2025版新教材高中数学期中学业水平检测含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE9期中学业水平检测一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024天津六校高一上期末联考)设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x∈N|x≤2},则A∩B=()A.{x|1<x≤2}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}2.(2024江苏苏州高一上期末)有下面四个命题:p1:∃x∈R,x2+1<0;p2:∀x∈R,x+|x|>0;p3:∀x∈Z,|x|∈N;p4:∃x∈R,x2-2x+3=0.其中是真命题的为 ()A.p1B.p2C.p3D.p43.(2024天津东丽高一上期末)下列幂函数在区间(0,+∞)内单调递减的是()A.y=xB.y=x2C.y=x3D.y=x-14.(2024北京一零一中学高一上期末)已知偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,若a=f(1),b=f(2),c=f-12,则a,b,c的大小关系为 (A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b5.(2024河北唐山高一上期末)“不等式mx2+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是 ()A.m>12B.0<mC.m>14D.m6.(2024安徽淮南高一上期末)建立一个容积是8m3,深2m的无盖长方体水池,假如池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,则这个水池的最低总造价为 ()A.1760元B.1860元C.1960元D.1260元7.(2024福建南平高一上期末)已知x>0,y>0,且2x+y+6-xy=0,则xy的最小值为 ()A.16B.18C.20D.228.(2024北京东城高一上期末)已知函数f(x)=x+ax,给出下列结论①∀a∈R,f(x)是奇函数;②∃a∈R,f(x)不是奇函数;③∀a∈R,方程f(x)=-x有实根;④∃a∈R,方程f(x)=-x有实根.其中全部正确结论的序号是 ()A.①③B.①④C.①②④D.②③④二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2024江苏扬州高一上期末)下列说法中,正确的是 ()A.若a<b<0,则ab>b2B.若a>b>0,则ba>C.若∀x∈(0,+∞),x+1x≥m恒成立,则实数m的最大值为D.若a>0,b>0,a+b=1,则1a+1b10.(2024山东济宁高一上期末)若方程x2+2x+λ=0在区间(-1,0)上有实数根,则实数λ的值可以是 ()A.-3B.18C.1411.(2024江苏南京高一上期末)我们知道,假如集合A⊆S,那么集合A相对于S的补集为∁SA={x|x∈S,且x∉A}.类似地,对于非空集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x∉B}叫做集合A与B的差集,记作A-B.据此,下列说法中正确的是 ()A.若A⊆B,则A-B=⌀B.若B⊆A,则A-B=AC.若A∩B=⌀,则A-B=AD.若A∩B=C,则A-B=A-C12.(2024山东泰安高一上期末)已知函数f(x)的定义域为R,且fπ2=0,f(0)≠0.若∀x,y∈R,f(x)+f(y)=2fx+y2fx-A.f(0)=1B.f(-x)=-f(x)C.f(2π+x)=f(x)D.f(2x)=2[f(x)]2-1三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024天津和平高一上期末)命题“∃x∈R,x2-x+1=0”的否定是.

14.(2024黑龙江哈尔滨九中高一上期末)已知a>0,b>0,且a+4b=1,则1a+1b的最小值为15.(2024广东广州越秀高一上期末)为了爱护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方式如下表.若某户居民本月交纳的水费为66元,则此户居民本月的用水量为.

每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m316.(2024福建厦门高一上期末)某班有50名学生,其中参与关爱老人活动的学生有40名,参与干净家园活动的学生有32名,则同时参与两项活动的学生最多有名,最少有名.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024山东菏泽高一上期末)已知全集为R,集合A={x|(x-6)·(x+3)>0},B={x|a<x≤a+2}.(1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围;(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.18.(12分)(2024湖北第五届高考测评高一上期末)(1)已知关于x的不等式ax2+bx-1≥0的解集为13,12,求不等式x2-bx-(2)已知a,b均为正实数,且a+b=2,求证:1a+1b+1ab19.(12分)(2024湖南永州高一上期末)已知p:实数x满意x2-3ax+2a2<0,a>0.(1)若a=1,求实数x的取值范围;(2)已知q:实数x满意2<x≤3.是否存在实数a,使得p是q的条件?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

从①充分不必要,②必要不充分这两个条件中任选一个补充在问题中,并加以解答.注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(12分)(2024吉林高一上期末)已知函数f(x)是定义在R上的减函数,对于随意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(0),并证明f(x)为R上的奇函数;(2)若f(-1)=2,解关于x的不等式f(x)-f(3-x)<4.21.(12分)(2024四川成都蓉城名校联盟高一上期末)已知函数f(x)=x(1)推断函数f(x)的奇偶性并说明理由;(2)求不等式f(x)≤3的解集.22.(12分)(2024广东广雅中学高一上期末)受新冠肺炎疫情影响,呼吸机成为紧缺商品,某呼吸机生产企业为了提高产品的产量,投入90万元安装了一台新设备,并马上进行生产,预料运用该设备前n(n∈N+)年的材料费、修理费、人工工资等共52n2+5n万元,每年的销售收入为55万元.设运用该设备前n年的总盈利额为f(1)写出f(n)关于n的函数关系式,并估计企业从第几年起先盈利;(2)运用若干年后,对该设备处理的方案有两种:方案一:当总盈利额达到最大时,以10万元的价格处理该设备,方案二:当年平均盈利额达到最大时,以50万元的价格处理该设备.问选择哪种方案更合适?并说明理由.

答案全解全析1.B∵集合A={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4},B={x∈N|x≤2}={0,1,2},∴A∩B={1,2}.故选B.2.C对于p1,不存在x∈R,使得x2+1<0,故该命题为假命题;对于p2,当x≤0时,x+|x|=0,故该命题为假命题;对于p3,∀x∈Z,|x|∈N,该命题为真命题;对于p4,由于x2-2x+3=0中Δ=4-12=-8<0,因此方程不存在实根,故该命题为假命题.故选C.3.D函数y=x在区间(0,+∞)内单调递增,故解除A;函数y=x2在区间(0,+∞)内单调递增,故解除B;函数y=x3在区间(0,+∞)内单调递增,故解除C;函数y=x-1=1x在区间(0,+∞)内单调递减,故D满意题意.故选D4.C因为偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为a=f(1),b=f(2),c=f-12=f12,且2>1>12>0,所以f(2)>f(1)>f12=f-12,即b5.C若不等式mx2+x+m>0在R上恒成立,则m>0且1-4m2<0,解得m>12,则结合选项知“不等式mx2+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>14,故选6.A∵长方体水池的容积是8m3,深2m,∴底面积为4m2.设长为x(x>0)m,总造价为y元,则宽为4xm,∴侧面面积为4x+∴y=4×120+4x+16x×80=320x+当且仅当x=4x,即x=2时取等号.故这个水池的最低总造价为1760元.故选A7.B∵x>0,y>0,且2x+y+6-xy=0,∴xy-6=2x+y≥22xy(当且仅当2x=y时取等号),令xy=t(t>0),则不等式化为t2-22t-6≥0,解得t≥32(t≤-2舍去),∴xy≥32,解得xy≥18,∴xy的最小值为18.故选B8.B易知函数f(x)=x+ax的定义域关于原点对称且f(-x)=-x-ax=-f(x),所以∀a∈R,f(x)是奇函数,故①正确,②错误方程f(x)=-x,即x+ax=-x,即2x2+a当a≥0时,方程无实根,当a<0时,x=±-a所以∃a∈R,方程f(x)=-x有实根,故③错误,④正确.故正确结论的序号是①④.故选B.9.ACD若a<b<0,则ab-b2=b(a-b)>0,故ab>b2,所以A正确;若a>b>0,则ba-ab=b2-a2ab<0,所以ba<ab,所以B不正确;因为x>0时,x+1x≥2x·1x=2(当且仅当x=1时取等号),所以若∀x∈(0,+∞),x+1x≥m恒成立,则实数m的最大值为2,所以C正确;若a>0,b>0,a+b=1,则1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab≥2+2b10.BC由题意得λ=-x2-2x在(-1,0)上有解.当x∈(-1,0)时,-x2-2x=-(x+1)2+1∈(0,1),∴λ∈(0,1).故选BC.11.ACD对于选项A,若A⊆B,则A中的元素均在B中,则A-B=⌀,故选项A正确;对于选项B,若B⊆A,则B中的元素均在A中,则A-B=∁AB≠A,故选项B错误;对于选项C,若A∩B=⌀,则A、B无公共元素,则A-B=A,故选项C正确;对于选项D,若A∩B=C,则A-B=∁AC=A-C,故选项D正确.故选ACD.12.ACD在选项A中,令x=y=0,得2f(0)=2[f(0)]2,即f(0)[f(0)-1]=0,因为f(0)≠0,所以f(0)=1,故正确;在选项B中,令y=-x,得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x),即f(-x)=f(x),故错误;在选项C中,令y=x+π,得f(x)+f(x+π)=2f2x+π2f-π2=2f2x+π2fπ2=0,即f(x+π)=-f(x),所以f(x+2π)=-f(x+π)=f(x),故正确;在选项D中,令x=0,y=2x,得f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x)=2[f(x)]2,所以f(2x)=2[f(13.答案∀x∈R,x2-x+1≠014.答案9解析因为a>0,b>0,且a+4b=1,所以1a+1b=a+4ba+a+4bb当且仅当4ba=ab且a+4b=1,即a=13,b=16时取等号,则115.答案17m3解析设用水量为xm3,水费为y元,当0≤x≤12时,y=3x,当12<x≤18时,y=12×3+(x-12)×6=6x-36,当x>18时,y=12×3+6×6+(x-18)×9=9x-90,∴y=3∵36<66<72,∴令6x-36=66,解得x=17,即此户居民本月的用水量为17m3.16.答案32;22解析设参与两项活动的学生人数为x,则0≤x≤40,0≤x≤32∴同时参与两项活动的学生最多有32名,最少有22名.17.解析易知A={x|x<-3或x>6}. (2分)(1)∵A∩B=⌀,B={x|a<x≤a+2},∴a≥-3,a+2≤6,解得-3≤a(5分)(2)∵A∩B=B,∴B⊆A, (7分)∴a+2<-3或a≥6,解得a<-5或a≥6,∴实数a的取值范围为{a|a<-5或a≥6}. (10分)18.解析(1)∵不等式ax2+bx-1≥0的解集为13∴a<0,且13,12为方程ax2+bx-1=0的两个根, (2∴13+12=-ba,∴x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,∴2<x<3,∴所求不等式的解集为(2,3). (6分)(2)证明:∵a,b均为正实数,∴2=a+b≥2ab,当且仅当a=b=1时,等号成立,∴0<ab≤1,∴0<ab≤1,当且仅当a=b=1时,等号成立, (9分)∴1a+1b+1ab=b+a+1ab=3ab≥故1a+1b+1ab≥3.19.解析(1)因为a=1,所以不等式可化为x2-3x+2<0, (3分)解得1<x<2,所以实数x的取值范围为(1,2). (6分)(2)由x2-3ax+2a2<0,a>0,可得a<x<2a. (8分)若选择①.不存在,理由如下:因为p是q的充分不必要条件,所以a≥2且2a≤3,无解, (10分)所以实数a不存在. (12分)若选择②.存在,理由如下:因为p是q的必要不充分条件,所以a≤2且2a>3, (10分)解得32<a≤2,所以实数a的取值范围为32,220.解析(1)令x1=x2=0,得f(0)=2f(0),解得f(0)=0. (2分)证明:令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0, (4分)∴f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,∴f(x)为R上的奇函数. (6分)(2)令x1=x2=-1,则f(-2)=2f(-1)=2×2=4, (8分)∴不等式f(x)-f(3-x)<4可化为f(x)+f(x-3)=f