新高考数学二轮复习专题培优练习专题23 解析几何解答题分类练（解析版）

专题23解析几何解答题分类练一、圆锥曲线方程与轨迹方程的确定1.（2024届广东省江门市部分学校高三上学期9月联考）在直角坐标系xOy中，动点P到直线SKIPIF1<0的距离是它到点SKIPIF1<0的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)直线SKIPIF1<0与曲线C交于A，B两点，求SKIPIF1<0面积的最大值．【解析】（1）设SKIPIF1<0，因为点P到直线SKIPIF1<0的距离是它到点SKIPIF1<0的距离的2倍，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为3．故SKIPIF1<0面积的最大值为3．

2．（2023届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考）已知椭圆SKIPIF1<0的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在SKIPIF1<0轴上，离心率SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0两点，且直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，判断直线SKIPIF1<0的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）设椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，故椭圆的标准方程又为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又椭圆过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆的标准方程为SKIPIF1<0；（2）由题意可知直线SKIPIF1<0的斜率存在且不过点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，需满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为定值，其定值为2.3.（2024届安徽省皖东智校协作联盟高三上学期10月联考）平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为动点，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，垂足SKIPIF1<0位于第一象限，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，垂足SKIPIF1<0位于第四象限，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，记动点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0的角平分线为直线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）由题意设SKIPIF1<0，由点到直线距离公式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵垂足SKIPIF1<0位于第一象限，垂足SKIPIF1<0位于第四象限，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.（2）解：由对称性，不妨设SKIPIF1<0在第一象限，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，则有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，∴SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，解得：SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由点到直线距离公式得：SKIPIF1<0.由直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0点代入，解得：SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将其与SKIPIF1<0联立得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由均值不等式，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，∵SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.∴SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.二、长度与周长问题4.（2024届云南省三校高三联考）已知点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离和它到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离的比是常数SKIPIF1<0．(1)求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，切点SKIPIF1<0在第四象限，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求证：SKIPIF1<0的周长为定值．【解析】（1）

设SKIPIF1<0，由条件可知：SKIPIF1<0，等号的两边平方，整理后得：SKIPIF1<0；（2）

由（1）的结论知：曲线C是方程为SKIPIF1<0的椭圆，设SKIPIF1<0，依题意有：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线l的方程为：SKIPIF1<0，联立方程：SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，

设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由条件可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0，即定值为10；综上，曲线C的方向为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0.5．（2023届福建省厦门第一中学高三四模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右顶点和上顶点，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆的方程；(2)直线SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与椭圆相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（i）求SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积之比；（ⅱ）证明：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0，的两个顶点，且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴椭圆的方程为SKIPIF1<0；（2）

设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（i）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积之比为1；（ii）证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上，SKIPIF1<0.三、面积问题6.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0.点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上不同于顶点的任意一点，射线SKIPIF1<0分别与椭圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为8.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由椭圆的离心率SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．（2）证明：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可设直线PA的方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

同理可得，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是定值．7．（2023届河北省唐山市迁西县第一中学高三二模）已知椭圆SKIPIF1<0，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，SKIPIF1<0是E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆E交于A，B两点，D为线段SKIPIF1<0的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得SKIPIF1<0，求三角形SKIPIF1<0的面积．【解析】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在E上，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆E的方程为SKIPIF1<0．（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为三角形SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0在椭圆E上，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．

8．（2023届新疆伊犁州伊宁县第三中学高三上学期诊断）已知椭圆C：SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为SKIPIF1<0.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.【解析】（1）由题意可设：直线lSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得：直线l的斜率SKIPIF1<0，直线OM的斜率SKIPIF1<0，因为A，B两点在椭圆C上，则SKIPIF1<0，两式相减得整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为点SKIPIF1<0在椭圆C上，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0.（2）因为四边形OAPB为平行四边形，则M为SKIPIF1<0的中点，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得直线l的斜率SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0到直线l的距离SKIPIF1<0，由（1）可知：椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以四边形OAPB的面积SKIPIF1<0.

四、斜率问题9.（2024届陕西省商洛市部分学校高三上学期10月测试）已知椭圆C：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且C的右焦点为SKIPIF1<0．(1)求C的离心率；(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线SKIPIF1<0上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0得C的半焦距为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又C过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故C的离心率为SKIPIF1<0．（2）

由（1）可知C的方程为SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题意可得直线MN的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去y可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．10．（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）如图，已知点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且不与SKIPIF1<0轴重合的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.

(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)证明：直线SKIPIF1<0过定点.【解析】（1）因为点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0在双曲线上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由题可知，直线SKIPIF1<0的斜率不等于零，故可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，与渐近线SKIPIF1<0平行，此时直线SKIPIF1<0与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）（i）当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于对称性，SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0；（ii）当SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴时，以下证明直线SKIPIF1<0仍过定点设为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以联立SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,同理，将上述过程中SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，即此时直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，综上直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.11．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的两点，SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的一点，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率满足SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若斜率存在且不经过原点的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点SKIPIF1<0异于椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点），当SKIPIF1<0的面积最大时，求SKIPIF1<0的值.【解析】（1）设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）

设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程整理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又原点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积最大.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.五、定点问题12.（2024届四川省达州外国语学校高三9月月考）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的两动点，且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率均存在.并分别记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程(2)证明直线SKIPIF1<0过定点.【解析】（1）∵椭圆过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，（2）如图所示：由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称．在SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（1）有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，为方便，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由此可知，当SKIPIF1<0变化时，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．13．（2024届广西玉林市高三联考）已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一个交点分别为点SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0过定点，并求该定点坐标.【解析】（1）因为椭圆SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由定义知点SKIPIF1<0到椭圆的两焦点的距离之和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由椭圆的方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0斜率存在，设SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，与椭圆方程SKIPIF1<0联立得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0交点的纵坐标为4得，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0又因点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0化简可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，与题意不符.故SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0

14．（2024届贵州省高三适应性联考）已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0作互相垂直的两条弦（斜率均存在）SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.两条弦的中点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么直线SKIPIF1<0是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为SKIPIF1<0，依题意渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知右焦点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由联立直线与双曲线SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.六、定值问题15.（2023届陕西省丹凤中学高三模拟演练）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，长轴长为短轴长的2倍，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动，且SKIPIF1<0面积的最大值为8．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试问SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①．当点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的上顶点或下顶点时，SKIPIF1<0的面积取得最大值，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②．联立①②，得SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）

SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为定值．由（1）可得SKIPIF1<0，由题意设直线SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为定值SKIPIF1<0．16．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0是椭圆的中心，点SKIPIF1<0为其上的一点满足SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设定点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，若在SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之和为定值，求SKIPIF1<0的范围．【解析】（1）设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为常数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而此时SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之和为定值SKIPIF1<017．（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知双曲线C：SKIPIF1<0一个焦点F到渐近线的距离为SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得SKIPIF1<0为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）由双曲线得渐近线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴双曲线C方程为SKIPIF1<0；（2）依题意，直线SKIPIF1<0的斜率不为0，设其方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若要上式为定值，则必须有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0

七、最值与范围问题18.（2023届重庆市南开中学校高三下学期质量检测）已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上异于长轴端点的一个动点，SKIPIF1<0为坐标原点，直线SKIPIF1<0分别与椭圆SKIPIF1<0交于另外三点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为椭圆上顶点时，有SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）由题知SKIPIF1<0，代入椭圆SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）

设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入椭圆SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由题知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0为短轴端点时取得最大值SKIPIF1<0．19．（2024届四川省南充高级中学高三上学期月考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点．且SKIPIF1<0，P为椭圆上一点，SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)过右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0为坐标原点，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）依题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）依题意可知直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不重合，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.

20．（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知椭圆SKIPIF1<0过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点.

(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线SKIPIF1<0上运动时，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以SKIPIF1<0为直径的圆内；（ii）求四边形SKIPIF1<0面积的最大值.【解析】（1）依题意将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点代入椭圆SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以椭圆方程为SKIPIF1<0（2）（i）易知SKIPIF1<0，由椭圆对称性可知，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；根据题意可知直线SKIPIF1<0斜率均存在，且SKIPIF1<0；所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；联立直线SKIPIF1<0和椭圆方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；由韦达定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；联立直线SKIPIF1<0和椭圆方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；由韦达定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0；即可知SKIPIF1<0为钝角，所以点B在以SKIPIF1<0为直径的圆内；（ii）易知四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；由对勾函数性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由对称性可知，即当点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<