2021高中数学-第67炼 圆锥曲线的性质

第67炼圆锥曲线的性质

一、基础知识

（一）椭圆：

1、定义和标准方程：

（1）平面上到两个定点耳,与的距离和为定值（定值大于忸居|）的点的轨迹称为椭圆，其

中乃称为椭圆的焦点，|斗马|称为椭圆的焦距

（2）标准方程：

①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P（x,y）,爪―c,0）,巴（c,0），设距离和

22

|产制+附|=20，则椭圆的标准方程为：*■+方=1,其中（a〉》〉。,"1"）

②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P（x,y）,4（0,—c）,g（O,c），设距离和

22

|产制+|叫=2a,则椭圆的标准方程为：号+Al,其中（"">0万=/—2）

焦点在哪个轴上,则标准方程中哪个字母的分母更大

22

2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：!?+-^=l（a>/J>0）

（1）«：与长轴的顶点有关：4（一。,0）,&（。,0）,|44|=%称为长轴长

b：与短轴的顶点有关：4（0,-。）也（0,8），忸闻=2）称为短轴长

c：与焦点有关:耳（一c,0）,g（c,0）,|耳用=2c称为焦距

（2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称

（3）椭圆上点的坐标范围：设「优,%）,则一aV玉）<。,一方4为46

（4）通径：焦点弦长的最小值

①焦点弦：椭圆中过焦点的弦

2b2

②过焦点且与长轴垂直的弦|PQ|=』"

说明：假设PQ过6（-。,0），且与长轴垂直，则P（—C,%）,Q（—C,—%）>所以

0+誓=1=公=(可得％=2。则归。|=祖

ab“aaa

(5)离心率：e=£,因为c<a,所以ee(O,l)

(6)焦半径公式：称尸到焦点的距离为椭圆的焦半径

①设椭圆上一点P(务必),则|尸制=4+%),|「用=。—.(可记为“左加右减”)

②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a+c,最小值为a-c

,2e

(7)焦点三角形面积：SPFF^htan-(其中e=NP£K)

证明：2出巴=)刊讣帜闾sin《Pg

且闺欧=|叫2+|”『-2附归用cos用第

=(|PK|+|P/<-2|P*PE|(l+cos£P6)

.-.4c2=4/-2归611P闾(1+cosKPg)

...|P耳疗用=\"Fl=_更_

111"l+cos^PEl+cos"P玛

SgF,=周厅图sin酒=；.2"-sinF,PF

|-22l+cosPrJZs2

白sin耳尸招

1+cos耳Pg

因为S/6F,=；•2c•%=C•%,所以。2tan±1%=c•%，由此得到的推论:

的大小与光之间可相互求出

①ZFtPF2

②N£P6的最大值：白?入最大oS-F国最大最大oP为短轴顶点

(二)双曲线：

1、定义：平面上到两个定点",工距离差的绝对值为一个常数(小于忻6|)的点的轨迹称

为双曲线，其中6,乙称为椭圆的焦点，忻鸟|称为椭圆的焦距;如果只是到两个定点片，居距

离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支

2、标准方程：

①焦点在X轴：设双曲线上一点p（x,y）,耳（―c,0）,鸟（c,0）,设距离差的绝对值

22

||「片|一|尸闾|=2a,则双曲线标准方程为::•一%=1,其中（a>0,6>0,82=°?一/）

②焦点在y轴：设双曲线上一点P（x,y）,耳（0,—c），E（0,c）,设距离差的绝对值

22

帕耳H尸矶=2。，则双曲线标准方程为：%—2=1,其中（a>o,b>0,b2=c2-a2）

焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数

22

2、双曲线的性质：以焦点在x轴的双曲线为例：^?-1r=l（a>0,/?>0）

（1）a：与实轴的顶点有关：4（一a,0）,4（a,0）,称为实轴长

b：与虚轴的顶点有关：4（0,-6）也（0力），忸周=2匕称为虚轴长

c：与焦点有关:.（一孰0）,玛（c,0），山闻=2c称为焦距

（2）对称性：双曲线关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称

（3）双曲线上点坐标的范围：设P（Xo，y（））,则有为K-。或X。Na,%GR

（4）离心率：e=£■，因为c>a，所以ee（l,+oo）

a

（5）渐近线：当X-48或％-时，双曲线在向两方无限延伸时,会向某条直线无限靠

近，但不相交,则称这条直线为曲线的渐近线。

①双曲线渐近线的求法:无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0,再解出y

2222

关于X的直线即可。例如在*■—a=1（。>°力>°）中，求渐近线即解：/=°'变

bb

形为y=+-x，所以y=±-x即为双曲线的渐近线

aa

②渐近线的几何特点：直线％=。/=一以丁="丁=一匕所围成的矩形,其对角线即为双曲

线的渐近线

③渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像;二是渐近线的斜率也能体现a,。,c的关

系。

（6）通径:

①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段

②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值,此时弦PQ，x轴，|P0|=工-

（7）焦半径公式：设双曲线上一点P（x°,%）,左右焦点分别为6,工，则

①\PF］=\a+ex^,\PF2\=\a-ex0\（可记为“左加右减”）

②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点,距离为c-a

n

（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点尸（%,%），则=/cot］（其中e=NP£鸟）

（三）抛物线：

1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨

迹为抛物线

2、抛物线的标准方程及焦点位置：

（1）焦点在x轴正半轴：=23（〃>0）,焦点坐标（5，（）］

（2）焦点在x轴负半轴：y?=-2px（p>0）,焦点坐标（-'I',。）

（3）焦点在y轴正半轴：Y=2"（〃>0）,焦点坐标（0段）

（4）焦点在y轴负半轴：f=-2外（尸>0）,焦点坐标（0,-幻

小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项,则焦点在哪条轴上;其坐

标为一次项系数除以4,例如：/=4）,则焦点在y轴上，且坐标为（0,1）

3、焦半径公式：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,A（x,y）,则|丽卜x+5

4、焦点弦长：设过抛物线y2=2px（p>0）焦点的直线与抛物线交于4（玉,X）,6（々,%），

则|A同=%+%+p（|AB|=|AF|+忸司,再由焦半径公式即可得到）

二、典型例题：

J2

例1：已知双曲线------1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到

4b-r

其渐近线的距离等于（)

A.亚B.40C.3D.5

思路：先从常系数方程入手，抛物线J/=]2%的焦点为（3,0），即双曲线中的c=3,所以

22

Z?。=c2—=5,从而双曲线方程为：-------=1,其渐近线方程：y=±—尤，由对称性

452

可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择/:、后x-2y=0,右焦点工（3,0）,所以

,同+(-2)2

答案：A

小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接

这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而

解出其他圆锥曲线的要素

答案：A

例2：已知双曲线方-g=l（a>0/>0）的实轴长为4血,虚轴的一个端点与抛物线

x2=>0）的焦点重合，直线y=依-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,

则p=（）

A.4B.3C.2D.1

思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以〃作

为核心变量，抛物线—=2py的焦点为10,幻，所以可得分=微，因为

2a=40=a=2&，所以双曲线方程为—=1,可求得渐近线方程为

8P2

y-±Jx,不妨设y=—1与y=Jx平行,则有％=Jo从相切可想到与抛物线

-4V2-4V24V2

y—■~~r=x—1

联立消元后的方程△=（）4\j2x~-----f=x—2〃=0,所以

22V2

x=29py

A=-8p=0解得p=4

答案：A

22

思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有/=加一〃2=々2+从，所求表达式

11m2a2m2+a2,廿二八„“工

FH—r=——H——=z,本题与焦半径相关，所以考虑

e：e；ccc

|的|+|伤|=2旬曲|一|至|=2。。结合4耳的中点与£月的中点可得双曲线的渐近线

与A居平行，从而J.Ag,所以有|A£『+M舄「=|耳鸟「=牝2,联系上面条件可得：

22222

4c^\AFf+\AF2f(|AF；|+|A^|)+(|Af；|-|A^|)^2m+2a,所以

11m2+a2.

—+—=------=2

<e；c2

答案：A

222

例4：已知椭圆G：*'+%=1(。>8>0)与双曲线。2：/一3=1有公共的焦点，。2的

一条渐近线与以C,的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若G恰好将线段AB三等分，则

()

♦131

A.a2=—B./=13C.b2=—D.b2=2

22

思路：因为G，G有公共焦点，所以通过。2可得片卜石，0)，鸟(石，0)，从而c=行，圆的

直径为2。，所以A3截椭圆的弦长为可。由双曲线得AB:y=2x,进而与椭圆方程联立,

再利用弦长公式即可得到关于。（或人）的方程，解方程即可

解：通过G可得月（-石,0）,工（石,0）,.”=出

22222222

……cn,bx+ay^abab+ab

不妨设AB:y=2x，则《，所以x=

y=2x4a2+b1J4a2+/

2#>ab2

利用弦长公式可得d=Jl+2?上一—a

“a2+/?23

2a2=—

3"解得：，2，故选C

答案：cB

例5：（2014,山东,10）已知a>8>0,椭圆G的方程为二+目=1,双曲线的方程是

/b2

a-"=1，G与G的离心率之积为孝，则G的渐近线方程为（）

A.x±\[ly-0B.y[2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

思路：要想求渐近线方程，关键在。力的比值，所以将两个离心率均用。力表示，再利用乘积

为也即可得到a力关系，进而求出渐近线方程

2

I2Tjzc_J/+/

设曲线G,C,的离心率分别为e,,e>厕q=g=7a=-

解:2

aaaa

\ja2—b2y/a2+h2J/—b4V3

=---------*---------=-----：---=---

aaa22

3b41bf1VV2

即4/-4小14厂2

a4

Jr

因为双曲线的渐近线方程为：y=±-x,代入可得：y=±'—xnx±0y=O

a2

答案：A

小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中c的求法不同，从而使得两条曲线在a,匕相

同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出a力关系

2..2

xry

例6：椭圆二+二=1（机>">0）和双曲线=l(a>/?>0)的公共焦点为

mn蓝一5

耳,外，户是两曲线的一个交点，那么|尸用，|PE|的值是（）

A.m-aB.m2-a2C.—~~—D.y[m-4a

2

思路：所求|「制,|P闾既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义

可得：归周一归修=2a,归制+|尸闾=2孙由此联想到两个式子的完全平方公式，进而

可求出冏.附则|「4附|=；[（附|+附|）2-（附|-附|）[=加2一片

答案：B

22

例7：已知抛物线/=2px（p>0）的焦点尸与双曲线3-=1的右焦点重合，抛物线的

准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且则A点的横坐标为（）

A.2拒B.3C.2百D.4

思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标=4+5=9,所以

E（3,0）,进而可确定抛物线方程：V=12%，以及准线方程/:x=—3。所以K（—3,0）,

设A点横坐标为x,则所以|AK『=[x-（—3）丁+12x,由焦半径公式可得：

\AF\=X+^=X+3,所以|AK|=V^AF|n|AK『=2|AF「，即

（x+3）?+12x=2（x+3）2,可解得：x=3

答案：B

尤2V2

例8：设厂为双曲线———=1的左焦点，在x轴上E点的右侧有一点A,以E4为直径的

169

圆与双曲线左，右两支在x轴上方的交点分别为例,N,则以储M的值为（）

思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简化

计算，首先由联想到焦半径公式，设M（X1，X）,N（X2，%），则有

=：|«+ex||=,|AT7]ex|=4-,所以

\MF\—ex}—a=\a+2ex2a

|MV|—|月欣|=e（jq+w）+2a,设A（m,O）,由双曲线可知F（-5,0）,则E4的中点

Jm-5r,m+5〜〃、，“，(m-5\,(m+5\一

C1-y-,O)圆半径r=三一，所以圆万程为：[x———J+y2=[_^_J，整理后

可得：x2-（m-5）x+y-5m=0,因为|F7V|-\FM\的值与（石+々）相关，所以考虑联

x2-（m-5）x+y2-5m=0

立圆和双曲线方程：，22消去y可得：

---乙=1

1169

259/X八16(加一5)....

—X2-(/M-5)X-9+5W=0,所以斗+「2=25'代入|硒|一|初4可得：

回一“用.9+8=中4

,因为|£4|=加+5,所以原式的值为二

答案：D

小炼有话说：本题可发现无论A的位置如何，从选项上来看忻二产划应该为定值，故可

T照

以利用特殊位置，比如A为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得

|f7V|-|根|=加=8,且|砌=2c=10,所以回、芋网=”1

例9:如图,从双曲线二一4=1（。＞0力〉0）的左焦点尸引圆V+y2="的切线，切点为

ab'

T,延长户7交双曲线右支于尸点，若M为线段EP的中点,。

为坐标原点，则|—|MT\的值为（用含a力的表

达式表示）

思路：首先要将|欣?|,|町向靠拢，因为PE与圆切于T,

连结OT,可知\OT\=r=a,且AFOT为直角三角形，|。耳