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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某个命题与自然数有关,且已证得“假设时该命题成立,则时该命题也成立”.现已知当时,该命题不成立,那么()A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立C.当时,该命题不成立 D.当时,该命题成立2.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]3.已知复数是正实数,则实数的值为()A. B. C. D.4.如图,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B. C. D.5.已知全集,集合,,则阴影部分表示的集合是()A. B. C. D.6.为计算,设计了如图所示的程序框图,则空白框中应填入()A. B. C. D.7.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.48.已知函数,则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为;②函数的图象是轴对称图形;③函数的极大值为;④函数的最小值为.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④9.已知复数满足,则()A. B. C. D.10.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺12.设为自然对数的底数,函数,若,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上,且,,则__________.14.已知集合,.若,则实数a的值是______.15.平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上,当PA最长时,则______________;四棱锥P-ABCD的体积为______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面.(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;(2)若,且直线与平面所成角为,求的值.18.(12分)在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且轴,直线交轴于点,,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过的直线交椭圆于两点,且满足,求的面积.19.(12分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.20.(12分)如图,三棱锥中,(1)证明:面面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)设数列,的各项都是正数,为数列的前n项和,且对任意,都有,,,(e是自然对数的底数).(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和.22.(10分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E.(1)求证:四边形ACC1A1为矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
写出命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题,结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知,命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立,则当时该命题也不成立”,由于当时,该命题不成立,则当时,该命题也不成立,故选:C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用,解题时要写出原命题的逆否命题,结合逆否命题的等价性进行判断,考查逻辑推理能力,属于中等题.2.A【解析】
根据符号函数的解析式,结合f(x)的单调性分析即可得解.【详解】根据题意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的减函数,当x>0时,x<ax,则有f(x)>f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此时sgn[g(x)]=1,当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此时sgn[g(x)]=0,当x<0时,x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=﹣1,综合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故选:A.【点睛】此题考查函数新定义问题,涉及函数单调性辨析,关键在于读懂定义,根据自变量的取值范围分类讨论.3.C【解析】
将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以且,解得.故选:C【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.4.D【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离,再加上侧面三角形的高,即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为,球心为,由题意,球的体积为,即可得球的半径为1,又由边长为的正方形硬纸,可得圆的半径为,利用球的性质可得,又由到底面的距离即为侧面三角形的高,其中高为,所以球心到底面的距离为.故选:D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及球的性质的综合应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与计算能力,属于基础题.5.D【解析】
先求出集合N的补集,再求出集合M与的交集,即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由,,可得或,又所以.故选:D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合,集合的交集和补集的运算,属于基础题.6.A【解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.【详解】由程序框图的运行,可得:S=0,i=0满足判断框内的条件,执行循环体,a=1,S=1,i=1满足判断框内的条件,执行循环体,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2满足判断框内的条件,执行循环体,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…观察规律可知:满足判断框内的条件,执行循环体,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此时,应该不满足判断框内的条件,退出循环,输出S的值,所以判断框中的条件应是i<1.故选:A.【点睛】本题考查了当型循环结构,当型循环是先判断后执行,满足条件执行循环,不满足条件时算法结束,属于基础题.7.B【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.8.D【解析】
因为,所以①不正确;因为,所以,,所以,所以函数的图象是轴对称图形,②正确;易知函数的最小正周期为,因为函数的图象关于直线对称,所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可.当时,,且,令,得,可知函数在处取得极大值为,③正确;因为,所以,所以函数的最小值为,④正确.故选D.9.A【解析】
根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【详解】由题可知:由,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.10.A【解析】
首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个,具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1____,__1__,____1.剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个.故不同的样本点数为8个,.故选:A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题11.A【解析】由题意,将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示:
沿上棱两端向底面作垂面,且使垂面与上棱垂直,
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,
则三棱柱的体积V1四棱锥的体积V2=13×1×3×2=2【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算,其中正确还原几何体,利用方格数据分割与计算是解题的关键.12.D【解析】
利用与的关系,求得的值.【详解】依题意,所以故选:D【点睛】本小题主要考查函数值的计算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】由题意可得,该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上,设长方体的长宽高为,由题意可得:,据此可得:,则球的表面积:,结合解得:.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.14.9【解析】
根据集合交集的定义即得.【详解】集合,,,,则a的值是9.故答案为:9【点睛】本题考查集合的交集,是基础题.15.【解析】
根据向量共线定理得A,B,C三点共线,再根据点斜式得结果【详解】因为,且α+β=1,所以A,B,C三点共线,因此点C的轨迹为直线AB:【点睛】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程,考查基本分析求解能力,属中档题.16.90°【解析】
易得平面PAD,P点在与BA垂直的圆面内运动,显然,PA是圆的直径时,PA最长;将四棱锥补形为长方体,易得为球的直径即可得到PD,从而求得四棱锥的体积.【详解】如图,由及,得平面PAD,即P点在与BA垂直的圆面内运动,易知,当P、、A三点共线时,PA达到最长,此时,PA是圆的直径,则;又,所以平面ABCD,此时可将四棱锥补形为长方体,其体对角线为,底面边长为2的正方形,易求出,高,故四棱锥体积.故答案为:(1)90°;(2).【点睛】本题四棱锥外接球有关的问题,考查学生空间想象与逻辑推理能力,是一道有难度的压轴填空题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)分别取的中点为,易得两两垂直,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,易得为平面的法向量,只需求出平面的法向量为,再利用计算即可;(2)求出,利用计算即可.【详解】(1)分别取的中点为,连结.因为∥,所以∥.因为,所以.因为侧面为等边三角形,所以又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以两两垂直.以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为,则,,.设平面的法向量为,则,即.取,则,所以.又为平面的法向量,设平面与平面所成的锐二面角的大小为,则,所以平面与平面所成的锐二面角的大小为.(2)由(1)得,平面的法向量为,所以成.又直线与平面所成角为,所以,即,即,化简得,所以,符合题意.【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角,涉及到面面垂直的性质定理的应用,做好此类题的关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.18.(1);(2).【解析】
(1)根据离心率以及,即可列方程求得,则问题得解;(2)设直线方程为,联立椭圆方程,结合韦达定理,根据题意中转化出的,即可求得参数,则三角形面积得解.【详解】(1)设,由题意可得.因为是的中位线,且,所以,即,因为进而得,所以椭圆方程为(2)由已知得两边平方整理可得.当直线斜率为时,显然不成立.直线斜率不为时,设直线的方程为,联立消去,得,所以,由得将代入整理得,展开得,整理得,所以.即为所求.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的方程,以及椭圆三角形面积的求解,属综合中档题.19.(1);(2).【解析】
(1)根据抛物线的定义,结合已知条件,即可容易求得结果;(2)设出直线的方程,联立抛物线方程,根据直线与抛物线相交则,结合由得到的斜率关系,即可求得斜率的范围.【详解】(1)因为动圆与圆外切,并与直线相切,所以点到点的距离比点到直线的距离大.因为圆的半径为,所以点到点的距离等于点到直线的距离,所以圆心的轨迹为抛物线,且焦点坐标为.所以曲线的方程.(2)设,,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范围为.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程,涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围,属综合中档题.20.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取中点,连结,证明平面得到答案.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,为平面的一个法向量,平面的一个法向量为,计算夹角得到答案.【详解】(1)取中点,连结,,,,,为直角,,平面,平面
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