选修4-4-第一讲-坐标系VIP

平面直角坐标系中的伸缩变换高中数学选修4-4坐标系与参数方程课前思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?问题分析：坐标压缩变换：归纳总结：问题分析：坐标伸长变换归纳总结：问题分析：坐标伸缩变换归纳总结：归纳总结：例题分析：例题分析：例题分析：由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？结论分析：在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形巩固练习：巩固练习：极坐标系的概念某同学在教学楼处，（1）向东偏北60°方向走120m到达什么位置（2）如果有人打听实验楼和办公楼的位置，他应如何描述？60°60m45°C图书馆D实验楼50m120mB体育馆A教学楼办公楼E？在生活中，这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。右图为某校园的平面示意图在平面内取一个定点O，叫极点。自极点O引一条射线Ox，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆时针方向）XO极坐标系的建立XOM

极点o与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为

；一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0，可取任意实数。以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为

.有序数对（，）叫做M的极坐标，记作M（

，）.M是平面内一点，|OM|叫做点M的极径，记为

；角xOM叫做点M的极角，记为

.点的极坐标系表示PPMNMN例1说出下列各点的坐标，并找出点解：以A为极点，AB所在的射线为极轴建立极坐标系。点A（0，0）B（60，0），C（120，）E60°60m45°C图书馆D实验楼50m120mB体育馆A教学楼办公楼E（O）x例2建立适当的坐标系，并写出各点的极坐标60°60m45°C图书馆D实验楼50m120mB体育馆A教学楼办公楼E（O）xC点坐标唯一吗？…思考：XOM

如图：OM的长度为120，它们是终边相同的角。极径相同，不同的是极角这些极坐标之间有何异同？这些极角有何关系？极坐标系下点与它的极坐标的对应情况OXPM(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ)一般地,若（，）是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标.特别的：极点的坐标为(0,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.给定平面上一点M，有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。极坐标系下点与它的极坐标的对应情况极坐标和直角坐标的互化互化前提1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.互化关系式反馈练习例2.将点M的直角坐标化成极坐标.例3已知两点（2，），（3，）求两点间的距离.例3已知两点（2，），（3，）求两点间的距离.oxAB解：∠AOB=用余弦定理求AB的长即可.极坐标下两点间距离公式（ρ1，θ1），（ρ2，θ2）简单的极坐标方程（圆与直线）一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤（1）建立极坐标系，设动点坐标；（2）找出曲线上的点满足的几何条件；（3）将几何条件用极坐标表示；（4）化简小结.

下结论建立极坐标系设点（

,）找

,的关系化简F(,)=0圆的极坐标方程思考：一般地，在极坐标系中，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标方程是什么？MθρxO总结：极点为圆心，半径为r的圆

ρ＝r

思考：在极坐标系中，若半径为a的圆的圆心坐标为C(a，0)(a＞0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(ρ，θ)满足的条件吗？xCMθρxOCA总结：圆心为C(a，0)半径为a的圆ρ＝2acosθ思考：点O，A的极坐标可以分别是什么？它们都满足等式ρ＝2acosθ吗？点

，A(2a，0)都满足等式.总结：一般地，在极坐标系中，对于平面曲线C和方程f(ρ，θ)＝0，在下列条件下，方程f(ρ，θ)＝0是曲线C的极坐标方程（1）曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0；（2）坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上.思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a，π)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标为C(a，)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？

ρ＝－2acosθ

ρ＝2asinθMθρxOCAMθρxOCAMθρxOC思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a，

０)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为

C(

0,

０)，半径为r的圆的极坐标方程是什么？MθρxOC

2+

0

2-2

0cos(-

０)=

r2还可以转化为直角坐标去解决2.在极坐标系中，圆心为(4，0)，半径为4的圆4.以极坐标系中的点(1,)为圆心，1为半径的圆1.在极坐标系中，圆心为极点，半径为2的圆3.在极坐标系中，圆心为(3，)，半径为3的圆5.以极坐标系中的点(,)为圆心，1为半径的圆练习1：写出下列条件所满足的圆的极坐标方程ρ＝4

练习：说出下列极坐标方程所对应的圆思考：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点作射线OM的反向延长线ON，则射线ON的极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？M45°xON射线OM：；射线ON：；和直线MN：；思考：M45°xON或可以考虑允许极径可以取全体实数。如果允许极径可以取全体实数，MN的极坐标方程是什么？探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是什么？Mρθρcosθ＝a

xOAxOAMρθ-ρcosθ＝a.过点A(a，π)(a≠0)在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：-思考：设点P的极坐标为

，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。

解：如图，设点为直线上异于P的点连接OM，﹚oMxp在中有

即显然P点也满足上述方程。思考

：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。oxMP﹚解：如图，设点点P外的任意一点，连接OM为直线上除则由点P的极坐标知设直线L