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根；k＞2时，f(－1)＞0，f(1)＞0，函数在(－∞，－1)存在唯一一个根；k=－2时，f(－1)=0，f(1)＜0，方程在x=－1处和(1，+∞)内各有一个根，共两个根；k=2时，f(－1)＞0，f(1)=0，方程在x=1处和(－∞，－1)内各有一个根，共两个根。综上所述，k<－2或k＞2，方程有且仅有一个根；－2＜k＜2，方程有三个根；k=±2，方程有两个根。知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)，证明：存在满足0＜ξ＜η＜1的ξ，η，使得f’(ξ)+f’(η)=0。标准答案：f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，在上分别使用拉格朗日中值定理，可知存在ξ∈，使得由f(0)=f(1)，可知(1)+(2)得，f’(ξ)+f’(η)=0。故存在0＜ξ＜η＜1，使得f(ξ)+f(η)=0。知识点解析：暂无解析19、计算二重积分，其中D为平面区域{(x，y)｜x2+y2≤2x，x≥1}。标准答案：二重积分先画出积分区域，如图2所示，为右侧的阴影部分，由于积分区域关于x轴对称，根据被积函数中y的奇偶性，被积函数是关于y的奇函数，所以有选用极坐标求二重积分知识点解析：暂无解析20、讨论线性方程组的解的情况，在线性方程组有无穷多解时，求其通解。标准答案：系数矩阵为A=，增广矩阵为从而｜A｜=(a+3)(a－1)3。当a≠－3且a≠1时，方程组有唯一解；当a=1时，r(A)=r(A，b)=1，方程组有无穷多解，对增广矩阵作初等变换从而所对应的齐次方程组的基础解系为ξ1=(－1，1，0，0)T，ξ2=(－1，0，1，0)T，ξ3=(－1，0，0，1)T，特解为η*=(1，0，0，0)T，则方程通解为x=η*+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，k1，k2，k3为任意常数。当a=－3时，r(A)=r(A，b)=3，方程组有无穷多解．对增广矩阵作初等变换从而所对应的齐次方程组的基础解系为ξ=(1，1，1，1)T，特解为η*=(－2，－1，－4，0)T，则方程通解为x=η*+kξ，k为任意常数。知识点解析：暂无解析21、设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α。(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵；(Ⅱ)若α=(0，－1，1)T，β=(1，0，－1)T，求矩阵A。标准答案：(Ⅰ)因为A的各行元素和为零，从而λ=0为A的一个特征值，并且γ=(1，1，1)T为A属于λ=0的特征向量。另一方面，又因为Aα=3β，Aβ=3α，所以A(α+β)=3(α+β)，A(α－β)=－3(α－β)，λ=3和λ=－3为A的两个特征值，并且α+β和α－β为A属于λ=3，－3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。(Ⅱ)A的三个特征向量为γ=(1，1，1)T，α+β=(1，－1，0)T，α－β=(－1，－1，2)T，知识点解析：暂无解析22、已知随机变量X的概率密度为fX(x)=当X=x(x＞0)时，Y服从(0，x)上的均匀分布。(Ⅰ)求(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)求关于Y的边缘概率密度fY(y)及条件概率密度fX｜Y(x｜y)；(Ⅲ)判断随机变量X，Y是否独立，并说明理由。标准答案：(Ⅰ)由题知当x＞0时，fY｜X(y｜x)=当x≤0时，f(x，y)=0。(Ⅲ)因为f(x，y)≠fX(x).fY(y)，所以X，Y不独立。知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本矩阵和样本方差分别为和S2。记T=+kS2，已知统计量T是μ2的无偏估计，求k并在μ=0时计算D(T)。标准答案：由题意E(T)=μ2，而知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列无穷小中阶数最高的是()．A、ex－etanxB、C、ln(1+x)－sinxD、标准答案：B知识点解析：ex－etanx=etanx(ex-tanx－1)～x－tanx，2、下列命题正确的是()．A、若f(x)在x0处可导，则一定存在δ>0，在｜x－x0｜＜δ内f(x)可导B、若f(x)在x0处连续，则一定存在δ＞0，在｜x－x0｜＜δ内f(x)连续C、若存在，则f(x)在x0处可导D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，f(x)在x0处连续，且存在，则f(x)在x0处可导，且标准答案：D知识点解析：得f(x)在x=0处可导(也连续)．对任意的a≠0，因为不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，A，B不对；所以f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，C不对；因为f(x)在x0处连续且在x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有选D.3、设f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且则()．A、f(0)为f(x)的极大值B、f(0)为f(x)的极小值C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：显然得g(0)=0，g＇(0)=－2．故(0，f(0))为y=f(x)的拐点，选C．4、设f(x)=x3－3x+k只有一个零点，则k的范围是()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2标准答案：C知识点解析：f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零．F＇(x)=3(x2－1)=0，得驻点x=±1，且由图形可知，x=－1为极大值点，x=1为极小值点．故f(－1)=2+k<0k＜－2，f(1)=－2+k＞0k＞2，选C．5、设则B等于()．A、P1P2－1AB、AP1P2－1C、P1AP2－1D、P2－1AP1标准答案：C知识点解析：选C．6、设A为3阶矩阵，B=(β1，β2，β3)，β1为AX=0的解，β2不是AX=0的解，又r(AB)<min{r(A)，r(B)}，则r(AB)=()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：因为β2不是AX=0的解，所以AB≠O，从而r(AB)≥1；显然β1，β2不成比例，则r(B)≥2，由r(AB)7、对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)·E(Y)，则()．A、D(XY)=D(X)·D(Y)B、D(X+Y)=D(X)－D(Y)C、X和Y独立D、X和Y不相关标准答案：D知识点解析：因为E(XY)=E(X)E(Y)，所以Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0，于是ρXY=0，即X，Y不相关，应选D．8、设(X1，X2，…，Xn)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选D.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)=exsin2x，则f(4)(0)=___________________．标准答案：－24知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、标准答案：知识点解析：当t=0时，x=1．12、微分方程的通解为______________________________．标准答案：知识点解析：13、设A为三阶实对称矩阵，为方程组AX=0的解，为方程组(2E－A)X=0的一个解，｜E+A｜=0，则A=________________________．标准答案：知识点解析：显然为A的特征向量，其对应的特征值分别为λ1=0，λ2=2，因为A为实对称矩阵，所以考ξ1Tξ2=k2－2k+1=0，解得k=1，于是又因为｜E+A｜=0，所以λ3=－1为A的特征值，14、设X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn分别为来自相互独立的标准正态总体X与Y的简单随机样本，则D(Z)=_____________________________．标准答案：2(m+n－2)知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"＇(ξ)=9．标准答案：由得f(0)=0，f＇(0)=2．作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P＇(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0．因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ＇(ξ1)=φ＇(ξ2)=0．又φ＇(0)=0，由罗尔定理，存在η3∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得φ"(η1)=φ"(η2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得φ"＇(ξ=0．而φ"＇(x)=f"＇(x)－9，所以f"＇(ξ)=9．知识点解析：暂无解析16、设u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez确定，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：由ex+ey=ez得知识点解析：暂无解析17、设f(x)连续，且f(1)=0，f’(1)=2，求极限标准答案：知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛域与和函数．标准答案：由得R=+∞，原级数的收敛域为(－∞，+∞)．知识点解析：暂无解析19、求微分方程y"+y＇－2y=xex+sin2x的通解．标准答案：特征方程为λ2+λ一2=0，特征值为λ1=－2，λ2=1，y"+y＇－2y=0的通解为y=C1e-2x+C2ex．设y"+y＇－2y=xex，(*)y"+y＇－2y=sin2x．(**)知识点解析：暂无解析20、设B为三阶非零矩阵，为BX=0的解向量，且AX=α3有解．(I)求常数a，b．(Ⅱ)求BX=0的通解．标准答案：由B为三阶非零矩阵得r(B)≥1，从而BX=0的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是解得a=3b．由AX=α3有解得r(A)=r(A┆α)，由解得b=5，从而a=15．由α1，α2为BX=0的两个线性无关解得3－r(B)≥2，从而r(B)≤1，再由r(B)≥1得r(B)=1，α1，α2为BX=0的一个基础解系，故BX=0的通解为知识点解析：暂无解析21、设二次型f(xz，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1，且(0，1，－1)T为二次型的矩阵A的特征向量．(I)求常数a，b；(Ⅱ)求正交变换X=QY，使二次型XTAX化为标准形．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设随机变量X的分布律为P{X=k)=p(1－p)k-1(k=1，2，…)，Y在1～k之间等可能取值，求P{Y=3)．标准答案：令Ak={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3}，P(B｜A1)=P(B｜A2)=0，P(B｜Ak)=(k≥3)，由全概率公式得知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi－(i=1，2，…，，n)．求(I)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0)．标准答案：因为X1，X2，…，Xn独立且都服从正态分布，所以Y1+Yn服从正态分布，知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)与x为等阶无穷小，且f(x)≠x，则当x→0+时，[f(x)]x-xx是()。A、比f(x)-x高阶的无穷小B、比f(x)-x低阶的无穷小C、比f(x)-x同阶但不等阶的无穷小D、比f(x)-x等阶的无穷小标准答案：D知识点解析：由于f(x)～x，所以f(x)=x[1+a(x)]，其中当x→0时，a(x)→0，于是其中，当x→0时[1+a(x)]x-1～xa(x)，因此[f(x)]x-xx与f(x)-x为等阶无穷小。故选D。2、设f(x)在x=0的某领域内连续，=-3，则f(x)在x=0处()。A、不可导B、取极小值C、取极大值D、不取极值，但f’(0)=0标准答案：B知识点解析：当x→0时，，故，从而，由于f(x)在x=0的某领域内连续，故有f(0)=0，且，所以A不正确。由可知在x=0的某领域内有＞0，即f(x)＞0=f(0)，所以f(0)=0为极小值，x=0为极小值点，故选B。3、设D是由直线x=0，y=0，x+y=1在第一象限所围成的平面区域，则J==()。A、e+1B、e-1C、D、标准答案：D知识点解析：区域D如图方法一：选用极坐标变换，D的极坐标表示：，于是选D。方法二：D：0≤x≤1,0≤y≤1-x，，对内层积分作变量替换：x=y=t(对y积分，x为常数)，选D。方法三：化为后，用分部积分法，选D。4、若方程y’’+py’+qy=0的一切解都是x的周期函数，则一定有()。A、p＞0，q=0B、p=0，q＞0C、p＜0，q=0D、p=0，q＜0标准答案：B知识点解析：这是二阶常系数齐次线性方程，其通解形式由特征方程r2+pr+q=0的特征根所决定，①当p2-4q＞0时，r1，r2为不等的实特征根，原方程通解为y=c1er1x+c2er2x,这时y不可能是x的周期函数。②当p2-4q=0时，r1=r2=，原方程的通解为，也不可能是x的周期函数。③当p2-4q＜0时，，原方程的通解为，只有当p=0时，它的通解才是x的周期函数，这时q＞0，故选B。5、设A是5×4矩阵，r(A)=4，则下列命题中错误的为()。A、AX=0只有零解B、AATX=0有非零解C、对任何5维向量β，AX=β都有解D、对任何4维向量β，ATX=β都有无穷多解标准答案：C知识点解析：答案A对，因为r(A)=未知数个数4。答案B对，因为AAT是5阶矩阵，而r(AAT)＜5。答案C错，因为存在5维向量β不可用A的列向量组表示，使得AX=β误解。答案D对，因为r(AT)=方程个数4，对任何4维向量β，r(AT︳β)不会大于4。6、设A=，则下列矩阵中与A合同但不相似的是()。A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：首先可排除答案A，因为r(A)=2，而答案A的矩阵的秩为1，所以它与A不合同。两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样，(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同，因此应该从计算特征值下手。求出︳λE-A︳=λ(λ+3)(λ-3)，A的特征值为0，-3，3。显然答案C中矩阵的特征值也是0，-3，3，因此它和答案A相似，可排除。剩下答案B和答案D两个矩阵中，只要看一个，答案D中矩阵的特征值容易求出，为0，-1，1，因此它和A合同而不相似。(也可计算出答案B中矩阵的特征值为0，1，4，因此它和A不合同。)7、设随机变量X的密度函数关于x=μ对称，F(x)为其分布函数，则有()。A、F(μ+x)=F(μ-x)B、F(μ+x)+F(μ-x)＞1C、0＜F(μ+x)+F(μ-x)＜1D、F(μ+x)+F(μ-x)=1标准答案：D知识点解析：利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论。又所以故选D。8、设x1，x2，…，xn是取自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为，s2，则服从自由度为n的x2分布的随机变量是()。A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：因X～N(μ,σ2),所以，又因与S2独立，根据X2分布的可加性，只需4个选项中的第1个加项服从X2(1)分布即可，依题意，有，应选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、n为给定的自然数，极限=_________________________。标准答案：知识点解析：1、此极限是1∞型未定式。原式=，其中大括号内的极限是型未定式，由洛必达法则，有，于是原式=。2、由于，记，则当x→0时y→0，从而，又因，故原式=。10、将抛物线y=x2-x与x轴及直线x=c(c＞1)所围成平面图形绕x轴转一周，所得旋转体的体积vx等于弦OP(P为抛物线与直线x=c的交点)绕x轴旋转所得锥体的体积v锥，则c的值为_________________________。标准答案：知识点解析：图形如下图所示。由题设知，化简得，得c=。11、设u(x,y)=y2F(3x+2y)，若=x2，则=_________________________。标准答案：知识点解析：1、由=x2得=x2，即F(3x+1)=4x2，设3x+1=t，x=，则F(t)=，从而F(3x+2y)=，于是。2、由u(x，y)=y2F(3x+2y)可得=3y2F’(3x+2y)，①→=F’=(3x+1)②又由=x2→=2x③。由②，③→F’(3x+1)=2x，F’(3x+1)==[(3x+1)-1]，→F’(3x+2y)=(3x+2y-1)，代入①得y2(3x+2y-1)。12、设方程+(a+sin2x)y=0的全部解均以π为周期，则常数a=_________________________。标准答案：知识点解析：一阶线性齐次方程+(a+sin2x)y=0的全部解为y=(c为常数)，它们均以π为周期(a+sin2t)dt以π为周期。1、a+sin2t以π为周期，则(a+sin2t)dt以π为周期(a+sin2t)dt=πa+=π(a+)=0，即a=。2、由于(a+sin2t)dt=ax+(1-cos2t)dt=(a+)x-sin2x，它以π为周期。13、已知B=，矩阵A相似于B,A*为A的伴随矩阵，则︱A*+3E︱=_________________________。标准答案：27知识点解析：A相似于B，则A*+3E相似于B*+3E，于是︱A*+3E︱=︱B*+3E︱，方法一：求出B*=︱B︱B-1=-12，︱B*+3E︱==27。方法二：用特征值︱λE-B︱==︱λ-3︱(λ2-4)，B的特征值为2，-2，3，︱B︱=-12，于是B*的特征值为-6，6，-4，B*+3E的特征值为-3，9，-1，︱B*+3E︱=27。14、设随机变量X1,X2,…，X12独立同分布且方差存在，则随机变量U=X1+X2+…+X7，V=X6+X7+…+X12的相关系数PUV=_________________________。标准答案：知识点解析：设DXi=σ2，由于随机变量X1，X2，…，X12独立同分布，故有DU=DV=7σ2，cov(U，V)==DX6+DX7=2σ2(因为i≠j时，=0)，于是。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、过点(1，0)作曲线y=的切线，求该切线与曲线及x轴围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积Vx和Vy。标准答案：设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为又因切线过点(1，0)，所以有从而可知切点的横坐标x0=3，切线方程为知识点解析：暂无解析16、设f(x)满足。(Ⅰ)讨论f(x)在(-∞，+∞)是否存在最大值或最小值，若存在则求出；(Ⅱ)求y=f(x)的渐近线方程。标准答案：(Ⅰ)先求出f(x)的表达式，由，得。上式中令x=0，等式显然成立，又两边求导得f(-x)=-x-e-x。因此，f(x)=x-ex，xε(-∞，+∞)。下面讨论f(x)的最值问题，由f’(x)=(1-ex)①＞0，x＜0，②=0，x=0，③＜0，x＞0→f(0)=-1是f(x)在(-∞，+∞)的最大值，f(x)在(-∞，+∞)无最小值。(Ⅱ)由→x→-∞时有渐近线y=x。又f(x)无间断点，且→y=f(x)无其他渐近线。知识点解析：暂无解析17、设函数y(x)在(-∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程；(Ⅱ)求解变换后的微分方程的通解。标准答案：本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出之间的联系，再代入方程使之简化，从而将非常数系数方程化为常系数线性微分方程再求解。(Ⅰ)由反函数求导公式，即，再对x求导，有，从而有代入原方程即y’’-y=sinx。(Ⅱ)y’’-y=sinx对应齐次方程y’’-y=0的特征根为r=±1，因此对应齐次方程通解为=c1ex+c2e-x。在y’’-y=sinx中，由于r=i不是相应齐次方程的特征根，因此它有形如y=Acosx+Bsinx的特解，将其代入y’’-y=sinx中，可得A=0，B=，因而方程y’’-y=sinx有特解y*=，故方程y’’-y=sinx的通解为y=c1ex+c2e-x-。知识点解析：暂无解析18、设连续函数f(x)满足，求。标准答案：因为f(x)=，所以在[0，1]上积分上式可得将累次积分表成二重积分后交换积分顺序，可得(其中D如图所示)再对内层积分作变量替换并凑微分可得，故，解得I=2。知识点解析：暂无解析19、设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x)，y(a)=y(b)=0，其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数q0＞0使得q(x)≥q0，存在常数F＞0使得︱f(x)︱≤F，求证：当xε[a，b]时︱y(x)︱≤。标准答案：由y(x)在[a，b]上连续知y(x)在[a，b]上取得它的最大值与最小值，即存在x1ε[a，b]使得y(x1)是y(x)在[a，b]上的最大值，又存在x2ε[a，b]使得y(x2)是y(x)在[a，b]上的最小值。无妨设最大值y(x1)＞0，而最小值y(x2)＜0。由于y(a)=y(b)=0，可见x1ε[a，b]，x2ε[a，b]。由极大值的必要条件可得y’(x1)=0，y’’(x1)≤0，从而在最大值点x=x1处有f(x1)=y’’(x1)+p(x1)y’(x1)-q(x1)y(x1)=y’’(x1)-q(x1)y(x1)→q(x1)y(x1)=y’’(x1-f(x1)≤-f(x1)→y(x1)≤。类似由极小值的必要条件可得y’(x2)=0，y’’(x2)≥0，从而在最小值点x=x2处有f(x2)=y’’(x2)+p(x2)y’(x2)-q(x2)y(x2)=y’’(x2)-q(x2)y(x2)→q(x2)y(x2)=y’’(x2)-f(x2)≥-f(x2)→y(x2)≥。综合以上的讨论即得当xε[a，b]时有。知识点解析：暂无解析20、设A是m×n阶矩阵，试证明：(Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m)，则对任何m×s矩阵C，矩阵方程AX=C都有解。(Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n)，则存在n×m矩阵B，使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。标准答案：(Ⅰ)因为r(A)=m，对任何β，m=r(A)≤r(A，β)≤m，((A，β)是m×(n+1)矩阵)因此总有r(A)=r(A，β)，于是方程组AX=β总有解。设C=(β1，β2，…，βs)，对每个i=1，2，…，s，取η1是方程组AX=β1的一个解，则矩阵D=(η1，η2，…，ηs)，则AD=C。(Ⅱ)如果A列满秩，则AT行满秩，根据(Ⅰ)的结果，存在m×n矩阵H，使得ATH=E，记B=HT，则BA=HTA=(ATH)T=E。知识点解析：暂无解析21、设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。(Ⅰ)证明βTα=0；(Ⅱ)求矩阵βαT的特征值；(Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。标准答案：(Ⅰ)条件说明Aa=a，ATβ=2β，βTa=βTAa=(ATβ)Ta=2βTa，得βTa=0。(Ⅱ)((βa)T)2=βaTβaT=(aTβ)βaT，而aTβ=(βTa)T=0，于是((βa)T)2=0，从而βaT的特征值λ都满足λ2=0，即βaT的特征值都为。(Ⅲ)βaT不相似于对角矩阵，可用反证法说明。如果对角矩阵相似于βaT，则这个对角矩阵的对角线上的元素是βaT的特征值，都是0，即是零矩阵。βaT相似于零矩阵，也一定是零矩阵，但是a和β分别是A和AT的特征向量，都不是零向量，因此βaT不是零矩阵。知识点解析：暂无解析22、有甲、乙、丙三个口袋，其中甲口袋装有1个红球，2个白球，2个黑球；乙袋装有2个红球，1个白球，2个黑球；丙袋装有2个红球，3个白球。现任取一袋，从中任取2个球，用X表示取到的红球数，Y表示取到的白球数，Z表示取到的黑球数，试求：(Ⅰ)(X，Y)的联合分布；(Ⅱ)cov(X，Y)+cov(Y，Z)。标准答案：方法一：(Ⅰ)用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的联合分布，即有从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：(Ⅱ)于是cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)=方法二：(Ⅰ)求(X，Y)的联合分布同方法一，但不求(Y，Z)的联合分布。(Ⅱ)由Z=2-X-Y，故cov(X，Y)+cov(Y，Z)=cov(X，Y)+cov(Y，2-X-Y)=cov(X，Y)-cov(Y，X)-cov(Y，Y)=-DY又，故cov(X，Y)=cov(Y，Z)=-DX=。知识点解析：暂无解析23、设x1，x2，…，xn来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为其中λ＞0，a＞0为已知参数。记Y=。(Ⅰ)求λ的矩估计量和最大似然估计量；(Ⅱ)求Y的数学期望EY的最大似然估计量。标准答案：(Ⅰ)EX令EX=，得λ的矩估计量。样本的似然函数L(x1，x2，…，xn；λ)=，取对数InL=nInλ-，令，解得，从而λ的最大似然估计量。(Ⅱ)EY由于EY是λ的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故EY的最大似然估计量为。知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在x=x0的某邻域内存在二阶导数，且=a＞0，则存在点(x0，f(x0))的左、右侧邻域使得()A、曲线y=f(z)在内是凸的．B、曲线y=f(z)在内是凹的．C、曲线y=f(z)在都是凹的．D、曲线y=f(z)在内都是凸的．标准答案：B知识点解析：由所给条件推知存在x=x0的去心邻域＞0．于是知，当x∈(x0)且x＜x0时，f"(x)＜0，曲线是凸的；当x∈(x0)且x＞x0时，f"(x)＞0，曲线是凹的．故应选B．2、设函数z=z(x，y)由方程F()=0确定，其中F为可微函数，且F’2≠0，则=()A、x．B、y．C、z．D、0．标准答案：C知识点解析：对方程F()=0两边关于x求偏导数，得再将原方程两边对y求偏导数，得3、设anxn在x=3处条件收敛，则(x一1)n在x=一1处()A、必绝对收敛．B、必条件收敛．C、必发散．D、敛散性要看具体的{an}．标准答案：A知识点解析：anx在x=3处条件收敛，所以收敛半径R=3，所以(x一1)”的收敛区间为(一2，4)，而x=一1∈(一2，4)，所以，在x=一1处，该幂级数绝对收敛．选A．4、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：作积分变量代换，令u=x—t，5、设非齐次线性方程组Ax=b有通解k1ξ1+k2ξ2+η=k1(1，2，0，—2)T+k2(4，一1，一1，一1)T+(0，0，0，1)T，其中k1，k2是任意常数，则下列向量中不是Ax=b的解向量的是()A、α1=(1，2，0，一1)T．B、α2=(6，1，一2，一1)T．C、α3=(一5，8，2，一3)T．D、α4=(5，1，一1，一2)T．标准答案：B知识点解析：若α是Ax=b的解，则α可表示成k1ξ1+k2ξ2，即α一η=k1ξ1+k2ξ2．若α一η可由ξ1，ξ2线性表示，则是Ax=0的解；若不能由ξ1，ξ2线性表示，则不是Ax=0的解．将ξ1，ξ2，α1一η，α2一η，α3一η，α4一η合并成矩阵，并一起作初等行变换．故知，α2一η不能由ξ1，ξ2线性表示，不是Ax=0的解向量(α1一η，α3一η，α4一η是解向量)，故应选B．6、设A=，则①A～B；②AB；③A≌B；④｜A｜=｜B｜，其中正确的个数为()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：D知识点解析：四项均正确．将A的1，3行互换，且1，3列互换得B，即E13AE13=B(或E24AE24=B)．因E13=E13=E13，故有E13AE13=B，即A～B；E13AE13=B，即AB；E13AE13=B，即A≌B，且｜A｜=｜B｜．故应选D．7、设(X，Y)是二三维连续型随机变量，下列各式都有意义，若X与Y独立，则下列式中必成立的个数为()①E(XY)=EX．EY；②FX｜Y(x｜y)=fX(x)；③P{X＞x，Y＞y}=1一FX(x)FY(y)；④令Z=X+Y，则FZ(z)=∫-∞+∞FX(z—y)Y(y)dy．A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：C知识点解析：①显然成立；②成立，事实上fX｜Y(x｜y)==fX(x)；③不成立，事实上P{X＞x，Y＞y}=1一=1一P{{X≤x}∪{Y≤y}}≠1一FX(z)FY(y)；④成立，事实上FZ(z)=P{X+Y≤z}=fX(x)fY(y)dxdy=∫-∞+∞[∫-∞z—yfX(x)dx]fY(y)dy=∫-∞+∞FX(z—y)fY(y)dy．8、假设总体X在非负整数集{0，1，2，…，k}上等可能取值，k为未知参数，x1，x2，…，xn为来自总体X的简单随机样本值，则k的最大似然估计值为()A、xn．B、．C、min{x1，…，xn}．D、max{x1，…，xn}．标准答案：D知识点解析：由题意，知X的分布律似然函数L(x1，…，xn；k)=(0≤xi≤k，i=1，2，…，n)．则lnL=一nln(k+1)，故＜0，又k≥x1，k≥x2，…，k≥xn←→k≥max{x1，…，xn}．所以k的最大似然估计值为k=max{x1，…，xn}．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、直角坐标中的累次积分I=f(x，y)dy化为极坐标先r后θ次序的累次积分I=___________．标准答案：知识点解析：按题目上、下限，积分区域D如图阴影部分所示，对y的积分上限方程y=，化为极坐标为r=2acosθ。对y的积分下限方程y=2a—，化为极坐标为r=4asinθ。OA的倾斜角记为θ0，tanθ0=．于是，由极坐标，直线段OA将D分成两块，在极坐标系中，积分如答案所示．10、设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足f(x)=∫0xf(z—t)dt+∫01f2(t)dt，则f(x)=___________．标准答案：知识点解析：f(x)=∫0xf(x—t)dt+∫01f2(t)dt(第—个积分令x—t=u)=一∫x0f(u)du+∫01f2(t)dt=∫0xf(u)du+∫01f2(t)dt．令∫01f2(t)dt=a，于是f(x)=∫0xf(u)du+a，f’(x)=f(x)，f(0)=a，解得f(x)=Cex．由f(0)=a，得f(x)=aex，代入∫01f2(t)dt=a中，得a=∫01f2(t)dt=a2∫01e2tdt=(e2—1)．解得a=0(舍去)，a．11、设常数a＞0，双纽线(x2+y2)2=a2(x2一y2)围成的平面区域(如图)记为D，则二重积分(x2+y2)dσ=___________．标准答案：a知识点解析：由于被积函数及积分区域D关于两坐标轴都对称，所以12、=___________．标准答案：一1知识点解析：13、设方程组(Ⅰ)：则x1+x2+x3=___________．标准答案：2知识点解析：法一解方程组(Ⅰ)，求出x1，x2，x3，代入即得．对方程组(Ⅰ)的增广矩阵作初等行变换，对应齐次方程组的基础解系为(一3，1，2)T，非齐次方程组的特解为(一5，0，7)T，通解为k(一3，1，2)T+(一5，0，7)T=(一3k一5，k，2k+7)T，将通解代入x1+x2+x3=(一3k一5)+k+(2k+7)=2．故应填2．法二由①×3+②×2得x1+x2+x3=一48+50=2，故应填2．14、已知随机变量X1，X2，X3的方差都是σ2，任意两个随机变量之间的相关系数都是ρ，则ρ的最小值=___________．标准答案：知识点解析：由题可得D(X1+X2+X3)=DX1+DX2+DX3+2Coy(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2Cov(X2，X3)=3σ2+6ρσ2=3σ2(1+2ρ)≥0，所以ρ≥．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设F(x)=∫-∞+∞｜x—t｜dt，求F"(x)．标准答案：将第一个积分作积分变量代换，令t=一u，并将变换后的u仍记为t，并与第二项合并，注意到这两个反常积分都是收敛的，于是知识点解析：暂无解析16、设D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}，计算｜xy一1｜dσ．标准答案：作出区域D，如图所示．在D中作曲线y=，将区域D分成D1，D2及D3．知识点解析：暂无解析17、(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；(Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y，(Ⅲ)举例说明(Ⅱ)的逆定理不成立．标准答案：(Ⅰ)定义：设z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域U内有定义，(x0+△x，y0+△y)∈U．增量△z=f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)A△x+B△y+ο(ρ)，(*)其中A，B与△x和△y都无关，ρ==0，则称f(x，y)在点(x0，y0)处可微，并称为z=f(x，y)在点(x0，y0)处的微分．(Ⅱ)[证]设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则(*)式成立．令△y=0，于是令△x→0，有=B．证明了f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)存在，并且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y．(Ⅲ)当f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)存在时，z=f(x，y)在点(x0，y0)处未必可微．反例：同理f’y(0，0)=0．两个偏导数存在．以下用反证法证出f(x，y)在点(0，0)处不可微．若可微，则有△f=f(△x，△y)一f(0，0)=0△x+0△y+ο(ρ)，但此式是不成立的．例如取△y=k△x，极限值随k的变化而变化，(**)式不成立，所以f(x，y)在点(0，0)处不可微．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k＞0．并设φ(x)=∫xbf(t)dt—k∫axf(t)dt．证明：(Ⅰ)存在ξ∈[a，b]，使φ(ξ)=0；(Ⅱ)若增设条件f(x)≠0，则(Ⅰ)中的ξ是唯一的，且必定有ξ∈(a，b)．标准答案：(Ⅰ)φ(a)=∫abf(t)dt，φ(b)=一k∫abf(t)dt，φ(a)φ(b)=一k[∫abf(t)dt]≤0．如果∫abf(t)dt=0，则φ(a)φ(b)=0．取ξ=a或ξ=b，使φ(ξ)=0．如果∫abf(t)dt≠0，则φ(a)φ(b)＜0，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0．综上，存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0．证毕．(Ⅱ)若增设条件f(x)≠0，则φ’(x)=一f(x)一kf(x)=一(k+1)f(x)≠0．由于f(x)连续且f(x)≠0，所以或者f(x)＞0，或者f(x)＜0，所以φ(x)在[a，b]上严格单调，则φ(x)至多有一个零点，又由(Ⅰ)知φ(a)φ(b)＜0，则(Ⅰ)中的ξ是唯一的，且ξ∈(a，b)．知识点解析：暂无解析19、设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程求f(t)．标准答案：化为极坐标，得此为f(t)的一阶线性微分方程．由通解公式，得又由题设有f(0)=1，因此C=1．从而f(t)=(4πt2+1)．知识点解析：暂无解析20、设A=，X是2阶方阵．(Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X；(Ⅱ)方程AX一XA=E，其中E是2阶单位阵．问方程是否有解?若有解，求满足方程的所有X；若无解，说明理由．标准答案：(Ⅰ)用待定元素法求X．设X=，代入方程，得取x3=2k1，得x2=一k1．取x4=k2，得x1=k2．故X=，其中k1，k2是任意常数．(Ⅱ)法一AX一X4=E，设X=，由(Ⅰ)得显然方程组中第1个和第4个方程相互矛盾，故矩阵方程AX一XA=E无解．法二由(Ⅰ)易知tr(AX)=tr(XA)，故tr(AX一XA)=tr(AX)一tr(XA)=0≠tr(E)=2．故矩阵方程AX一XA=E无解．知识点解析：暂无解析21、已知A=，求A的特征值，并讨论A可否相似对角化标准答案：故有λ1=1+a，λ2=a，λ3=1一a．看特征方程是否有重根，对任意的a，λ1=1+a≠λ2=a．若λ1=1+a=λ3=1一a，则a=0；若λ2=a=λ3=1一a，则a=．故当a≠0且a≠时，λ1≠λ2≠λ3，A有三个不同的特征值，可以相似对角化．当a=，是二重特征值．由于E—A)=2，对应线性无关特征向量只有一个，故A不可相似对角化．当a=0时，λ1=λ3=1，是二重特征值．由于E—A=，则r(E—A)=2，对应线性无关特征向量也只有一个，故A不可相似对角化．知识点解析：暂无解析22、设(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=(Ⅰ)求Z=X一2Y的概率密度；(Ⅱ)求P{X≤}．标准答案：(Ⅰ)法一分布函数法．由分布函数的定义FZ(z)=P{Z≤z}=P{X一2Y≤z}，可知当z＜一1时，FZ(z)=0；当一1≤z＜0时，积分区域如图(a)所示：当0≤z＜1时，积分区域如图(b)所示：FZ(z)=P{X一2Y≤z}=1一P{X一2Y＞z}=1一(1—z)2；当z≥1时，FZ(z)=1．综上法二公式法．fZ(z)=∫-∞+∞f(z+2y，y)dy，法二利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布．即条件{Y=}等价于在直线AB上随机投点，再要求{X≤}等价于范围缩小到AC上随机投点，如图所示，知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，X5是总体X～N(0，22)的简单随机样本，X=X．(Ⅰ)令随机变量Y=+(X4一X5)2，求EY与DY；(Ⅱ)求随机变量Z=的分布；(Ⅲ)给定α(0＜α＜0．5)，常数c满足P{Z＞c}=α，设随机变量U～F(2，1)，求P{U＞}．标准答案：(Ⅰ)设X1，X2，…，X5是来自总体X～N(0，22)的简单随机样本，由～χ2(2)，得(Ⅲ)由Z～t(2)→Z2～F(1，2)→与U同分布，则P{U＞}=P{Z2＜c2}=P{一c＜Z＜c>=1—2α．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、当x→0时，下列无穷小量中阶数最高的是()A、(1＋x)x3－1。B、ex5＋3x2－1。C、∫x0tan2tdt。D、(x－sinx)2。标准答案：D知识点解析：本题考查无穷小量阶的比较。可利用等价无穷小替换观察其与x的阶数的大小，也可用待定系数法，通过求极限，当l为某个常数时，k即为无穷小量的阶数。对于选项A，(1＋x)x3－1～ln[(1＋x)x3－1＋1]＝ln(1＋x)x3＝x3ln(1＋x)＝x4，因此A选项是x的4阶无穷小；对于选项B，ex5＋3x2－1～x5＋3x2～3x2，因此B选项是x的2阶无穷小；对于选项C，利用待定系数法确定阶数，即因此可得C选项是x的3阶无穷小；对于选项D，x→0时，，因此可得D选项是x的6阶无穷小。综上所述，故本题选D。2、函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上连续，其二阶导函数的图形如图所示，则f(x)的拐点个数为()A、2个。B、3个。C、4个。D、5个。标准答案：C知识点解析：本题考查拐点的定义。函数的拐点可能在二阶导数等于0的点和导数不存在的点取到，关键是观察二阶导数等于O或二阶导数不存在的点两端正负是否一样。观察函数f(x)的二阶导函数的图形，二阶导函数等于零的点分别为x1，x2，x3，x4，这些点当中，只有x1，x2，x4三个点两端的f＂(x)变号，即三点两端的凹凸性相反，因此x1，x2，x4均为函数的拐点。此外，二阶导函数不存在的点为x＝0，该点两端的f＂(x)也变号，即x＝0两端的凹凸性也相反，因此x＝0也是函数的拐点。故本题选C。3、已知df(x，y)＝(6x2y＋3y3－3x2)dx＋(2x3＋9xy2＋2y)dy，则(x，y)＝()A、2x3(y＋1)＋3y2x(y＋3)＋y2－x3＋C。B、2x3y＋3y3x－x3＋y<>2＋C。C、2x3y＋3y3x－x3＋C。D、2x3＋9y2x＋y2＋C。标准答案：B知识点解析：本题考查全微分的定义。dx前是函数对x的偏导数，dy前是函数对Y的偏导数，先通过x的偏导数对x积分，再通过y的偏导数对y积分之后即可得函数的表达式。由题意可得因此f(x，y)＝∫(6x2y＋3y3－3x2)dx＝2x3y＋3y3x－x3＋φ(y)。又根据可得2x3＋9y2x＋φ＇(y)＝2x3＋9y2x＋2y，因此可得φ＇(y)＝2y＋C，即f(x，y)＝2x3y＋3y3x－x3＋y2＋C。故本题选B。4、下列各级数发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题考查级数的敛散性判断。判断级数敛散性常用的方法有比较审敛法、根值审敛法、莱布尼茨判别法、利用等价级数判断敛散性等。综上所述，故本题选A。5、已知，矩阵B满足A*B＋A－1－B＝0，其中A*是矩阵A的伴随矩阵，则｜B｜＝()A、－1。B、－4。C、D、标准答案：C知识点解析：本题考查伴随矩阵的性质和矩阵方程的求解。首先对矩阵方程变形，化成矩阵乘积的形式，然后利用已知矩阵求出A的行列式，利用A*A＝AA*＝｜A｜E消去方程中的A*，最后根据行列式性质｜AB｜＝｜A｜｜B｜求出行列式｜B｜的值。方程两边同时乘矩阵A，对矩阵方程变形可得AA*B＋E－AB＝0，根据公式A*A＝AA*＝｜A｜E，上式变为AB－｜A｜B＝E(A－｜A｜E)B＝E，其中，等式变为(A＋E)B＝E，两边同时取行列式，｜A＋E｜·｜B｜＝1，解得。故本题选C。6、下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：本题考查矩阵可相似对角化的条件。实对称矩阵必可相似对角化；n阶矩阵A如果有n个不同的特征值或有n个线性无关的特征向量，则矩阵A必可相似对角化。A选项的矩阵是实对称矩阵，因此必可相似对角化。B选项的矩阵是一个上三角矩阵，主对角线元素即矩阵的特征值，因此该矩阵有3个不同的特征值，则矩阵必可相似对角化。C选项的矩阵设为C，则得矩阵的特征值为9，0，0，对于二重特征值0，根据r(0E－A)＝r(A)＝1，可得齐次方程组(0E－A)x＝0的基础解系有2个线性无关的特征向量；即属于特征值0的线性无关的特征向量有2个，从而C选项的矩阵必可相似对角化。D选项的矩阵是一个上三角矩阵，主对角线元素为其特征值，分别为－1，－1，2，对于特征值－1，由可知齐次方程组(－E－A)X＝0只有一个解向量，即属于二重特征值一l的特征向量只有1个，因此D选项的矩阵不能相似对角化。综上所述，故本题选D。7、设A，B，C是三个随机事件，已知P(ABC)＞0，则P(BC｜A)＝P(B｜A)P(C｜A)的充分必要条件是()A、P(B｜A)＝PB、P(BC｜A)＝P(C｜AB)。C、P(C｜AB)＝P(C｜A)。D、P(B｜A)＝P(C｜A)。标准答案：C知识点解析：本题考查随机事件概率的基本性质。根据随机变量的相互独立性及条件概率的性质推导公式成立的条件。根据已知可得因此可得P(BC｜A)＝P(B｜A)P(C｜A)＝P(B｜A)×P(C｜AB)，即P(C｜A)＝P(C