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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设实数x,y满足条件x+y-2⩽02x-y+3⩾0x-y⩽0则A.1 B.2 C.3 D.42.如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.3.函数的图象大致是()A. B.C. D.4.函数的大致图象为()A. B.C. D.5.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:①它的图象关于直线x=对称;②它的最小正周期为;③它的图象关于点(,1)对称;④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④6.已知,则“直线与直线垂直”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.双曲线:(,)的一个焦点为(),且双曲线的两条渐近线与圆:均相切,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.8.已知是等差数列的前项和,,,则()A.85 B. C.35 D.9.设集合则()A. B. C. D.10.函数在上的图象大致为()A. B. C. D.11.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若线段中点的横坐标为3,且,则抛物线的方程是()A. B. C. D.12.已知点P不在直线l、m上,则“过点P可以作无数个平面,使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面直角坐标系中,已知圆,圆.直线与圆相切,且与圆相交于,两点,则弦的长为_________14.定义在R上的函数满足:①对任意的,都有;②当时,,则函数的解析式可以是______________.15.命题“”的否定是______.16.的展开式中,的系数是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)[选修4-4:极坐标与参数方程]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若射线与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,求取最大值时的值18.(12分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表:患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关?请说明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害,现从不患心肺疾病的位男性中,选出人进行问卷调查,求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考:(参考公式,其中)19.(12分)如图,已知四边形的直角梯形,∥BC,,,,为线段的中点,平面,,为线段上一点(不与端点重合).(1)若,(ⅰ)求证:PC∥平面;(ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(2)否存在实数满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由.20.(12分)正项数列的前n项和Sn满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.21.(12分)已知抛物线的顶点为原点,其焦点关于直线的对称点为,且.若点为的准线上的任意一点,过点作的两条切线,其中为切点.(1)求抛物线的方程;(2)求证:直线恒过定点,并求面积的最小值.22.(10分)已知函数(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)若数列的前项和,,求证:数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直线在y轴的截距加上1,根据图像知,当x+y=2时,且x∈-13,1时,故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.2.B【解析】
根据二次函数图象的对称轴得出范围,轴截距,求出的范围,判断在区间端点函数值正负,即可求出结论.【详解】∵,结合函数的图象可知,二次函数的对称轴为,,,∵,所以在上单调递增.又因为,所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点,属于基础题.3.C【解析】
根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.【详解】∵,,∴函数为奇函数,∴排除选项A,B;又∵当时,,故选:C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.4.A【解析】
利用特殊点的坐标代入,排除掉C,D;再由判断A选项正确.【详解】,排除掉C,D;,,,.故选:A.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题,代入特殊点,采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,属于中档题.5.B【解析】
根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由图象的平移变换公式知,函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为,故②正确;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④错误;故选:B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质;考查运算求解能力和整体代换思想;熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型6.B【解析】
由两直线垂直求得则或,再根据充要条件的判定方法,即可求解.【详解】由题意,“直线与直线垂直”则,解得或,所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件,故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系,及必要不充分条件的判定,其中解答中利用两直线的位置关系求得的值,同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.7.A【解析】
根据题意得到,化简得到,得到答案.【详解】根据题意知:焦点到渐近线的距离为,故,故渐近线为.故选:.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,双曲线的渐近线,意在考查学生的计算能力和转化能力.8.B【解析】
将已知条件转化为的形式,求得,由此求得.【详解】设公差为,则,所以,,,.故选:B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等差数列前项和的计算,属于基础题.9.C【解析】
直接求交集得到答案.【详解】集合,则.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.10.C【解析】
根据函数的奇偶性及函数在时的符号,即可求解.【详解】由可知函数为奇函数.所以函数图象关于原点对称,排除选项A,B;当时,,,排除选项D,故选:C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性,属于中档题.11.B【解析】
利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点,由抛物线的定义可知,线段AB中点的横坐标为3,又,,可得,所以抛物线方程为.故选:B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.12.C【解析】
根据直线和平面平行的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】点不在直线、上,若直线、互相平行,则过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,即必要性成立,若过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,则直线、互相平行成立,反证法证明如下:若直线、互相不平行,则,异面或相交,则过点只能作一个平面同时和两条直线平行,则与条件矛盾,即充分性成立则“过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件,故选:.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
利用直线与圆相切求出斜率,得到直线的方程,几何法求出【详解】解:直线与圆相切,圆心为由,得或,当时,到直线的距离,不成立,当时,与圆相交于,两点,到直线的距离,故答案为.【点睛】考查直线与圆的位置关系,相切和相交问题,属于中档题.14.(或,答案不唯一)【解析】
由可得是奇函数,再由时,可得到满足条件的奇函数非常多,属于开放性试题.【详解】在中,令,得;令,则,故是奇函数,由时,,知或等,答案不唯一.故答案为:(或,答案不唯一).【点睛】本题考查抽象函数的性质,涉及到由表达式确定函数奇偶性,是一道开放性的题,难度不大.15.,【解析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.【详解】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题,则该命题的否定是:,故答案为:,.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,属于基础题.16.【解析】
先将原式展开成,发现中不含,故只研究后面一项即可得解.【详解】,依题意,只需求中的系数,是.故答案为:-40【点睛】本题考查二项式定理性质,关键是先展开再利用排列组合思想解决,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为.(2)【解析】
(1)先得到的一般方程,再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程,将代入得,得到曲线的直角坐标方程;(2)设点、的极坐标分别为,,将分别代入曲线、极坐标方程得:,,,之后进行化一,可得到最值,此时,可求解.【详解】(1)由得,将代入得:,故曲线的极坐标方程为.由得,将代入得,故曲线的直角坐标方程为.(2)设点、的极坐标分别为,,将分别代入曲线、极坐标方程得:,,则,其中为锐角,且满足,,当时,取最大值,此时,【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法,极坐标化为直角坐标的方法,以及极坐标中极径的几何意义,极径代表的是曲线上的点到极点的距离,在参数方程和极坐标方程中,能表示距离的量一个是极径,一个是t的几何意义,其中极径多数用于过极点的曲线,而t的应用更广泛一些.18.(1)列联表见解析,有的把握认为患心肺疾病与性别有关,理由见解析;(2).【解析】
(1)结合题意完善列联表,计算出的观测值,对照临界值表可得出结论;(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、,其余三人分别为、、,利用列举法列举出所有的基本事件,并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【详解】(1)由于在全部人中随机抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率为,所以人中患心肺疾病的人数为人,故可将列联表补充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计.故有的把握认为患心肺疾病与性别有关;(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、,其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形:、、、、、、、、、.其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形,分别为:、、、、、、、、,所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题,同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题,考查计算能力,属于中等题.19.(1)(ⅰ)证明见解析(ⅱ)(2)存在,【解析】
(1)(i)连接交于点,连接,,依题意易证四边形为平行四边形,从而有,,由此能证明PC∥平面(ii)推导出,以为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解;(2)设,求出平面的法向量,利用向量法求解.【详解】(1)(ⅰ)证明:连接交于点,连接,,因为为线段的中点,所以,因为,所以因为∥所以四边形为平行四边形.所以又因为,所以又因为平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如图,在平行四边形中因为,,所以以为原点建立空间直角坐标系则,,,所以,,,平面的法向量为设平面的法向量为,则,即,取,得,设平面和平面所成的锐二面角为,则所以锐二面角的余弦值为(2)设所以,,设平面的法向量为,则,取,得,因为直线与平面所成的角的正弦值为,所以解得所以存在满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】此题二查线面平行的证明,考查锐二面角的余弦值的求法,考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线,线面,面面的位置关系等知识,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.(1)(2)见解析【解析】
(1)因为数列的前项和满足:,所以当时,,即解得或,因为数列都是正项,所以,因为,所以,解得或,因为数列都是正项,所以,当时,有,所以,解得,当时,,符合所以数列的通项公式,;(2)因为,所以,所以数列的前项和为:,当时,有,所以,所以对于任意,数列的前项和.21.(1)(2)见解析,最小值为4【解析】
(1)根据焦点到直线的距离列方程,求得的值,由此求得抛物线的方程.(2)设出的坐标,利用导数求得切线的方
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