2021-2021学年高考数学专题复习-三角函数学案5

2019-2020学年高考数学专题复习三角函数学案5一、三角函数的图像与性质eq\a\vs4\al([考情分析])高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等．[例1]已知点落在角θ的终边上，且θ[0,2π)，则θ的值为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4)D.eq\f(7π,4)[思路点拨]由三角函数定义求出tanθ值，再由θ的范围，即可求得θ的值．[解析]tanθ＝eq\f(cos\f(3,4)π,sin\f(3,4)π)＝eq\f(－cos\f(π,4),sin\f(π,4))＝－1，又sineq\f(3π,4)>0，coseq\f(3π,4)<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝eq\f(7π,4).[答案]Deq\a\vs4\al([冲关集训])1．(辽宁高考)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．1解析：选A由sinα－cosα＝eq\r(2)sin＝eq\r(2)，α∈(0，π)，解得α＝eq\f(3π,4)，所以tanα＝taneq\f(3π,4)＝－1.2．已知α(－π，0)，tan(3π＋α)＝a(a>0，且a≠1)，则cos的值为()A.eq\f(\r(10),10)B．－eq\f(\r(10),10)C.eq\f(3\r(10),10) D．－eq\f(3\r(10),10)解析：选B由题意可知tan(3π＋α)＝eq\f(1,3)，所以tanα＝eq\f(1,3)，cos＝cos＝sinα.∵α∈(－π，0)，∴sinα＝－eq\f(\r(10),10).二、三角函数图像变换及函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式eq\a\vs4\al([考情分析])函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A、ω、φ问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．[例2](陕西高考)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2).(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈，f＝2，求α的值．[思路点拨](1)利用最值求出A的值．再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出ω＝2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角α的某一个三角函数值，再根据α的范围易求得α的值．[解](1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2)，∴最小正周期T＝π.∴ω＝2.∴函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.(2)∵f＝2sin＋1＝2，∴sin＝eq\f(1,2).∵0<α<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)<α－eq\f(π,6)<eq\f(π,3).∴α－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，∴α＝eq\f(π,3).eq\a\vs4\al([冲关集训])3．(济南一模)将函数y＝cos的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移eq\f(π,6)个单位，所得函数图像的一条对称轴是()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,6)C．x＝π D．x＝eq\f(π,2)解析：选Dy＝coseq\o(→,\s\up7(横坐标伸长到原来的2倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝coseq\o(→,\s\up7(向左平移eq\f(π,6)个单位,))y＝cos，即y＝cos.因为当x＝eq\f(π,2)时，y＝cos＝1，所以对称轴可以是x＝eq\f(π,2).4．(天津高考)将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图像向右平移eq\f(π,4)个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是()A.eq\f(1,3)B．1C.eq\f(5,3) D．2解析：选D将函数f(x)＝sinωx的图像向右平移eq\f(π,4)个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)＝sinω(x－eq\f(π,4))＝sin(ωx－eq\f(ωπ,4))．又因为函数图像过点(eq\f(3π,4)，0)，所以sin(eq\f(3ωπ,4)－eq\f(ωπ,4))＝sineq\f(ωπ,2)＝0，所以eq\f(ωπ,2)＝kπ，即ω＝2k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2.5．(衡水模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在一个周期内的图像如图所示，M，N分别是这段图像的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(\r(7)π,12)C.eq\f(\r(7)π,6) D.eq\f(\r(7)π,3)解析：选C由题中图像知eq\f(T,4)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,12)，所以T＝π，所以ω＝2.则M，N，由·＝0，得eq\f(7π2,122)＝A2，所以A＝eq\f(\r(7)π,12)，所以A·ω＝eq\f(\r(7)π,6).三、三角函数的性质eq\a\vs4\al([考情分析])三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法．[例3](北京高考)已知函数f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．[思路点拨]先化简函数解析式，再求函数的性质．[解](1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx)＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sin－1，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)函数y＝sinx的单调递增区间为．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为和.eq\a\vs4\al([类题通法])函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．eq\a\vs4\al([冲关集训])6．(石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在上是减函数的是()A．y＝sinB．y＝cosC．y＝sin2x D．y＝cos2x解析：选D因为y＝cos2x的周期T＝eq\f(2π,2)＝π，而2x[0，π]，所以y＝cos2x在上为减函数．7．(山东高考)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－eq\r(3)B．0C．－1 D．－1－eq\r(3)解析：选A当0≤x≤9时，－eq\f(π,3)≤eq\f(πx,6)－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，－eq\f(\r(3),2)≤sin≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－eq\r(3)，其和为2－eq\r(3).8．(广州调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3解析：选C函数f(x)＝sin＝－cos2x，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos2x的图像可知，函数f(x)的图像关于直线x＝eq\f(π,4)不对称，③错误；由f(x)的图像易知函数f(x)在上是增函数，故④正确．9．设函数f(x)＝sinωx＋sin，xR.(1)若ω＝eq\f(1,2)，求f(x)的最大值及相应的x的集合；(2)若x＝eq\f(π,8)是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝sinωx＋sin＝sinωx－cosωx，当ω＝eq\f(1,2)时，f(x)＝sineq\f(x,2)－coseq\f(x,2)＝eq\r(2)sin，又－1≤sin≤1，所以f(x)的最大值为eq\r(2)，此时，eq\f(x,2)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即x＝eq\f(3π,2)＋4kπ，k∈Z，相应的x的集合为{x|x＝eq\f(3π,2)＋4kπ，k∈Z}．(2)法一：因为f(x)＝eq\r(2)sin，所以，x＝eq\f(π,8)是f(x)的一个零点⇔f＝eq\r(2)sin＝0，即eq\f(ωπ,8)－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，整理，得ω＝8k＋2，k∈Z，又0<ω<10，所以0<8k＋2<10，－eq\f(1,4)<k<1，而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，f(x)＝eq\r(2)sin，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(3π,8)＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.法二：x＝eq\f(π,8)是f(x)的一个零点⇔f＝sineq\f(ωπ,8)－coseq\f(ωπ,8)＝0，即taneq\f(ωπ,8)＝1.所以eq\f(ωπ,8)＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z又0<ω<10，所以0<8k＋2<10，－eq\f(1,4)<k<1，而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，f(x)＝eq\r(2)sin.以下同法一．四、创新题型[典例]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．[思路点拨]利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解．[解](1)由图像知A＝2，eq\f(3,4)T＝eq\f(11π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(3π,4)，则T＝π，所以ω＝2，又图像过点，所以2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2).即φ＝eq\f(π,6).所以所求的函数的解析式为f(x)＝2sin.(2)在同一坐标系中画出y＝2sin和y＝m(m∈R)的图像，如图所示，由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m的取值范围为－2<m<1或1<m<2.当－2<m<1时，两根之和为eq\f(4π,3)；当1<m<2时，两根之和为eq\f(π,3).[高考预测]函数f(x)＝sinπx＋cosπx＋|sinπx－cosπx|对任意的xR都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________．解析：依题意得，当sinπx－cosπx≥0，即sinπx≥cosπx时，f(x)＝2sinπx；当sinπx－cosπx<0，即sinπx<cosπx时，f(x)＝2cosπx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y＝f(x)的图像可知，|x2－x1|的最小值是eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)[配套课时作业]1．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A.B.C. D.解析：选A记α＝∠POQ，由三角函数的定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα＝coseq\f(2,3)π＝－eq\f(1,2)，y＝sinα＝sineq\f(2,3)π＝eq\f(\r(3),2).2．(江西高考)若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选D法一：∵tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(1＋tan2θ,tanθ)＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(2tanθ,4tanθ)＝eq\f(1,2).法二：∵tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝eq\f(2,sin2θ)∴4＝eq\f(2,sin2θ)，故sin2θ＝eq\f(1,2).3．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．2 D．3解析：选B由于函数f(x)＝sinωx的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，可知eq\f(π,3)为这个函数的四分之一周期，故eq\f(2π,ω)＝eq\f(4π,3)，解得ω＝eq\f(3,2).4．(福州质检)将函数f(x)＝sin2x(x∈R)的图像向右平移eq\f(π,4)个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是()A.B.C. D.解析：选B将函数f(x)＝sin2x(x∈R)的图像向右平移eq\f(π,4)个单位后得到函数g(x)＝sin2＝－cos2x的图像，则函数g(x)的单调递增区间为，kZ，而满足条件的只有B.5．(山西考前适应性训练)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<5,0≤φ≤eq\f(π,2))的图像经过点，且f＝－1，则ω＝()A.eq\f(11,3)B．4C.eq\f(13,3) D.eq\f(14,3)解析：选D依题意得，f(0)＝sinφ＝eq\f(\r(3),2)，又0≤φ≤eq\f(π,2)，因此φ＝eq\f(π,3).由f＝sin＝－1得ω×eq\f(π,4)＋eq\f(π,3)＝2kπ－eq\f(π,2)，ω＝8k－eq\f(10,3)，k∈Z；又0<ω<5，于是有0<8k－eq\f(10,3)<5，eq\f(5,12)<k<eq\f(25,24)，kZ，因此k＝1，ω＝eq\f(14,3).6．已知函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx．设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a解析：选B法一：f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sin，因为函数f(x)在[0，eq\f(π,6)]上单调递增，所以f<f，而c＝f＝2sineq\f(2π,3)＝2sineq\f(π,3)＝f(0)<f，所以c<a<b.法二：f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sin，显然f(x)的最小正周期T＝2π，一个对称轴为x＝eq\f(π,6).因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(π,6)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,7)－\f(π,6)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))，所以f<f<f，即c<a<b.7．(江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝________.解析：r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(16＋y2，)且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.答案：－88．函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是eq\r(3)，那么ω等于________．解析：∵f(x)在上为增函数，且f(x)的最大值是eq\r(3)<2，∴f＝eq\r(3)，即sineq\f(π,4)ω＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(π,4)ω＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)9．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－1，给出下列四个命题：①函数在区间上是减函数；②直线x＝eq\f(π,8)是函数图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数y＝eq\r(2)sin2x的图像向左平移eq\f(π,4)个单位长度而得到；④若x，则f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\r(2))).其中所有正确命题的序号是________．解析：∵f(x)＝2cos2x＋sin2x－1＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)sin，令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，得：kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)(k∈Z)，即f(x)的递减区间为(k∈Z)．∴命题①正确．又∵x＝eq\f(π,8)时，2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，∴x＝eq\f(π,8)是函数图像的一条对称轴，∴命题②正确．又∵f(x)可由y＝eq\r(2)sin2x的图像向左平移eq\f(π,8)个单位长度而得到，∴命题③错误．又∵x∈时，2x＋eq\f(π,4)∈，∴eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))∈[－1，eq\r(2)]，即f(x)∈[－1，eq\r(2)]，∴命题④正确．答案：①②④10．(天津高考)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin2x·coseq\f(π,3)＋cos2x·sineq\f(π,3)＋sin2x·coseq\f(π,3)－cos2x·sineq\f(π,3)＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sin所以，f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)法一：因为f(x)在区间上是增函数，在区间[eq\f(π,8)，eq\f(π,4)]上是减函数，又f＝－1，f＝eq\r(2)，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为eq\r(2)，最小值为－1.法二：由(1)知f(x)＝eq\r(2)sin，因为－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，则－eq\f(π,2)≤2x≤eq\f(π,2)，则－eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,4).所以－eq\f(\r(2),2)≤sin≤1，即－1≤eq\r(2)sin≤eq\r(2).所以f(x)在区间上的最大值为eq\r(2)，最小值为－1.11．已知定义在区间上的函数y＝f(x)图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称，当x≥eq\f(π,4)时，f(x)＝－sinx.(1)作出y＝f(x)的图像；(2)求y＝f(x)的解析式．解：(1)y＝f(x)的图像如图所示．(2)任取x∈，则eq\f(π,2)－x∈，因函数y＝f(x)图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称，则f(x)＝f，又当x≥eq\f(π,4)时，f(x)＝－sinx，则f(x)＝f＝－sin＝－cosx，即f(x)＝12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，x∈R)的图像的一部分如右图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解：(1)由图像知A＝2，T＝8，∵T＝eq\f(2π,ω)＝8，∴ω＝eq\f(π,4).又图像经过点(－1,0)，∴2sin＝0.又∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).∴f(x)＝2sin.(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin＋2sin＝2eq\r(2)sin＝2eq\r(2)coseq\f(π,4)x，∵x∈，∴－eq\f(3π,2)≤eq\f(π,4)x≤－eq\f(π,6).∴当eq\f(π,4)x＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(2,3)时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值eq\r(6)；当eq\f(π,4)x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值为－2eq\r(2).第二节三角变换与解三角形1．“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.②cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.③tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α＝2sinαcosα.②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.③tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2．“熟记”两个定理(1)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.三角变换及求值eq\a\vs4\al([考情分析])三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．[例1](2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin，xR..(1)求f(0)的值；(2)设α，β，f＝eq\f(10,13)，f(3β＋2π)＝eq\f(6,5)，求sin(α＋β)的值．[思路点拨](1)可以直接代入求值．(2)首先要化简条件得sinα，cosβ，然后用和角公式sin(α＋β)计算．[解](1)f(0)＝2sin＝2×＝－1.(2)由f＝eq\f(10,13)，即2sinα＝eq\f(10,13)，所以sinα＝eq\f(5,13).由f(3β＋2π)＝eq\f(6,5)，得2sin＝eq\f(6,5)，即2cosβ＝eq\f(6,5)，所以cosβ＝eq\f(3,5).∵α，β，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(12,13)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(4,5).∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).eq\a\vs4\al([类题通法])三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换．特别是“1”的代换，如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等．(2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x＋2cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)等．(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次．(4)化弦(切)法．将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)．(5)引入辅助角．asinθ＋bcosθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a，b的符号确定，φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)确定．eq\a\vs4\al([冲关集训])1．(2012·深圳调研)已知直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝()A．－eq\f(7,3) B.eq\f(7,3)C.eq\f(5,7) D．1解析：选D依题意得，tanα＝2，－3tanβ＝1，即tanβ＝－eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1.2．(2012·哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，则cosβ＝()A.eq\f(2\r(5),25) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),25)或eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)或eq\f(\r(5),25)解析：选A依题意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋β)＝±eq\r(1－sin2α＋β)＝±eq\f(4,5)；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)，注意到eq\f(4,5)>eq\f(\r(5),5)>－eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).3．(2012·德州模拟)已知函数f(x)＝2cos2eq\f(x,2)－eq\r(3)sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f＝eq\f(1,3)，求eq\f(cos2α,1＋cos2α－sin2α)的值．解：(1)∵f(x)＝2cos2eq\f(x,2)－eq\r(3)sinx＝1＋cosx－eq\r(3)sinx＝1＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵f＝eq\f(1,3)，∴1＋2cosα＝eq\f(1,3)，即cosα＝－eq\f(1,3).∵α为第二象限角，∴sinα＝eq\f(2\r(2),3).∴eq\f(cos2α,1＋cos2α－sin2α)＝eq\f(cos2α－sin2α,2cos2α－2sinαcosα)＝eq\f(cosα＋sinα,2cosα)＝eq\f(－\f(1,3)＋\f(2\r(2),3),－\f(2,3))＝eq\f(1－2\r(2),2).正、余弦定理eq\a\vs4\al([考情分析])正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．[例2](2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为eq\r(3)，求b，c.[思路点拨](1)由题设以及正弦定理得到关于A的三角函数值，进而求得A的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到b与c的方程组，进而求得b与c的值．[解](1)由acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0得sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以eq\r(3)sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sin＝eq\f(1,2).又0＜A＜π，故A＝eq\f(π,3).(2)△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.eq\a\vs4\al([类题通法])解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.eq\a\vs4\al([冲关集训])4．(2012·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosCA.eq\f(7,25) B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25) D.eq\f(24,25)解析：选A由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理及8b＝5c得cosB＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b)＝eq\f(4,5)，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25).5．(2012·北京高考) 在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，∠A＝eq\f(π,3)，则∠C的大小为________．解析：由正弦定理可知sin∠B＝eq\f(bsin∠A,a)＝eq\f(\r(3)sin\f(π,3),3)＝eq\f(1,2)，所以∠B＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)(舍去)，所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)6．(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为2eq\r(2)，求b，c.解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,3)，从而cosA＝－cos(B＋C)＝eq\f(1,3).(2)由于0<A<π，cosA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\f(2\r(2),3).又S△ABC＝2eq\r(2)，即eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(2)，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bc＝6，,b2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝2.))正、余弦定理的实际应用eq\a\vs4\al([考情分析])由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．[例3]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路点拨]第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S，利用余弦定理把S表示为关于t的函数，利用二次函数求解S的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v，t的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题．[解](1)设相遇时小艇航行距离为S海里，则S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝，故当t＝eq\f(1,3)时，Smin＝10eq\r(3)，v＝30eq\r(3)，即小艇以每小时30eq\r(3)海里的速度航行，相遇时距离最小．(2)若轮船与小艇在B处相遇，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·(30t)·cos(90°－30°)，化简得v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900＝400＋675，由于0<t≤eq\f(1,2)，即eq\f(1,t)≥2，所以当eq\f(1,t)＝2时，v取得最小值10eq\r(13)，即小艇航行速度的最小值为10eq\r(13)海里/小时．(3)由(2)知v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900，令eq\f(1,t)＝μ(μ>0)，于是有400μ2－600μ＋900－v2＝0，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以解得：15eq\r(3)<v<30，所以v的取值范围为(15eq\r(3)，30)．eq\a\vs4\al([类题通法])应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．eq\a\vs4\al([冲关集训])7.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6).答案：10eq\r(6)8．(2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(eq\r(2)＝1.414，eq\r(3)＝1.732)解：(1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(82＋52－AB2,2×8×5)，①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝eq\f(72＋72－AB2,2×7×7)，②由∠C＝∠D得cosC＝cosD，③解得AB＝7，所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BDsinD，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BCsinC，因为AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABD>S△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，∠D＝∠C＝60°.故S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BCsinC＝10eq\r(3)，所以所求的最低造价为5000×10eq\r(3)＝50000eq\r(3)≈86600元．透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：①未能牢记三角公式；②不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法．三角函数的求值、求角问题包括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．[典例](2011·天津高考)已知函数f(x)＝tan，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α，若f＝2cos2α，求α的大小．[思路点拨](1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值．[解](1)由三角函数的定义得2x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.∴f(x)的定义域为{x|x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z}，f(x)的最小正周期为eq\f(π,2).(2)由f＝2cos2α，得tan＝2cos2α，即＝2(cos2α－sin2α)，整理得：eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2(sinα＋cosα)(sinα－cosα)．∵α，∴sinα＋cosα≠0.∴(sinα－cosα)2＝eq\f(1,2).∴sin2α＝eq\f(1,2).由α，得2α，∴2α＝eq\f(π,6)，α＝eq\f(π,12).[名师支招]利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用．求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围．总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变．[高考预测]已知向量＝(cosα，sinα)(α∈[－π，0])，向量m＝(2,1)，n＝(0，－eq\r(5))，且m⊥(－n)．(1)求向量；(2)若cos(β－π)＝eq\f(\r(2),10)，0<β<π，求cos(2α－β)．解：(1)∵＝(cosα，sinα)，∴－n＝(cosα，sinα＋eq\r(5))，∵m⊥(－n)，∴m·(－n)＝0，即2cosα＋(sinα＋eq\r(5))＝0，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②联立方程解得cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，sinα＝－eq\f(\r(5),5)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5))).(2)∵cos(β－π)＝eq\f(\r(2),10)，∴cosβ＝－eq\f(\r(2),10)，又∵0<β<π，∴sinβ＝eq\f(7\r(2),10)，且eq\f(π,2)<β<π.又∵sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝eq\f(4,5)，cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\f(4,5)－1＝eq\f(3,5)，∴cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))＋eq\f(4,5)×eq\f(7\r(2),10)＝eq\f(25\r(2),50)＝eq\f(\r(2),2).[配套课时作业]1．(2012·威海模拟)已知α，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，则tan2α＝()A.eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．－2 D．2解析：选B因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(2\r(5),5).所以tanα＝2.则tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).2．若α，且sin2α＋cos2α＝eq\f(1,4)，则tanα的值等于()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：选D由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝eq\f(1,4)，sin2α＝eq\f(3,4)，又因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＝eq\f(\r(3),2).即α＝eq\f(π,3)，所以tanα＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).3．设sinα＝eq\f(3,5)，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－2β)＝()A．－eq\f(24,7) B．－eq\f(7,24)C.eq\f(24,7) D.eq\f(7,24)解析：选D∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4).又∵tan(π－β)＝eq\f(1,2)，∴tanβ＝－eq\f(1,2)，∴tan2β＝eq\f(2tanβ,1－tan2β)＝－eq\f(4,3)，∴tan(α－2β)＝eq\f(tanα－tan2β,1＋tanαtan2β)＝eq\f(－\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))＝eq\f(7,24).4．(2012·重庆高考)eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：选C原式＝eq\f(sin30°＋17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝eq\f(1,2).5．已知sin＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，－eq\f(π,2)<α<0，则cos等于()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选D由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，－eq\f(π,2)<α<0，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(－4\r(3),5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5).6．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2 B．5∶6∶7C．5∶4∶3 D．6∶5∶4解析：选D由题意可得a>b>c，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1，且n∈N*)，则由余弦定理可得3(n＋1)＝20(n＋2)·eq\f(n＋12＋n2－n＋22,2nn＋1)，化简得7n2－13n－60＝0，n∈N*，解得n＝4，由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.7．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，则b＝________.解析：代入余弦定理公式得：b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，解得b＝4.答案：48．(2012·烟台模拟)若α，且cos2α＋sin＝eq\f(1,2)，则tanα＝________.解析：因为cos2α＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝eq\f(1,2)，即cos2α＋cos2α＝eq\f(1,2)，所以cos2α＋2cos2α－1＝eq\f(1,2).整理得3cos2α＝eq\f(3,2)，所以cosα＝eq\f(\r(2),2)(因α为锐角，所以取正)．又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＝eq\f(π,4)，tanα＝1.答案：19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝(cosC,2a－c)，b＝(b，－cosB)且a⊥b，则B解析：由a⊥b，得a·b＝bcosC－(2a－c)cosBsinBcosC－(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC＋cosBsinC－2sinAcosB＝0，即sin(B＋C)＝sinA＝2sinAcosB，故cosB＝eq\f(1,2)，因此B＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)10．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝，且m·n＝eq\f(7,2).(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，试判断△ABC的形状．解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(A,2)，cos2A))，∴m·n＝4cos2eq\f(A,2)－cos2A＝4·eq\f(1＋cosA,2)－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3.又∵m·n＝eq\f(7,2)，∴－2cos2A＋2cosA＋3＝eq\f(7,2)，解得cosA＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3)－c，代入①式整理得c2－2eq\r(3)c＋3＝0，解得c＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)，于是a＝b＝c＝eq\r(3)，即△ABC为等边三角形．11．已知复数z1＝sin2x＋λi，z2＝m＋(m－eq\r(3)cos2x)i(λ，m，x∈R)，且z1＝z2.(1)若λ＝0且0<x<π，求x的值；(2)设λ＝f(x)，已知当x＝α时，λ＝eq\f(1,2)，试求cos的值．解：(1)∵z1＝z2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x＝m，,λ＝m－\r(3)cos2x.))∴λ＝sin2x－eq\r(3)cos2x.若λ＝0，则sin2x－eq\r(3)cos2x＝0，得tan2x＝eq\r(3).∵0<x<π，∴0<2x<2π.∴2x＝eq\f(π,3)或2x＝eq\f(4π,3).∴x＝eq\f(π,6)或eq\f(2π,3).(2)∵λ＝f(x)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x－\f(\r(3),2)cos2x))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2xcos\f(π,3)－cos2xsin\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，又∵当x＝α时，λ＝eq\f(1,2)，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＝eq\f(1,4).∴cos(4α－eq\f(2π,3))＝1－2sin2(2α－eq\f(π,3))＝1－2×eq\f(1,16)＝eq\f(7,8).12.在南沙某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解：由题意，得轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟．又船始终匀速前进，所以BC＝4EB.设EB＝x，则BC＝4x.由已知，得∠BAE＝30°，∠EAC＝150°.在△AEC中，由正弦定理，得eq\f(EC,sin∠EAC)＝eq\f(AE,sinC)，所以sinC＝eq\f(AE·sin∠EAC,EC)＝eq\f(5sin150°,5x)＝eq\f(1,2x).在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin120°)＝eq\f(AB,sinC)，∴AB＝eq\f(BC·sinC,sin120°)＝eq\f(4x·\f(1,2x),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).在△ABE中，由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos30°＝eq\f(16,3)＋25－2×eq\f(4\r(3),3)×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(31,3)，故BE＝eq\r(\f(31,3)).所以船速v＝eq\f(BE,t)＝eq\f(\r(\f(31,3)),\f(1,3))＝eq\r(93)(km/h)．所以该船的速度为eq\r(93)km/h.第三节平面向量1．掌握两个定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．2．熟记平面向量的两个充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.3．活用平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).平面向量的概念及线性运算eq\a\vs4\al([考情分析])平面向量的概念及线性运算在近几年高考中时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，考查线性运算的运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点．[例1](2012·海淀模拟)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝()A.eq\f(1,2)－eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)－eq\f(2,3)[思路点拨]利用三角形法则和共线向量定理求解．[解析]在△CEF中，有＝＋，因为点E为DC的中点，所以＝eq\f(1,2).因为点F为BC的一个三等分点，所以＝eq\f(2,3).所以＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(2,3).[答案]Deq\a\vs4\al([类题通法])平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式．对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．eq\a\vs4\al([冲关集训])1．(2012·武汉适应性训练)已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()A．a－b＋c－d＝0 B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0解析：选A依题意得，＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.2．(2012·四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|解析：选C对于A，当a＝－b时，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；对于B，注意当a∥b时，eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)可能不相等；对于C，当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).综上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是a＝2b.平面向量的数量积eq\a\vs4\al([考情分析])向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为选择题或填空题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．[例2](2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．[思路点拨]建立平面直角坐标系，将向量数量积运算转化为向量的坐标运算求解．[解析]如图所示，以AB、AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)，则＝(t，－1)，＝(0，－1)．故·＝1.又＝(1,0)，∴·＝(t，－1)·(1,0)＝t.又0≤t≤1，∴·的最大值为1.[答案]11eq\a\vs4\al([类题通法])(1)准确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)及向量模的公式|a|＝eq\r(a·a).(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0；②|a·b|≤|a||b|；③a(b·c)与(a·b)c不一定相等．eq\a\vs4\al([冲关集训])3．(2012·河南三市调研)已知单位向量α，β，满足(α＋2β)·(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,5)解析：选B记α与β的夹角为θ，则依题意得2α2－2β2＋3α·β＝2×12－2×12＋3×1×1×cosθ＝1，cosθ＝eq\f(1,3)，即α与β的夹角的余弦值是eq\f(1,3).4．(2012·重庆高考)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c,b∥c，则|a＋b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D．10解析：选B由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,－4－2y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝eq\r(10).5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0，∴α·β＝eq\f(1,2)，∴|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，∴|2α＋β|＝eq\r(10).答案：eq\r(10)平面向量与三角函数的综合eq\a\vs4\al([考情分析])高考对本部分的考查，主要是选择题和填空题，即利用平面向量的运算去解决向量的模、向量的坐标或平面几何中的向量的线性表示等，而解答题多为向量与解析几何、三角函数、平面几何中相结合的应用问题．题目多为中低档题，一般不会出现高难度的问题．[例3]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝eq\f(π,4)，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为eq\f(π,3)，且a⊥c，求tan2α的值．[思路点拨](1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果．[解](1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋eq\r(2)(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx(eq\f(π,4)<x<π)，则2sinxcosx＝t2－1，且－1<t<eq\r(2).则y＝t2＋eq\r(2)t－1＝－eq\f(3,2)，－1<t<eq\r(2)，∴t＝－eq\f(\r(2),2)时，ymin＝－eq\f(3,2)，此时sinx＋cosx＝－eq\f(\r(2),2)，即eq\r(2)sin＝－eq\f(\r(2),2)，∵eq\f(π,4)<x<π，∴eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,4)<eq\f(5,4)π，∴x＋eq\f(π,4)＝eq\f(7,6)π，∴x＝eq\f(11π,12).∴函数f(x)的最小值为－eq\f(3,2)，相应x的值为eq\f(11π,12).(2)∵a与b的夹角为eq\f(π,3)，∴coseq\f(π,3)＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝eq\f(π,3).∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin＋2sin2α＝0.∴eq\f(5,2)sin2α＋eq\f(\r(3),2)cos2α＝0，∴tan2α＝－eq\f(\r(3),5).eq\a\vs4\al([类题通法])在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、