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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.902.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.3.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.4.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()A. B. C. D.5.“是函数在区间内单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.下列函数中,既是奇函数,又是上的单调函数的是()A. B.C. D.7.关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是()A. B.C. D.8.已知集合则()A. B. C. D.9.复数满足,则()A. B. C. D.10.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.11.设,,,则的大小关系是()A. B. C. D.12.已知为圆的一条直径,点的坐标满足不等式组则的取值范围为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一个房间的地面是由12个正方形所组成,如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面,已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形,即或,则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.14.已知,在方向上的投影为,则与的夹角为_________.15.已知i为虚数单位,复数,则=_______.16.内角,,的对边分别为,,,若,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列中,,数列的前项和.(1)求;(2)若,求的前项和.18.(12分)设数列的前n项和满足,,,(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔(2)设,求证:.19.(12分)在中国,不仅是购物,而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费,日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作,调查了腾讯服务的6000名用户,从中随机抽取了60名,统计他们出门随身携带现金(单位:元)如茎叶图如示,规定:随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”,其他为“非手机支付族”.(1)根据上述样本数据,将列联表补充完整,并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?(2)用样本估计总体,若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户,这3位用户中“手机支付族”的人数为,求随机变量的期望和方差;(3)某商场为了推广手机支付,特推出两种优惠方案,方案一:手机支付消费每满1000元可直减100元;方案二:手机支付消费每满1000元可抽奖2次,每次中奖的概率同为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析,选择哪种优惠方案更划算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(12分)在直角坐标系中,直线l过点,且倾斜角为,以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程,并判断曲线C是什么曲线;设直线l与曲线C相交与M,N两点,当,求的值.21.(12分)已知是等腰直角三角形,.分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥.(Ⅰ)求证:平面平面.(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知,,函数的最小值为.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.2.D【解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.3.B【解析】

由题中垂直关系,可得渐近线的方程,结合,构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直.∴双曲线的渐近线方程为.,得.则离心率.故选:B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.4.C【解析】

根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意,,,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.5.C【解析】,令解得当,的图像如下图当,的图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.6.C【解析】

对选项逐个验证即得答案.【详解】对于,,是偶函数,故选项错误;对于,,定义域为,在上不是单调函数,故选项错误;对于,当时,;当时,;又时,.综上,对,都有,是奇函数.又时,是开口向上的抛物线,对称轴,在上单调递增,是奇函数,在上是单调递增函数,故选项正确;对于,在上单调递增,在上单调递增,但,在上不是单调函数,故选项错误.故选:.【点睛】本题考查函数的基本性质,属于基础题.7.A【解析】

由的解集,可知及,进而可求出方程的解,从而可求出的解集.【详解】由的解集为,可知且,令,解得,,因为,所以的解集为,故选:A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于基础题.8.B【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.【详解】集合解得由集合交集运算可得,故选:B.【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,对数不等式解法,属于基础题.9.C【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解:,故选:C【点睛】本题考查复数除法运算,考查复数的模,考查计算能力,属于基础题.10.D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.11.A【解析】

选取中间值和,利用对数函数,和指数函数的单调性即可求解.【详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以,因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.12.D【解析】

首先将转化为,只需求出的取值范围即可,而表示可行域内的点与圆心距离,数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为,则,过作直线的垂线,垂足为B,显然,又易得,所以,,故.故选:D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题,涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识,考查学生转化与划归的思想,是一道中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.11【解析】

将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定,再由此进行分类,在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类,在其中会有相同元素的排列问题,需用到“缩倍法”.采用分类计数原理,求得总的方法数.【详解】(1)先贴如图这块瓷砖,然后再贴剩下的部分,按如下分类:5个:,3个,2个:,1个,4个:,(2)左侧两列如图贴砖,然后贴剩下的部分:3个:,1个,2个:,综上,一共有(种).故答案为:11.【点睛】本题考查了分类计数原理,排列问题,其中涉及到相同元素的排列,用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.14.【解析】

由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值,从而得角的大小.【详解】在方向上的投影为,即夹角为.故答案为:.【点睛】本题考查求向量的夹角,掌握向量投影的定义是解题关键.15.【解析】

先把复数进行化简,然后利用求模公式可得结果.【详解】.故答案为:.【点睛】本题主要考查复数模的求解,利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.16.【解析】∵,∴,即,∴,∴.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2).【解析】

(1)由条件得出方程组,可求得的通项,当时,,可得,当时,,得出是以1为首项,2为公比的等比数列,可求得的通项;(2)由(1)可知,,分n为偶数和n为奇数分别求得.【详解】(1)由条件知,,,当时,,即,当时,,是以1为首项,2为公比的等比数列,;(2)由(1)可知,,当n为偶数时,当n为奇数时,综上,【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项的求得,以及其前n项和,注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和,属于中档题.18.(1)证明见解析,;(2)证明见解析【解析】

(1)由,作差得到,进一步得到,再作差即可得到,从而使问题得到解决;(2),求和即可.【详解】(1),,两式相减:①用换,得②②—①,得,即,所以数列是等差数列,又,∴,,公差,所以.(II).【点睛】本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和,考查学生的计算能力,是一道容易题.19.(1)列联表见解析,99%;(2),;(3)第二种优惠方案更划算.【解析】

(1)根据已知数据得出列联表,再根据独立性检验得出结论;(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为,知服从二项分布,即,可求得其期望和方差;(3)若选方案一,则需付款元,若选方案二,设实际付款元,,则的取值为1200,1080,1020,求出实际付款的期望,再比较两个方案中的付款的金额的大小,可得出选择的方案.【详解】(1)由已知得出联列表:,所以,有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关;(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为,,;(3)若选方案一,则需付款元若选方案二,设实际付款元,,则的取值为1200,1080,1020,,,,选择第二种优惠方案更划算【点睛】本题考查独立性检验,二项分布的期望和方差,以及由期望值确定决策方案,属于中档题.20.(Ⅰ)曲线是焦点在轴上的椭圆;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)由题易知,直线的参数方程为,(为参数),;曲线的直角坐标方程为,椭圆;(2)将直线代入椭圆得到,所以,解得.试题解析:(Ⅰ)直线的参数方程为.曲线的直角坐标方程为,即,所以曲线是焦点在轴上的椭圆.(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为得,,得,,21.(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【解析】

(I)证明平面得出平面,根据面面垂直的判定定理得到结论;(II)当平面时,棱锥体积最大,建立空间坐标系,计算两平面的法向量,计算法向量的夹角得出答案.【详解】(I)证明:分别为的中点,,又平面平面,又平面平面平面(II),为定值当平面时,三棱锥的体积取最大值以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系则,设平面的法向量为,则即,令可得平面是平面的一个法向量平面与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查了面面垂直的判定,二面角的计算,关键是能够根据体积的最值确定垂直关系,从而可以建立起空间直角坐标系,利用空间向量法求得二面

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