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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,其底面边长为4,、、分别为侧棱,,的中点.若在三棱锥内,且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍,则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为()A. B. C. D.3.已知不同直线、与不同平面、,且,,则下列说法中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则4.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离5.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.5786.下列函数中,在区间上为减函数的是()A. B. C. D.7.已知集合,则=()A. B. C. D.8.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.且 B.且 C.且 D.且9.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则()A.1 B. C.2 D.311.函数f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x=对称,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)12.已知平面向量满足与的夹角为,且,则实数的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知随机变量服从正态分布,若,则_________.14.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上,且,,则__________.15.已知向量=(1,2),=(-3,1),则=______.16.在回归分析的问题中,我们可以通过对数变换把非线性回归方程,()转化为线性回归方程,即两边取对数,令,得到.受其启发,可求得函数()的值域是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知,且.(1)请给出的一组值,使得成立;(2)证明不等式恒成立.19.(12分)已知函数,(1)若,求的单调区间和极值;(2)设,且有两个极值点,,若,求的最小值.20.(12分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.21.(12分)已知数列{an}满足条件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,求证:Sn.22.(10分)分别为的内角的对边.已知.(1)若,求;(2)已知,当的面积取得最大值时,求的周长.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据抛物线的性质,设出直线方程,代入抛物线方程,求得k的值,设出双曲线方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用双曲线的离心率公式求得e.【详解】直线F2A的直线方程为:y=kx,F1(0,),F2(0,),代入抛物线C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),设双曲线方程为:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴离心率e1,故选:D.【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质,考查转化思想,考查计算能力,属于中档题.2.D【解析】
如图,平面截球所得截面的图形为圆面,计算,由勾股定理解得,此外接球的体积为,三棱锥体积为,得到答案.【详解】如图,平面截球所得截面的图形为圆面.正三棱锥中,过作底面的垂线,垂足为,与平面交点记为,连接、.依题意,所以,设球的半径为,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的体积为,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距离为,则,所以三棱锥体积为,所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为.故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,三棱锥体积,球体积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3.C【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.4.B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r5.D【解析】
因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.6.C【解析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性,进而可得出结果.【详解】对于A选项,函数在区间上为增函数;对于B选项,函数在区间上为增函数;对于C选项,函数在区间上为减函数;对于D选项,函数在区间上为增函数.故选:C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断,熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键,属于基础题.7.D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的补集,然后求【详解】,所以.故选:D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算,属于基础题.8.B【解析】由且可得,故选B.9.B【解析】
复数,在复平面内对应的点在第二象限,可得关于a的不等式组,解得a的范围.【详解】,由其在复平面对应的点在第二象限,得,则.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.10.C【解析】
连接AO,因为O为BC中点,可由平行四边形法则得,再将其用,表示.由M、O、N三点共线可知,其表达式中的系数和,即可求出的值.【详解】连接AO,由O为BC中点可得,,、、三点共线,,.故选:C.【点睛】本题考查了向量的线性运算,由三点共线求参数的问题,熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.11.D【解析】
由函数的周期求得,再由平移后的函数图像关于直线对称,得到,由此求得满足条件的的值,即可求得答案.【详解】分析:由函数的周期求得,再由平移后的函数图像关于直线对称,得到,由此求得满足条件的的值,即可求得答案.详解:因为函数的最小正周期是,所以,解得,所以,将该函数的图像向右平移个单位后,得到图像所对应的函数解析式为,由此函数图像关于直线对称,得:,即,取,得,满足,所以函数的解析式为,故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及函数的解析式的求解,其中解答中根据三角函数的图象变换得到,再根据三角函数的性质求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.12.D【解析】
由已知可得,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得由,得即,解得.故选:.【点睛】本题考查向量的数量积运算,向量垂直的应用,考查计算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.0.4【解析】
因为随机变量ζ服从正态分布,利用正态曲线的对称性,即得解.【详解】因为随机变量ζ服从正态分布所以正态曲线关于对称,所.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.14.【解析】由题意可得,该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上,设长方体的长宽高为,由题意可得:,据此可得:,则球的表面积:,结合解得:.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.15.-6【解析】
由可求,然后根据向量数量积的坐标表示可求.【详解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),则=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案为-6【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示,属于基础试题.16.【解析】
转化()为,即得解.【详解】由题意:().故答案为:【点睛】本题考查类比法求函数的值域,考查了学生逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,由三角形中位线定理得,由此能证明平面.(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.分别求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:证明:连接交于点,则为的中点.又是的中点,连接,则.因为平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因为直棱柱,所以以点为坐标原点,分别以直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则且,可解得,令,得平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,则所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.18.(1)(答案不唯一)(2)证明见解析【解析】
(1)找到一组符合条件的值即可;(2)由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.【详解】解析:(1)(答案不唯一)(2)证明:由题意可知,,因为,所以.所以,即.因为,所以,因为,所以,所以.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19.(1)增区间为,减区间为;极小值,无极大值;(2)【解析】
(1)求出f(x)的导数,解不等式,即可得到函数的单调区间,进而得到函数的极值;(2)由题意可得,,求出的表达式,,求出h(t)的最小值即可.【详解】(1)将代入中,得到,求导,得到,结合,当得到:增区间为,当,得减区间为且在时有极小值,无极大值.(2)将解析式代入,得,求导得到,令,得到,,,,,,,,因为,所以设,令,则所以在单调递减,又因为所以,所以或又因为,所以所以,所以的最小值为.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及函数的极值的意义,考查转化思想与减元意识,是一道综合题.20.(1)(2)见解析【解析】
(1)设数列的公差为,由,得到,再结合题干所给数据得到公差,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)可得,再利用放缩法证明不等式即可;【详解】解:(1)设数列的公差为,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算,放缩法证明数列不等式,属于中档题.21.(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析【解析】
(Ⅰ)由an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,对分奇偶讨论,即可得;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,用错位相减法求出,运用分析法证明即可.【详解】(Ⅰ),当为奇数时,,又由,得,当为偶数时,,又由a2=3,得,;(Ⅱ)由(1)得,则①②①-②可得:,,若证明Sn,则需要证明,又,即证明,即证,又显然成立,故Sn得证.【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式,错位相减法求前项和,分析法证明
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