2024年典韦杯暑期联考高三7月数学试题和答案

绝密*启用前2024年“典韦杯”暑期联考数学试卷时间：120分钟满分：150分7．设椭圆的右焦点为F,动点P在椭圆C上,点A是直线4x−5y−12=0上的动点,则8．定义,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],x−[x]为x的小数部分,记作{x},这一规定最早为B．函数f(x)=2x{x}−x−1所有零点之和为0D．9．抛出一枚质地均匀的硬币n次,得到正反两面的概率相同。事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上,事 D．若∠PAB=α,∠PAD=β,二面角B−AP−D的平面角为φ,则tanα.tanβ.cosφ为定值A．当a≥0时,f(x)单调递增B．当a<0时,f(x)单调递减OD∥平面PAC（1）求直线BP与平面ABC所成角17．王者荣耀是腾讯天美工作室推出的英雄竞技手游,不是一个人的王对战,领略英雄竞技的酣畅淋漓!在游戏中,打野玩家可以选择红开或蓝开,不依赖蓝条的英雄可以优先选择红已知人机所选择的英雄红开的概率为且人机只能红开或蓝开,若敌方打野选择蓝开,典韦入侵野区成功的（1）坤坤连续进行了三场对局,且每场对局敌我阵容完全相同,求坤坤至少一局,最多两局成功入侵敌方野区子的大招指可以将典韦控制在一定范围内无法移动,为了避免线l交双曲线左支于点Q,l与y轴相交于点B,点D为y轴上一动点,O为原点.（i）求sin∠BDQ的值若求直线PB的斜率.合B=,现从集合B中的3j个数中抽出3k个数(k∈N*)且0<k≤j,使这3k个数平均分为k组,若存在一组数对(x,y,z)（三者不相等）且满足z恰好能被m(n)整除,x,y对模n(m)同余,则A,B为“灵魂莲华集合”(x,y,z)为“灵魂莲华数对”.,判断有多少组数对(x,y,z)为灵魂莲华数对A={p,q}（p,q>0且p,q∈Z为任何集合,最多有一对满足条件的(a,b,c)为灵魂莲华数对2024年“典韦杯”暑期联考答案详解2224(3,(3,(3,(3,解析：易知左焦点F′(−1,0),右焦点F(1,0)PF+PF′最小时,原式最小而PA+PF最小时,F′A垂直于直线 42+524141f(x)的零点即为2{x}与1+的交点横坐标所以f(x)的值域为{x2≤x<11,x∈Z},C正确P(A)==,P(B)==,P(AB)==P(A)P(B),故B正确 所以表面积为4τr2=,因此A正确 因此∠PAB=∠PAM=α,∠PAN=β,∠MAN即为二面角的平面角在三角形MAN中,MA2+AN2=MN2,在三角形MPN中,MN2=PM2+PN2−2PM.PN.cosφ所以MA2+AN2=PM2+PN2−2PM.PN.cosφ因此PM.PN.cosφ=tanαtanβcosφ=−1,因此D正确APAP解析：A：a>0时ex与2x都单调递增,因此f(x)单调递增,A正确。(a,(a,xeex)会随着a的增大而越来越大,因此只需证明axxxx23633636|,进而x2距离y轴更近,所以对称中心的坐标为(−,0)g'(x)<0,g(x)单调递减,g(0)=2,因此存在极值点x0,使使ex0+1=x0ex0ex0所以又因为f(x0)≥f(x),说明x0=a3a24a2+a32151）sinA=sinAcosB+sinBcosA−2sinAcosB三倍角公式（2）延长BO∩AC于点E（图中未画出）易证PA=PC,则有ABP全等BPC,从而易证ABO全等CBO从而BE为ABC角平分线,从而BE垂直AC同理连接PE,PE也垂直AC,因此二面角为∠PEB（2）设二者经过t秒后共速,在这段时间内只要典韦没被老夫子追上,那么典韦在这之后仍然会加速,而老夫229这段时间内典韦的位移为t+2at,2299（2i因为A,B,C,D四点共圆,所以∠QDB=∠Q所以tan∠BAO==2k−,又因为∠BAQ=∠BAO−∠QAO,因此所以sin∠BDQ=连接AD,BC,由于ABDC四点共圆,可知角A等于角CBEECDEEA下面回到本题,条件说明了PAD三点共线QDQ因此lyyxxQ,令x=0QDQ3因此直线PB的斜率为3191）A,B是灵魂莲华集合,证明：从B中取(2,4,5)（2不妨设这组数为(x,y,z),且x≡y(modn),n|z第一种情况：若x≡y(mod5),2|z,则z只能是偶数由于样本数量并不大,不妨直接枚举寻找规律,单独分析(x,y)和z第二种情况：x≡y