初中数学概念

初中数学概念

一、数

正数：正数大于0

负数：负数小于0

0既不是正数，也不是负数；正数大于负数

整数包括：正整数，0,负整数

分数包括：正分数，负分数

有理数包括：整数，分数/有限小数，无限循环小数

数轴：在直线上取一点表示0（原点），选取单位长度，规定直线上向右的方向为正方向

任何一个有理数（实数）都可以用数轴上的一个点表示，点和数是一一对应的

两个数只有符号不同，其中一个数为另一个的相反数；两个互为相反数

0的相反数就是0

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且与原点距离相等

数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大

绝对值：数轴上，一个数所对应的点与原点的距离

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0

两个负数比较大小，绝对值大的反而小

有理数加法法则：同号相加，不变符号，绝对值相加

异号相加，绝对值相等得0；不等，符合和绝对值大的相同，绝对值相

减

一个数加0,仍是这个数

加法交换律：A+B=B+A

加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号的负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积

为。

乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数

乘法交换律：AB=BA

乘法结合律：（AB）C=A（BC）

乘法分配律：A（B+C）=AB+AC

有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号的负，绝对值相除

。除以任何非0的数都得0；0不能做除数

乘方：求n个相同因数a的积的运算；结果叫嘉；a是底数；n是指数；an读作a的n

次嘉

有理数混和运算法则：先算乘方，再乘除，后加减；括号里的先算

无理数：无限不循环小数，有正负之分。

算数平方根：一个正数x的平方等于a,即x2=a,则x是a的算数平方根，读作“根号a”

0的算数平方根是0

平方根：一个数x的平方根等于a,即x2=a,则x是a的平方根（又叫：二次方根）

一个正数有两个平方根，且互为相反数；0只有一个，是它本身；负数没有平方根

开平方：求一个数的平方根的运算；a叫做被开方数

立方根：一个数x的立方等于a,即x3=a,则x是a的立方根（又叫：三次方根）

每个数只有一个立方根，正数的是正数；0的是0；负数的是负数

开立方：求一个数的立方根的运算；a叫做被开方数

实数：有理数和无理数的统称，包括有理数，无理数。相反数、倒数、绝对值的意义相同

和有理数的。实数的运算法则和有理数相同。计算后出现带根号的无理数要化简，使被开方数

不含分母和开得尽的因数

二、式

代数式：用基本运算符号连接数字或字母的式子；单独的数字或字母也是代数式

单项式：数字和字母的积；单独的数字或字母也是单项式；数字因数叫做单项式的系数

多项式：几个单项式的和；每个单项式叫做多项式的项，不含字母的叫常数项

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和；单独的一个非零数的次数是0

多项的次数：次数最高的项的次数

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项

合并同类项：把同类项合并成一项；合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变

去括号法则：括号前面是加号，去括号运算符号不变

括号前面是减号，去括号（一级运算）运算符号变

多重括号，由里面的括号开始去

整式：单项式和多项式的统称

整式加减运算：先去括号，再合并同类项，知道式子最简

同底数越的乘法：同底数募相乘，底数不变，指数相加，如am?an=am+n（m、n为正

整数）

籍的乘方：募的乘方，底数不变，指数相乘，如（am）n=amn（m、n为正整数）

积的乘方：积的乘方等于积中每个因数乘方的积，如（ab）n=anbn（n为正整数）

同底数褰的除法：同底数越相除，底数不变，指数相减，如am-n=am—n（m、n为正

整数，a#0,且m>n）；aO=1（a#0）；a—p=1/ap（a#0,p是正整数）

整式的乘方：单项式与单项式，把系数、相同字母的募分别相加，其余字母连同其指数不

变，作为积的因式

单项式与多项式，根据分配律用单项式去成多项式的每一项，再把积相加

多项式与多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个的每一项，再把积相加

平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差（a+b）（a—b）=a2-b2

完全平方公式：（a—b）2=（b-a）2=a2-2ab+b2

（a+b）2=（—a—b）2=a2+2ab+b2

整式除法：单项式相除，把系数、同底数募分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式

里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式

多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式

公因式：多项式各项都含有的相同因式

提公因式：多项式的各项含有公因式，把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式的乘

积

完全平方式：形如a2-2ab+b2和a2+2ab+b2的式子

运用公式法：把乘法公式反过来，用来把某些多项式分解因式

分式：整式A除以整式B,表示成A/B。A为分式的分子；B为分式的分母（B不为0）

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式值

不变

约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形

最简分式：分子和分母没有公因式的分式

分式乘除法法则：分式相乘，分子相乘作分子，分母相乘作分母

分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘

分式加减法则：同分母分式加减，分母不变，分子相加；异分式先通分，再加减

通分：根据分式的基本性质，异分母分式化为同分母分式的过程；通分时常取最简公分母

分式方程：分母中含有未知数的方程

增根：使原分式方程的分母为0的原方程的根；解分式方程必须检验

三、方程（组）

等式：用等号表示相等关系的式子；等式具有传递性

方程：含有未知数的等式

一元一次方程：一个方程中，只含一个未知数（元），且未知数的指数为1（次）的方程

等式性质：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，结果还是等式

等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），结果还是等式

移项：从方程一边移到另一边的变形

二元一次方程：含有两个未知数，且所含未知数的项数的次数都是1的方程

二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程

二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值

二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解；它们成对出现

代入消元法：简称“代入法”，将其中一个方程的某未知数用含有另一个未知数的代数式表

示，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程的方法

加减消元法：简称“加减法”，通过两式相加（减）消去其中一个未知数的方法

图像法：根据二元一次方程的解和一次函数图像的关系，找出两直线的交点坐标求解的方

法

整式方程：等号两边都是关于未知数的整式方程

一元二次方程：只含有一个未知数的整式方程，化成ax2+bx+c=0（a#0,a,b,c为常

数）

配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根的方法

公式法：对于ax2+bx+c=0（a#0,a,b,c为常数），当b2—4acN0时（当b2—4acW0

时，方程无解），可用一元二次方程的求根公式求解的方法

分解因式法：又称“十字相乘法”，当一元二次方程的一边为0,另一边能分解成两个一次

因式的乘积时，求方程的根的方法

四、不等式（组）

不大于：等于或小于，符号读作“小于等于”

不小于：大于或大于，符号，、读作“大于等于"

不等式：用符号（或M"），“>”（或、"）连接的式子；不等有传递性（除¥”）

不等式基本性质：不等式两边加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变

不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变

不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向变

不等式的解：能使不等式成立的未知数的值

解集：一个含有未知数的不等式的所有解的统称

解不等式：求不等式解集的过程

一元一次不等式：不等式的左右两边是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是

1的不等式

一元一次不等式组：由关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成

一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分

解不等式组：求不等式解集的过程

一元一次不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小不一是无解

五、函数

函数：有两个变量X和y,给定x值就对应找到一个y值

函数图像：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，

在直角坐标系里描出它的对应点，所以点组成的图像

变量包括：自变量和因变量

关系式：表示变量之间关系的方法，根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值

表格法：表示因变量随自变量的变化而变化的情况

图像法：表示变量之间关系的方法，比较直观

平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的；两条坐标轴把

平面直角坐标系分成4部分：右上为第一象限，右下为第四象限，左上第二，左下第三

坐标：过一点分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上所对应的数a、b,则（a,b）

坐标加减，图形大小和形状不变；坐标乘除，图形会变化

一次函数：若两个变量x,y的关系能表示成y=kx+b（k,b为常数，©0）的形式

正比例函数：当y=kx+b（k,b为常数，kHO）,b=0的时候，即y=kx,其图像过原

点

一次函数的图像：k>0直线向左；k<0直线向右。与x轴（一b/k,0）；与y轴（0,b）

反比例函数：若两个变量x,y的关系能表示成丫=1<反（k为常数，k#0）的形式，x不为

0

反比例函数的图像：k<0双曲线在二、四象限，在每一象限内，y随x增大而减小

k>0双曲线在一、三象限，在每一象限内，y随x增大而增大

二次函数：两个变量x,y的关系表示成y=ax2+bx+c（a#0,a,b,c为常数）的函数

二次函数的图像：函数图像是抛物线；a>0时，开口向上有最小值，a<0时，向下有最大

值

y=a（x-h）2+k的图像，开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k有

关

二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点就是ax2+bx+c=0的根：0,1,2个

六、三角函数

正切（坡比）：RtZiABC中，锐角A的对边与邻边的比，记做tanA；tanA越大，梯子越

陡

正弦：/A的对边与斜边的比记做sinA；sinA越大，梯子越陡

余弦：/A的邻边与斜边的比记做cosA；cosA越小，梯子越陡

锐角A的正切、正弦、余弦都是NA的三角函数

仰角：当从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角

俯角：当从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角

七、统计和概率

科学记数法：把一个数字写成a*10n的形式的记数方法

统计图：形象地表示收集到的数据的图

扇形统计图：用圆和扇形来表示总体和部分的关系，扇形大小反映部分占总体的百分比的

大小；在扇形统计图中，每个部分占总体的百分比等于该部分对应的扇形圆心角与3600的比

条形统计图：清楚地表示出每个项目的具体数目

折线统计图：清楚地反映事物的变化情况

确定事件包括：肯定会发生的必然事件（P=1）和一定不会发生的不可能事件（P=0）

不确定事件：可能发生也可能不发生的事件（0<P<1）；不确定事件发生的可能性大小不

同；不确定事件的概率：可用事件结果除以所以可能结果求得理论概率

有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止的数

字

游戏双方公平：双方获胜的可能性相同

算数平均数：简称“平均数”，最常用，受极端值得影响较大；加权平均数

中位数：数据按大小排列，处于中间位置的数，计算简单，受极端值得影响较小

众数：一组数据中出现次数最多的数据，受极端值得影响较小，跟其他数据关系不大

平均数、众数、中位数都是数据的代表，刻画了一组数据的“平均水平”

普查：为了一定目的对考察对象进行全面调查；考察对象全体叫总体，每个考察对象叫个

体

抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查；从总体中抽出的一部分个体叫样本（有代表

性）

随机调查：按机会均等的原则进行调查，总体中每个个体被调查的概率相同

频数：每次对象出现的次数

频率：每次对象出现的次数与总次数的比值

级差：一组数据中最大数据与最小数据的差，刻画数据的离散程度

方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，刻画数据的离散程度

方差计算公式s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+……+(xn-x)2]/n=(x12+x22+……+xn2-nx2)/n

标准方差：方差的算数平方根刻画数据的离散程度

一组数据的级差、方差、标准方差越小，这组数据就越稳定

利用树状图或表格方便求出某事件发生的概率

两个对比图像中，坐标轴上同一单位长度表示的意义一致，纵坐标从0开始画

八、几何基本概念

圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱(直棱柱和斜棱柱)、棱锥和球都是几何体

多面体：一个各个面都是平面的几何体

图形由点、线、面组成；点动成线，线动成面，面动成体；面面相交得线，线线相交等点

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，相邻两个侧面的交线叫侧棱。

截面：用一个平面去截一个几何体所截出的面

主视图：从正面看到的图；左视图：从左面看到的图；俯视图：从上面看到的图

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形

等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等

轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等

平移：在平面内，将图形沿某方向移动一定距离的运动；平移不改变图形的形状和大小

经过平移，对应点的连线平行且相等；对应线段平行且相等，对应教相等

旋转：在平面内，将图形绕一个顶点转动一个角度的运动；旋转不改变图形的形状和大小

定点称为旋转中心，转动的角是旋转角；经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同

方向转动相同的角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转

中心的距离相等

线段：直线上两点，及其中间的部分；两点之间的所有连线中，线段最短；叫两点之间的距

离

射线：直线上一点，及其一旁的部分

直线：两端可无限延伸；经过两点有且只有一条直线

中点：在线段上，把线段分为相等的两条线段的点

角：由两条具有公共端点的射线组成，公共端点是这个角的顶点

平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条线时所成的角

周角：平角的一边继续旋转，当终边和始边再一次成一条线时所成的角

角平分线：从角的顶点引出，把这个角分成两个相等的角的射线

平行线：在同一平面内，不相交的两条直线

经过线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

两条线段平行指这两条线段所在的直线平行

垂直：相交成直角的两条直线；互相垂直的两条直线的交点叫垂足

平面内，过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

两条线段垂直指这两条线段所在的直线垂直

七巧板、图案设计

投影现象：物体在光线的照射下，在地面留下影子的现象

平行投影：太阳光线看成平行光线所形成的投影

中心投影：点光源的光线形成的投影

视点、视线、盲区

九、相交线、平行线与三角形

余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角

补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等

对顶角：相交线的两边互为反向延长线的两个角；对顶角相等

同位角：同位角相等，两直线平行

内错角：内错角相等，两直线平行

同旁内角：同旁内角互补，两直线平行

两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行

勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2

勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角

两线段的比：同一长度单位量得两条线段AB,CD长m,n,则

合比性质：如果，那么

等比性质：如果(b+d+……+n#0)，那么

黄金分割：长边：；短边：

相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形

相似比：相似多边形对应边的比

相似三角形：三角形对应相等、三边对应成比例的两个三角形

三角形相似条件：两角对应相等；三边对应成比例；两边对应成比例且夹角相等

相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比

相似多边形的周长比等于相似比，面积等于相似比的平方

位似图形：不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点的两个图形；这

个点是位似中心，相似比又叫位似比

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定

命题：判断一件事情的句子；命题包括条件和结论。条件是已知事项，结论是推断处的事

项

真命题是正确的命题；假命题是不正确的命题

反例：具备命题条件，而不具有命题结论的例子

公理：公认的真命题；推理的过程叫证明；经过证明的真命题叫定理

推论：由公理和定理直接推出的定理

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180。

四边形的内角和等于360o；n边形的内角和等于180o*（n—2）

三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内

角

三角形全等：sss,SAS,ASA,AAS,HL

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）,两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等

边）

等腰三角形“三线合一”；

等边三角形：一个角是60o的等腰三角形是正三角形；三个角都相等的三角形是正三角

形

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半一条边上的中线等于它的一半的是直角三角形

线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点，在垂直平分线上

角平分线上的点到角两边距离相等；在角内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上

互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个的结论和条件；一个是另一个的逆命题

互逆定理：一个定理的逆命题是真命题；一个是另一个的逆定理

十、特殊的四边形

平行四边形：两组对边分别平行的四边形；对角相等；对边平行且相等；对角相互平分

夹在两条平行线间的平行线段相等

平行四边形的判定：两条对角线互相平分；一组对边平行且相等；两组对边分别相等

菱形：一组邻边相等的平行四边形;四边相等;对角线相互平分且垂直;对角线平分一组对角

菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形泗边相等的四边形;对角线相互垂直的平行四边

行

矩形：有一个内角是直角的平行四边形；对角线相等；四个角都是直角

矩形的判定：对角线相等的平行四边形

正方形：一组邻边相等的矩形；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

梯形：一组对边平行而另一组不平行的四边形；平行的两边是上、下底，不平行的是腰；

等腰梯形对角线相等；同一底上的内角相等的梯形是等腰梯形

两条腰相等的梯形叫等腰梯形，同一底上的内角相等；一条腰和底垂直的梯形叫直角梯形

多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形

正多边形：在平面内，内角、和边都相等的多边形

多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角；多边形外角和是

360o

三角形、四边形和正六边形都可以密铺

中心对称图形：在平面内，绕某个点转180。和原图形重合的图形；这个点叫对称中心

中心对称图形上的每对对应点的连线段都被对称中心平分

三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段；三角形的中位线平行与第三边且是它的一

半

H^一■>圆

圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形；定点是圆心；定长是半径

点与圆的：点在圆外，d>r；点在圆上，d=r；点在圆内，d<r

圆是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心是圆心，其对称轴是任意一条过圆心的直

线

圆弧：圆上任意两点间的部分，简称“弧”；连接圆上任意两点的线段是弦

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧

垂径定理逆定理：平分线弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦相等；如果两个圆心角、两条弧、

两条弦中有一组相等，那么它们所对应的其余各族量都分别相等

圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角；在同圆或等圆中，同弧所对的

圆周角相等；直径所对圆周角是直角；90。的圆周角所对弦是直径

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

不在同一条直线上的三个点确定一个圆；过不共线三点，有且只有一个圆

外接圆：三角形的三个顶点确定的圆；外接圆的圆心是三角形的外心（三边垂直平分线交

点）

内切圆：与三角形三边内切的圆；内切圆的圆心是三角形的内心（三角平分线交点）

直线与圆：相交，d<r,两个交点；相切，d=r—•个交点（切点）；相离d>r,没有交点

切线：和圆只有一个交点的直线；切线垂直于过切点的直径；经过直径一段且垂直，是切

线

圆与圆：外离,d>R+r,0；外切,d=R+r,1；相交,R-r〈d〈R+r,2；内切,d=R-r,1；内含,d〈R-r,

0

弧长计算公式：1=

扇形面积计算公式：S扇形=

圆锥的全面积：圆锥的侧面积与底面积的和

圆锥的侧面积计算公式：S圆锥侧=

公式分类公式表达式

平方差a2-b2=(a+b)(a-b)

和差的平方(a+b)2=a2+b2+2ab(a-b)2=a2+b2-2ab

和差的立方a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

|a+b|M|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

三角不等式

|a-b|s|a|-|b|-|a|<a<|a|

一元二次方程的

-b+«b2-4ac)/2a-b-b+Y(b2-4ac)/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理

b2-4a=0注：方程有相等的两实根

判别式b2-4ac>0注：方程有一个实根

b2-4ac<0注：方程有共辄复数根

匚角函数公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

两角和公式

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

倍角公式

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sin(A/2)=d((1-cosA)/2)sin(A/2)=-^/((1-cosA)/2)

半角公式

cos(A/2)=^((1+cosA)/2)cos(A/2)=«((1+cosA)/2)

tan(A/2)=1((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-A/((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=4((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=・4((1+cosA)/((1-cosA))

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

和差化积sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+...+(2n-1)=n2

某些数列前n项