7.8用空间向量证明平行与垂直

7.8用空间向量证明平行与垂直课标要求精细考点素养达成1.能用空间向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量2.运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系,能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理4.体会向量方法和综合几何方法的共性和差异,感悟向量是研究几何问题的有效工具,体会向量方法的优势方向向量与法向量通过用空间向量表示直线的方向向量与平面的法向量,培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算素养用空间向量证明平行通过用空间向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,培养学生的直观想象、数学运算素养用空间向量证明垂直通过用空间向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系,培养学生的直观想象、数学运算素养1.(概念辨析)下列结论正确的是().A.直线的方向向量是唯一确定的B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a⊥αC.若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量D.若a·b<0,则<a,b>是钝角2.(对接教材)已知A(1,1,1),B(0,2,0),C(2,3,1).则(1)直线BC的一个方向向量为;

(2)平面ABC的一个法向量为.

3.(对接教材)在空间直角坐标系中,设平面α经过点P(x0,y0,z0),平面α的法向量为n=(A,B,C),则平面α的方程为.

4.(易错自纠)(多选)在正四棱锥PABCD中,M,N,S分别是棱PA,PB,PC上的点,且PM=xPA,PN=yPB,PS=zPC,其中x,y,z∈(0,1],则().A.当x=y=z时,平面ABCD∥平面MNSB.当x=1,y=12,z=1时,PD∥平面C.当x=23,y=12,z=13时,点D∈平面MNSD.当x=23,y=12时,存在z∈(0,1]5.(真题演练)(浙江卷)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则().A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1利用空间向量证明平行问题典例1如图,已知在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明:(1)MN∥平面CC1D1D;(2)平面MNP∥平面CC1D1D.利用空间向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两条直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;③可在平面α内取基向量{e1,e2},证明存在实数λ1,λ2,使直线l的方向向量a=λ1e1+λ2e2,然后说明l不在平面α内即可.注意:证明线面平行,最后必须加上线不在面内的条件.(3)面面平行:①证明两个平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.训练1如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD⊥平面ABEF,AB⊥BE,AF∥BE,AB=BE=2,AF=1.求证:AC∥平面DEF.利用空间向量证明垂直问题典例2如图,在三棱锥PABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:AP⊥BC.(2)若M是线段AP上一点,且AM=3,求证:平面AMC⊥平面BMC.利用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两条直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.训练2如图,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.用空间向量探究平行与垂直问题典例3如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得A1D⊥DC.判断在线段EB上是否存在一点P,使平面A1DP⊥平面A1BC,若存在,求出EPPB的值;若不存在,请说明理由运用空间向量探究立体几何中平行垂直策略空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.探究问题有探究条件和探究结论两类问题,一般是“先设再求,回归验证”,即假设存在,设出参数,综合已知和结论列出等式,再求参数,能求出参数就存在,求不出就不存在.训练3如图,在四棱锥PABCD中,CD⊥平面PAD,△PAD为等边三角形,AD∥BC,AD=CD=2BC=2,E,F分别为棱PD,PB的中点.试问棱PC上是否存在点G,使得DG∥平面AEF?若存在,求PGPC的值,若不存在,请说明理由空间向量中的设点问题在用空间向量解决立体几何问题时,往往需要设出动点的坐标,但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的,所以设成(x,y,z),使用三个变量比较“浪费”,如何恰如其分设成变量是解题化繁为简的关键.典例如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出点N到直线AB和AP的距离.1.理念:先设再求——先设出所求点的坐标(x,y,z),再想办法利用条件求出坐标.2.解题关键:减少变量数量——最终所使用变量的个数可根据如下条件判断:(1)直线(一维)上的点:利用平面向量共线定理——若a∥b(b≠0),则∃λ∈R,使得a=λb,一个变量就可以表示出所求点的坐标,通过控制λ的范围,确定点所在的位置;(2)平面(二维)上的点:利用平面向量基本定理——若a,b不共线,则平面上任意一个向量c,均存在λ,μ∈R,使得c=λa+μb,用两个变量就可以表示所求点的坐标,通过控制λ,μ的范围,确定点所在的区域.规律:维度=所用变量个数.训练如图,棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.一、单选题1.(2023·江苏常州校级月考)已知空间向量a=(1,2,3),b=(4,2,m),若(a+b)⊥a,则m=().A.143 B.133 C.1132.已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(3,1,4),则().A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不对3.已知直线a,b的方向向量分别为a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ1,2λ),且a∥b,则λ与μ的值可以是().A.2,12 B.13,12C.3,2 D.24.已知四边形ABCD满足AB·BC>0,BC·CD>0,CD·DA>0,DA·AB>0,则该四边形为().A.平行四边形 B.梯形C.长方形 D.空间四边形二、多选题5.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是().A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,1),b=(2,3,1),则l1∥l2B.直线l的方向向量a=(1,1,2),平面α的法向量是u=(6,4,1),则l⊥αC.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,1),v=(3,4,2),则α⊥βD.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,5,0),则l∥α6.在四面体PABC中,以下说法正确的有().A.若AD=13AC+23AB,则可知BC=3BDB.若Q为△ABC的重心,则PQ=1C.若PA·BC=0,PC·AB=0,则PB·AC=0D.若四面体PABC各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则|MN|=1三、填空题7.若A0,2,198,B1,−1,58,C-2,1,58是平面α内的三点,设平面α的法向量为a=(x,y,8.在正三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,C1N=λNC,且AB1⊥MN,则实数λ的值为四、解答题9.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE∥平面B1C1F.10.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过点E作EF⊥PB