材料力学课后参考答案

2-1求图中所示各杆指定截面上的轴力，并绘制轴力图.

2-3图中传动轴的转速iWOOrpE主动轮2输入功率PEOkW,从动轮1,3,4和5的输出功率

分别是Pi=18kW,Pj=12kW,P<=22kW,P^W,试绘制该轴的扭矩图

解

T.=9549x——=4297Nm

400

60

T,=9549x—=14324Nm

2400

T1=9549x-lr-=2865Nm

3400

T,=9549x21=525：Nm

3400

8

T,=9549x—=191Nm

2400

题2-3图

24求图中所示各梁指定截面上的剪力和穹矩，设q和F均为已知

a)b)

2-5试绘制卜图所示各梁的剪力图和穹矩图，并求出剪力和弯矩的最大值设Fql均为已知

a)b)

e)f)

圈？-5图

«=n

题2-7图

2另试判断图中所示各题的FQ.M图是否有错，如钉错误清指出错误原因并加以凶正.

a)b)c)

S2-8图

2-9试根据剪力图,作出结构的支承（支承在A、C截面）和我荷情况图（梁上无集中力偶

作用）

a）b）

2-10己知梁的穹拉图如卜，试分别在梁上绘出所受之外载荷（包括外载荷的类型、大小、

方向）及剪力图,FJ为己知

a）b）c）

FA2F1/3JF

A1

IkB

t|B«

c|UrTT7

小,・］借I・叫ero

心口'F11§1

FU3

m111T

'3

题2-10图

2-11作图中所示着梁的剪力土和弯地图

a)b)

题2-11图

2-12写出图中所示各曲杆的轴力、剪力和弯矩的方程式,

圆形.

第a)

FN=-Fcos。

0<夕V工

<FQ=-Fsin。

2

M=Fr(l-cos^)

FH=F8s@=-Fcos。

^<0<K

<FQ=-Fsin@=Fsin。

M=FrQ+cos⑺=Fr(l-cos^)

卜面是轴力、剪力、婷矩图

02-12a图

解b)：由于结构对称，仅考虑上半部分.

5r一1二

AB段：F=0.%=cpc,M=—cpT

H2

2

BC段：FH=cos^.FQ=qrsin01M=qr(i+sin^)

JS2-12b图

解c)如图所示约束反力,F2=,%=・

当ovesg时：FN=-4FCOS^.%=§Fsin8,M=芈FrQ—cos0)

当工484万时：FM=J^Fcos<9-Fsin(0-1).%=sin。一Fcos(6-/).

4

M=乎Fr(l-8s6)-Frsin(6-')

按卜表描图画出M图：

题2-12c图

2-13作图244所示刚架的穹矩图

解a)F^Sql,25ql.FB^225ql,

£,£

d-43占0«18牌

rz

121：对,）阳WC%

N48

rpd%W=*J'tpi£n(a耦

国qerz布

'-bKOSY'lb$Ll=*H'0=**^(q科

国B£l7翩

(0

2FI

S2.13dH

3-1求图中所示杆各个横极面上的应力，已知横极面面枳ABOOm，

解a)

3-2图中为变截面杆,如果横截面面枳AiWOOmm2,A^SOOmn?.AHOOmnV求杆内各横

截面上的应力.

5=0

10xl03

33.3MPa

300

-30xl03

=-75MPa

400

a3-zb)ffl

3-3图示杆系结构中,各杆横鼓面面枳相等，即A=30cm2,我荷FWOOkN。试求各杆横砂

面上的应力.

解（I）约束反力

F0y==15OkN

FAY==ISOkN

F贬=F=2OOkN

（2）各杆轴力

FNAB=FAY=15OkN（拉）

FNAC=七=2OOkN（拉）

fl3-3图

F»（cD=FD=15OkN（压）

::

FNAC=JF；M+F'=V2OO+15O=25OkN（压）

(3)各杆的正应力

150xlO3200xlO3公.I、

0T=-----------=50MPa（1'/'）Qy---------------h66.7MPa（拉）

QB300£300

-150x1（）3

。必=250x10（）

，D==-50MPa（压）,7.=-83.3MPaHi

300300

34钢杆CD『1径为10mm.用来拉住刚性梁AB，已知F=lOkN.求钢杆横故向上的正应力.

解

F（1+1.5）

=35.4kN

HCD-lxcos45°

3

FMrn35.4xlO

0CD-^2.=------------=112.7MPa（拉）

/T.jn

—d-—x20-

44

3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm.试求两杆内的应力.设结

构的横梁为刚体。

解取BC段分析,

ZMB=O,FCM=0,FCy=0,FBy=10kN

取AB段分析£MB=0,F]=-10kN，K=20kN

-10x1()33

FiF,20xl0〜

-127.4MPa,CT,=——-----=63.7MPa

—xio2一d；-x20"

4'4

3-611径D=50mm的圆轴，受到扭矩M*=2.15kNin的作用.试求在即离轴心10mm

处的切应力，并求轴横极面上的最大切应力.

解见例3-3

3-7阶梯回轴上奘有三只齿轮.齿轮1输入功率P1・3(kW,齿轮2和齿轮3分别瑜出功率

P：-ITkW.Pj-13cW.如轴作匀速转动，转速n=200rpm.求该轴的最大切应力.

,n1巾」。f1~1=。，n/

33

^x401^x70a

W/--12460mms--673137^mnr

161616

M-620.68xlO3小…一M,1432.35xlO3„

q=----------------=49.42MPa,r---=71?RMPa

12560'叫267313.75

，r0不在M.的截面上

3-8设园轴横截面上的扭矩为M「试求四分之•故面上内力系的合力的大小、方向和作用

点.

IS3$图

取dA=pApAO

32Mx

cosOpdOAp

_ry4Mxsin^4Mx

―J。-3^dde=

3^d

%JrsinftiA喑£sin物i缚?

_j4Mxeos6d”络

J°ind

3^d

_4母M,

3^d

„Mx3^d

,FPc=f：P，F

3-9图中所示一个矩形截面的悬臂梁,受到集中力和集中力偶的作用.试求1・1截面和固定

端截面上A、B.C.D四点的正应力，已知F=15kN.M=20cN•

解1-1械面上

180x3003…,.

-------------=4.05x10nun4

12

My20x10*x150«,

----------------=—=-7.41MPa

1，4.05xl08

/=-3.71MPa，/=4.94MPa

F二15kN

(TD=7.41MPa

固定巡截面上*15kN-

25xlOsxl5O-…一ELI

“=-------------g—=9.26MPa

4.05xlO8即3-9图

CTB=4.63MPa,ffc=-6.17MPa,<rD=-9.26MPa

3-10图中所示环铁梁.若h=l00mm.6=?5mm＞欲使最大拉应力与最大压应力之比为“3,

试确定b的尺寸.

根据分析知,梁截面上压下拉。

如图对截面建立坐标系，％位形心位置

75x25x(—+25)+bx25x—

%=----------1-----------------

75x25+bx25

4687.5+12.5b

75+b

则二手一吧等学

又&1/3b=225nun

遗3-10图

3・11某托架如图所示,m4n截面形状及尺示见图b,己知F=10kN,试求:

3A

r160x20,,20x16()36

(1)Id=2x[-+160x20x901+———......=58.9xl0mm

=^=17MPa

<.160x2()3,20x403,,6,

(2)q=2x{[———+160x20x930]+———+40X20X60-}=58xl06niui

晨=—=17.3MPa

3-12试计算在图中所示均布载荷作用下,圈豉面简支梁内最大正应力和最大切应力,并指

出它们发生于何处?

3-13试计算图中所示工字型故面梁内的奴人正应力和最大切应力.

解

lOkN2adi

M™xx/220x80x1()6……N至小

J-----------------J-=142MPa

1130x10

15xlO3

13.8x10x6

3-14由三根木条胶合而成的悬臂梁找面尺寸如图所示，F=800N,试求股合面上的切应力和

横截面上的最大切应力.

解

FQ=800N

=10x5x(―+-)=250nini3

S,=10x(5+-)x((5+-)/2]=281.2511UM3

22

10xl53

Iz=-----------=2812.511U11

FkSz281.25x800,、一

咯=25。二80。八-^-=-=------------------=8MPa

Izb2812.5x10Izb2812.5x10

3-15加制阴轴,在两端受平衡力偶的作用，其力偶矩为TW5kNm,已知轴的直径为

d=600mm.试求该横截面上的最大切应力.如果将实心网轴改为外直径D与内直带d之比

为15的空心问釉,仍然受到同样大小的力偶矩的作用，试求使空心圆周和实心【典轴的Ta

相等时，空心阴轴比实心留轴节省多少材料.

解：实心：

也=M.2.5x106

=59MPa

W"菽"x603

1616

空心:

加3

“93一(13)吗(与3

-11=—x2.375

1616

3/6图中所示为两根悬骨梁.a梁为两层等厚度的梁自由通介，b梁为两房等厚度的梁用螺

栓紧固成为一体.两梁的我荷，蹄度，极面尺寸都一样,试求两梁的城大正应力”a之比.

a)b)

题3-16图

解：a梁：每层梁所受M.E=?叫=等

b梁：只有一层Mkrax=y

.a_M.厂2Flb4bh?

.5一也2bh3Flxb

3-17仃矩形截面的钢忏其截面尺、j"为100x50mm,在杆的两端作用着对大小为

T=3kNm的力偶矩作用，G=80GPa.试求作用杆横裁面上的最大切应力.

解：矩形搬面扭转

M3xl()6

48.8MPa

-Ib^h-0.246x503x100

箕中b=50nn.h/b=100/50=2.a=0.246

3-18圆柱形密1旋弹簧,簧丝横檄面直径为d=18mm,弹费平均直径为D=125mm.

如弹簧所受拉力F=500N.试求簧纹的最大切应力.

4F8FD4x5008x500x125

=29.27MPa

万d’7td:万xl8‘^xl83

1.21-1.23

(2)c=—=694.k=1.23+(6.94-6.5)=1.215

d7-6.5

8FD8x500x125

=1.215x=33.2MPa

万cP^xl83

(3)2=125/18=6.94<10用修正公式计算

d

3-19试求图3-60中AB杆横簸面上的最大正应力•已知Fi=20kN,F?=30kN，L=200nm

l3=300nun,b=lOOnun

扭弯组合

N=^+F2=30+20=50KN

M=30x300-20x200=5000KN-nini

3

AmN5000xio50x1()3+3.5

=±-+-=±---i---'1-------=±30+5MPa=

-2^wA1003100-25

6

b31003

w=—=----A=b:=1002

66

3-20矩形级面折杆ABC.受图3-61所示的力F作用.已知a-的”加%),“1/4.—2h.

b=h/2。试求竖杆内横裁面上的最大正应力，并作危险极面上的正应力分布图。

如oTELED

+

Uma*

题3-20图

解：Fx=Fcosa=0.6F,Fy=Fsiiia=0.8F

而_*_h3

W—，一->^―A=6h=-h=—

661222

竖杆A截面上的西矩和轴力为:

M八A=-Fyxa+Fxxl=0.8Fx3h+0.6Fxl2h=4.8Fh

FHA=F,=0.8F

•0.8F,二F.4.8F11-F

°=--T=1.6―z*o=.=57.6—

ir/h:9z

FFF

匚=-57.6—-1.6—=-59.2—

~h-lrlr

FFF

。工="6.-16k=663

3-21柱截面为正方形，受压力F作用.井柱右侧仃个槽，槽深为a/4,试求：（1）、开槽

前后柱内最大压应力值及其所在位置:（2后如在柱左侧（与右侧相对）再开•个相同的机

此时柱内氏应力有多大？

解：（1）开槽前轴向压应力

NF

。=—=

Aa-

（2）右便I开槽后为偏心受压.作用于点c距形心z轴的

a

距离化=一，将力向点。筒化

8

FN=F，M=Fxy=—

2co

题3二】图

所以:

.-F4FM.yFa256

=———=X

G=---=...-a7y

A3a-I«89a

3

32Fa

-4F8F

最大压应力在槽底上各点：b-g____L_

尹9a33a7

-F2F

（3）如果在左侧也开槽,则为轴心受压：AAX

=-a:a

2

3-22图示短柱受毂荷Fi和%作用，试求固定端角点A、B、C及D的正应力，并确定其中件

轴的位置.

fl3-22图

解：在ABCD平面上的内力：

6fi

FQY=F,=5kN.Mz=F,x600=5xl0x6OO=3xlONnuu

6s

My=F,x25=25xlOx25=6.25xlON-nuuFN=F)=25KN

横越面的几何特性：

10QX1503

A=150x100=1.5x104nun2,=2.81x107nun4,

12

100-xl50

I,1.25xl07mm4

应力计算:

25xlO3

外~~1.5xlO4-1.67MPa

MxY3xl06xy

。皿=±--——--------%=±0.107MPa

I,2.81X107

MyXZ6.25xl()SxZ

%=±———±0.05MPa

1.25xlO7

CT=-1.67+0.107y+0.05z

中性轴方程为：一1.67+0.107y+0.05z=0

=0.ax=33.4nuii

z=0.ay=15.6nun

aK=-1.67+0.107x75+0.05x50=8.86MPa

CTb=-1.67+0.107x75-0.05x50=3.86MPa

CTC=-1.67-0.107x75-0.05x50=-12.2MPa

<TD=-1.67-0.107x75+0.05x50=-7.2MPa

3-23图3-64所示为•简易怂酉式吊乍架.横梁AB由两根10号槽纲组成。电葫芦可在梁上

来回移动.设电动的芦连同起吊术物的币盘共币：W=9.5kN・材料的E=200GPa.试求

在卜列两种情况"横梁的最大正应力值：（1）、只考虑由女量W所引起的弯矩步响：（2）、

考虑考矩和轴力的共同影响.

解：当电动硝芦运行到AB中点时，梁AB中药矩最大.

（1）只考虑由市:最W所引起的弯矩影响

W9.5X103X4X1036

Mg=—=-----------------------=9.5x106Nmin

W,=39.7an3

Mg9.5xlO3f

r=—―=----------------r=119.7MPa

max32x39.7x10，

(2)考虑轴力与弯矩共同影响

AB所受轴力：F-W=-X9.5X103=1.27X104N

N/电。33

A=12.74cm?

_+<7N=119.7+4.98=124.7MPa

3-24图3-65所示为一矩形截面柱.受压力Fi和F?作用，Fi=100kN.F;=45kN.F2与轴线有

•个偏心距yp=iOOnuub=180nmi.h=300nnn试求or1mx叮crm.欲使柱截面内不出

现拉应力，问截面高度h应为多少？此时的最大剪应力为多大？

山

题3-24图

解：截面上内力为：5

A-AFM=F,+F3=100+45=1.45X10N

6

Ms=F,yp=45x200=9000KN-nun=9x10N•mm

截面的几何性：

,bh2180>300:1,

A=bh=180x300=5.4xlOnuu"电=---=----------=2.7xlO6uun3

66

F„1.45x10s…

a=—=-------------=2.685MPa

A5.4xlO4

M9xlOa

=」v=-----=3.333MPa

W,2.7xlOr6

n*xcr"-(y=3.333-2.685=0.648MPa

0-

tnoc=b'+b=3.333+2.685=6.02MPa

欲使柱截面内不出现拉应力，则仃:

二="+0=°

9x10s

w.i.=cr=-------

66m30h-

1.45x10s

A=bh=180h

180h

91061.45x10s+-

分别代入（a）式得:——r---------------==0

301r180h

解之得：h=372.4nnn

此时：。二=+，=2.163+2.163=4.33MPa

3-25传动轴上装行甲、乙两个皮带轮,它们的1*（径均为D=600mli1，而后均为F=2kN.

其受力情况如图示.心轴的代役为301nm.试分析该轴的危险极面和危险点，计算危险点

的应力大小，并用图形标明该点所受应力的方向.

甲轮乙轮

胭3-25图

解：计算筒图如图a）所示,

Ma,=MDx=（6-2）x—=1.2KNm=W=2KN,=6+2=8KN

2

F0y=6+2+2=10KNF./=IkN.Fe/=13kN,F台F*4kN

轴的扭矩图、水平面内和垂直平面内的考矩图分别如图b）、c）和d）所示.

轴截面的几何特性计算：

mi?x30:、

A=-----=----------=706.5nmr

44

—.3-J3

W3

W=W=——=2.650x103mmJB=——=5.3OxlOnm?

zr32’16

危险点在B被面上的Ei和E?点上，

22

Mn_vx=JyMy”n*x+znMax.=V1.2+0.3=1.24kNin

M.M”一

n*x=467.8MPa-J-=226.4MPa

w,Wp

3-26•阴裁面耗臂梁，同时受到轴向力、横向力和扭转力矩的作用.（1）、试指出危险截

面和危险点的位置.（2）、画出危险截面上危险点的应力方向示意图.

题3-26图

解:危险点在B械血的最上和最卜面的两点上.

3-27图348为某楮密磨床砂轮轴的示意图.已知电动机功率P=3kW,转子转速

n=1400r/niiii,转子币:最・ION,砂轮1*（径D=250mm,砂粒卡最磨削

力F,:F==3:1,砂轮轴11径d=50mm.材料为抽承钢.试表示危险点的应力方向,并

求出危险点的应力大小.

II口电IIT_1M[=20.5Nm

（水平面内）T

（垂直平面内）

28.2Nm

018Nm

题3-27图

解：计算简图如图所示，

p3

电机传递的扭矩T=9.549—=9549x——=20.5Nm

N1400

根据力矩平衡：下"•—=T

2

n2T2x2O.46xlO3-

F*=—=-------------------=164N

D250

Fy=3FS=3x163.7=492N

Fy-W.*=492-275=217N

内力图如图所示.裁面的几何特性计算：

加Pa加3,

W„=——=2.453xl04mni3W,=W——=12.27xlO3uuu3

F16Vy32

危险点面在A面的Di和D3点，则合成四矩为：

M~=向g+Mg=Vl-22+0.32=35.35kNm

matvynwczxnix▼

^=-=2.88MPa必=0.84MPa

O■一

niM

w,w,

3-28圆截面短柱，承受•与轴戊平行但不与轴线用介的压载荷F作用,同截面半径为r,现

要求整个截面只承受压应力，试确定F作用的范用.

F

解：东力引起的压应力：ff=-

vm

^d3加3

而w.

32

FZc4FZc

加3OT3

wy

V

F4FZc

喂=-CM土砖=---j■土0

力rm3

解之得Zc=-

4-1图4-13所示钢杆横裁面面积为A=100mnf.如果F=20kN.钢忏的弹性模最

E=2OOGPa.求端面A的水平位移.

解：（一）绘制轴力图

F

2F2F

（二）计算,

Al=y工=—(21,+1,+2卜)=

乙EAEAI-3

20xl03

-------；-----(2x1000+1000+2x1000)

200X103X100

=5nlm(伸长)

题44图

4-2拉杆如图4-14所示.求该杆的总伸长量。杆材料的弹性模鼠E=150GPa

题&2图

「FJ15xlO3xl5O15X1O3X25O

-EA,150xl03x20x20150xlO3x20xlO

=3.75xIO-2+1.25xIO-1=1.625xlO1nuu=0.1625nini

4-3相同材料制成的AB杆和CD杆（图4-15）,其直径之比为d®/da）=1/2,并使

刚性杆BD保持水平位置,试求X的大小.

解：

（-）求反力

FAB=F」j产FCD=F1

（二）根据条件求解题4-3图

44图4-16所示一均质杆，长为1.横梭面面枳为A.杆重W,材料的弹性模瞌为E.求

杆端B及中间截面C在自市作用下的位移.

解,如图

1

=3VI

B1J

5EA(x)上EAEA*EA2|Q

=——•/ql=W*=——

2EA11EA

&I迎二金a空也

人AEA(x)上EA8EA8EA

麹44图

4-5试计算以卜备题刚性梁AB的B处位移(图4-17).其它杆件为弹性杆,刚度EA.

(a)

求反力:ZMA=O

q

4

FDC-y-l-q211=0故：％=/0

4ql:

CD'=

EA

CC，=噜则B点的位移：BB，=2CC，=嘤

4-5(b)

计WCD杆反力:ZMA=。

FK-21--F31=0故:

则：EC，="型

EAEA

根据图的关系：

CC1—=EC'CC'=—B点位移：BB'=-CC'=—

2EA2EA

4-5(c)

(-)受力分析，反力计电

ZMc=。％A=F

ZMD=O-F-21+FO1C-Vil=0因此：FO1C=V2F

(二)求变形

心⑷=旦

1EAEA

“殳毡1亚=叵2"/1=2圾总

EA2EAEA

+4=2(J2+4)

《£4"F1Fl,rrFl

J.=26、+a=--------+—=(4J2+1)—

EAEAEA

44求图尔18所示巴点.B的水平位移和竖向位移。ABH和BCH的抗拉刚度EA相同。

2F1

=.，"，"

EA

+£=0+26号

题4.6图

4-7在图4-19所示结构中,AB为水平放置的刚性朴,I、？、3杆材料相同,其弹性模最

E=210GPa.已知1=Im.A=&=lOOnmr.8=150nmr,F=20kN试求C

点的水平位移和铅直位移。

解：

根据静力学容易求得:

川=旦200x1()3x0.5x1000

=0.476mm

2EA210X103X100

ACy=0.476nini

AC,=ACytg45°=0.476nun

4-8求习题32中的单位长度扭转角.已知G=90Gpa。

疝M,2.15xl0‘x32

3.9xl0-*rad/ni(2.24°/m)

Ip9

~31GIP-90xl0x3.1416x0.05

4-9求习题3-7中的最大旭位长度扭转角和齿轮1和齿轮3的相对扭转你.已知齿轮1和

齿轮2的间距为02m.齿轮2和齿轮3的间距为03m,G=90Gpa.

P

M„=9550-

n

M.=9550x—=i432X10JNm

1200

J

M,=9550X-12-=8H8X10Nm

1200

M,=9550x—=6208xl0JNm

1200

=必=—14：>10'*3：=0755x10“rad/m(03870/m)

iGI,90x10*x314x0074

4,=9=-6努Xi。'"_?746-Jad/m(l57,Irri)

xl0r

GIF90x10*x314x004*

因此Q鼠MX=2746xlO-Jrad/m

%=4-K02+X03=9589x10-^3(1(0550)

4-10-钻探机的功率7355kw,转速n=180r/min,怙杆外径D=60mm,内径

d=50mm,钻入土层40m,如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力IS（图420）,试

求此杆两端面的相时扭转角.钻杆G=80GPa.

疝5八・、314x0064”(卫力=6587x10"m'

t=-^-0-a)=

3260

7

GIP=80x10*x6587xlO-=5270x104

J

Mx=7355x9550/180=3902xlO

prnxdx05ml

=I'一=

<P其中：ml=Mx

工GIF,GI,

砧M13902X10240

故：(P=----s--=------------r-x—=0481x10rad(848)

GI,25270x1042

4-11中径d=25nm】的钢画杆,受轴向拉力60kN作用时,在标距为200mm的长度内

伸长「0.113mm巧它受•时矩为0.2kNm的外力偶作用而扭转时，在标距200mn】长度

内相对扭转了0.732。的角度,求纲杆的E、G,V.

解：

E==二W，1"一=216x10sMPa=216GPa

“八0113x—x25J

4

I.=—=3833x10*,

’32

02xl0Jx02

GM_=_8_17_2_xl_0*_°P_a_=_8_17_2G_Pa

I,>3833X10-1xl277X10-1

E,216

7--------1-----------------1=032

202x8172

4-12全长为1.两端面f[径分别为d1和d?的阿推形杆，两端各受力偶T作用而扭转（图

4-21）,求两端面间相对扭转角.

解：

dx=y(xdj+ld,-«il)=dl+-x(dj-d1)

dx=—f-------------------------dx

7爱&剖珏d"x(dn