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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<1},B={x|},则A. B.C. D.2.若为纯虚数,则z=()A. B.6i C. D.203.已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点,点在抛物线上,则当取得最大值时,直线的方程为()A.或 B.或 C.或 D.4.如图所示,正方体的棱,的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.5.设分别为的三边的中点,则()A. B. C. D.6.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称7.已知分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()A. B.4 C.2 D.8.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()A. B. C. D.9.双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.610.定义在R上的函数,,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.11.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.6412.若向量,则()A.30 B.31 C.32 D.33二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为偶函数,当时,,则__________.14.已知集合,,则____________.15.已知函数为奇函数,则______.16.已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量满足,且,,,存在,对于任意的实数,不等式,则实数的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大小;(2)若△ABC外接圆的半径为,求△ABC面积的最大值.18.(12分)在中,内角,,所对的边分别是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.19.(12分)已知函数f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)1,若函数g(x)在上有两个零点,求实数a的取值范围.20.(12分)已知.(1)若是上的增函数,求的取值范围;(2)若函数有两个极值点,判断函数零点的个数.21.(12分)在中,内角的对边分别是,满足条件.(1)求角;(2)若边上的高为,求的长.22.(10分)已知首项为2的数列满足.(1)证明:数列是等差数列.(2)令,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】∵集合∴∵集合∴,故选A2.C【解析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念,可得结果.【详解】∵为纯虚数,∴且得,此时故选:C.【点睛】本题考查复数的概念与运算,属基础题.3.A【解析】
过作与准线垂直,垂足为,利用抛物线的定义可得,要使最大,则应最大,此时与抛物线相切,再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直,垂足为,,则当取得最大值时,最大,此时与抛物线相切,易知此时直线的斜率存在,设切线方程为,则.则,则直线的方程为.故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及到抛物线的定义,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.4.C【解析】
以D为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立空间直角坐标系,由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值.【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,则,,,取平面的法向量为,设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ,则sinθ=|,直线与平面所成角的正弦值为.故选C.【点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法,也考查数形结合思想和向量法的应用,属于中档题.5.B【解析】
根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:,故选:B【点睛】本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.6.B【解析】
根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.7.A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用双曲线的定义可用表示出,,用勾股定理得出的等式,从而得离心率.【详解】.又,可令,则.设,得,即,解得,∴,,由得,,,该双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来,从而再由勾股定理建立的关系.8.C【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个的基本事件总数为,再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,根据即可求出6和28不在同一组的概率.【详解】解:根据题意,将五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则基本事件总数为,则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,∴6和28不在同一组的概率.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法,涉及实际问题中组合数的应用.9.A【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y=±22x,圆心坐标为(3,0).由题意知,圆心到渐近线的距离等于圆的半径r,即r=±答案:A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系,属于基础题.10.D【解析】
根据题意判断出函数的单调性,从而根据单调性对选项逐个判断即可.【详解】由条件可得函数关于直线对称;在,上单调递增,且在时使得;又,,所以选项成立;,比离对称轴远,可得,选项成立;,,可知比离对称轴远,选项成立;,符号不定,,无法比较大小,不一定成立.故选:.【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.B【解析】
根据题意,有两种分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【详解】当按照进行分配时,则有种不同的方案;当按照进行分配,则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案,故选:B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化,还考查数学建模能力以及分类讨论思想,属于中档题.12.C【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由偶函数的性质直接求解即可【详解】.故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性,对数函数的运算,考查运算求解能力14.【解析】
由于,,则.15.【解析】
利用奇函数的定义得出,结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数,则,即,,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意;当时,,解不等式,解得或,此时函数的定义域为,定义域关于原点对称,合乎题意.综上所述,.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.16.【解析】
由题意可设,,,由向量的坐标运算,以及恒成立思想可设,的最小值即为点,到直线的距离,求得,可得不大于.【详解】解:,且,可设,,,,可得,可得的终点均在直线上,由于为任意实数,可得时,的最小值即为点到直线的距离,可得,对于任意的实数,不等式,可得,故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的模的求法,以及两点的距离的运用,考查直线方程的运用,以及点到直线的距离,考查运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)B(2)【解析】
(1)由已知结合余弦定理,正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB,进而可求B;(2)由已知结合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围,然后结合三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)因为b(a2+c2﹣b2)=ca2cosC+ac2cosA,∴,即2bcosB=acosC+ccosA由正弦定理可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,因为,所以,所以B;(2)由正弦定理可得,b=2RsinB2,由余弦定理可得,b2=a2+c2﹣2accosB,即a2+c2﹣ac=4,因为a2+c2≥2ac,所以4=a2+c2﹣ac≥ac,当且仅当a=c时取等号,即ac的最大值4,所以△ABC面积S即面积的最大值.【点睛】本题综合考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用,属于中档题.18.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根据正弦定理先求得边c,然后由余弦定理可求得边b;(Ⅱ)结合二倍角公式及和差公式,即可求得本题答案.【详解】(Ⅰ)因为,由正弦定理可得,,又,所以,所以根据余弦定理得,,解得,;(Ⅱ)因为,所以,,,则.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形,以及利用二倍角公式及和差公式求值,属基础题.19.(1)单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞)(2)(3,2e]【解析】
(1)当a=2时,求出,求解,即可得出结论;(2)函数在上有两个零点等价于a=2x在上有两解,构造函数,,利用导数,可分析求得实数a的取值范围.【详解】(1)当a=2时,定义域为,则,令,解得x1,或x1(舍去),所以当时,单调递减;当时,单调递增;故函数的单调递减区间为,单调递增区间为,(2)设,函数g(x)在上有两个零点等价于在上有两解令,,则,令,,显然,在区间上单调递增,又,所以当时,有,即,当时,有,即,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,时,取得极小值,也是最小值,即,由方程在上有两解及,可得实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.20.(1)(2)三个零点【解析】
(1)由题意知恒成立,构造函数,对函数求导,求得函数最值,进而得到结果;(2)当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点,再证,.【详解】(1)由得,由题意知恒成立,即,设,,时,递减,时,,递增;故,即,故的取值范围是.(2)当时,单调,无极值;当时,,一方面,,且在递减,所以在区间有一个零点.另一方面,,设,则,从而在递增,则,即,又在递增,所以在区间有一个零点.因此,当时在和各有一个零点,将这两个零点记为,,当时,即;当时,即;当时,即:从而在递增,在递减,在递增;于是是函数的极大值点,是函数的极小值点.下面证明:,由得,即,由得,令,则,①当时,递减,则,而,故;②当时,递减,则,而,故;一方面,因为,又,且在递增,所以在上有一个零点,即在上有一个零点.另一方面,根据得,则有:,又,且在递增,故在上有一个零点,故在上有一个零点.又,故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点,导数的综合应用.在研究函数零点时,有一种方法是把函数的零点转化为方程的解,再把方程的解转化为函数图象的交点,特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题,这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值,从而得出函数的变化趋势,得出结论.21.(1).(2)【解析】
(1)利用正弦定理的边角互化可得,再根据,利用两角和的正弦公式即可求解.(2)已知,由知,在中,解出即可.【详解】(1
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