2024届上海市高考数学沪教版（2020）选择性必修第二册复习教案：第7章 概率初步

【学生版】第7章概率初步(续)

【课本目录】

7.1条件概率与相关公式

7.1.1条件概率；7.1.2全概率公式；7.2.3贝叶斯公式*;

7.2随机变量的分布与特征

7.2.1随机变量的分布；7.2.2期望；7.2.3方差；

7.3常用分布

7.3.1二项分布；7.3.2超几何分布；7.3.3正态分布；

【核心概念】

条件概率、条件概率公式、全概率公式；随机变量的分布、期望、方差；二项分布、

超几何分布、正态分布；

【核心素养】

数学抽象、数学运算、数据分析、数学建模；

考试要求

2、理解取有限个值的随机变量及其分布列的概念；会准确列出分布列；理解会求随机变量

的数字特征；

3、掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；了解超几何分布及其均值，并

能解决简单的实际问题；借助正态分布曲线了解正态分布的概念、特征，并进行简单应用.

n知识梳理

______________________________________________________

1、条件概率

①在古典概率模型中，事件A发生之后，随机现象的结果就剩下事件A中的基本事件，

所以，事件A变成了由这些基本事件所构成的新的样本空间；这个样本空间仍然是等可能

的，这时事件8发生的概率称为事件B基于条件A的概率，或在事件A发生的条件下，事

件B发生的概率，或已知事件A发生，事件8发生的概率，记为:P(B|A)；

事实上，这等于是在一个样本空间为A的随机试验中，求事件AC31或记着AB)发生

的概率，

口“P\AHB\

即尸(8以)=及；

将上式的分子、分母同时除以|Q|,就得到条件概率公式：在事件A发生的条件下，

事件8发生的概率是：尸(814)=^^^；读作：A发生的条件下B发生的概率

【说明】前一个公式适用于古典概率模型，后一个公式适用于所有的情况；

②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与2,若P(A)>0,则尸(ACB)

=P(A)-P(B|A);

2、条件概率的性质：设尸(A)>0,则

①时6)=1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P((BUC)|A)=

③设9和B互为对立事件，则PCB|A)=；

3、全概率公式

一般地，设Qi，。2,…，0,是广组两两互斥的事件，。1口。25.30“=0,且尸9)>0,

z=l,2,n,则对任意的事件AUQ,有尸⑷=.P(0)尸(A|Q);

尸1

4、随机变量

一般地,对于随机试验样本空间Q中的每个样本点co,都有唯二的实数X3)与之对应，

我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为随机变量；

5、随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为XI，X2,…，斯，称X取每一个值M-的概

率

尸(X=W=P"=1,2,…，"为X的概率分布歹!],简称分布列；

6、随机变量的分布列的性质

玉/4(其中：/?,.>0,z=l,2,­,/?；且Pi+小++p“=l)

5P2Pn)"

7、随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为(罚"%

5PlPn)

(1)期望

称E因=xg+x2P2+...+为小=总的为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简

1=1

称期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)方差

2222

称。因=(xi—E(X))pi+(X2-E(X))p2+...+(xn-E(X))p„=£(x,—E(X))Pi为随机变

尸1

量X的方差，并称师为为随机变量X的标准差，记为仪X),它们都可以度量随机变量取

值与其均值的偏离程度.

8、期望与方差的性质

（1）E[aX+b]=+b；（2）D[aX+b]=a2（a,匕为常数）.

9、二项分布

（1）伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次

所组成的随机试验称为n重伯努利试验.

（2）二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为用X表

示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X=©=C驯Q—p）"-左,左=0,1,2,

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜

B（n,p）.

（3）两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E[X]=p,D[X]=p（l-p）；

②若X〜p）,则后因=,D[X]=.

11、超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件（不

「kr^n~k

放回），用X表示抽取的”件产品中的次品数，则X的分布列为P（X=k）=奈尸,k=tn,

IN

zw+l,m+2,r,其中，n,N,{正整数},M<N,n<N,m=max{0>n—N-\-M},

r=mm{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几

何分布.

12、正态分布

（1）定义

一（%一4）2

1--------------

若随机变量X的概率分布密度函数为五尤）=派瓦-e2次,XGR,其中〃GR,o>0为

参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X〜叫，『）.

（2）正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线对称;

②曲线在x=n处到达峰值八晨;

③当W无限增大时，曲线无限接近x轴.

（3）正态分布的均值与方差

若X〜N〃，(r),则E(X)=〃，D(X)=(r.

思考辨析

止碉啊仕括亏内IHTV',错俣啊IB"”.

①若事件A,3相互独立，则尸（36）=尸（3）；（）

②若事件4与4是对立事件，则对任意的事件匹。，都有尸@=尸（4）尸（理h）+尸（42*（842）;

（）③在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1；（）

④方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小；（）

⑤若X表示w次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布；（）

【提示】.

【答案】

典例解析

例1、（1）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为2和;，且两地同时下雨的概率为七

则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（）

1123

A.3B.5C.D-4

【提示】；

【答案】

【解析】.

（2）七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以港《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋

代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版

玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形（其中

两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形）、一块正方形和一块平行四边形，可

以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知

取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为（）

【说明】求条件概率的常用方法

p4QD\

（1）定义法：利用定义，分别求P（A）和P（A2）,得尸（2闺=0（八—；

1）

(2)样本点法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数”(A),再在事件A

发生的条件下求事件8包含的基本事件数，即"(A3),得P(86)="；

(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解；

一1—13

例2、(1)记A为事件A的对立事件，且尸(4)=2，P(AIB)=3-尸(3)=?则尸(AUB)=_

(2)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,

答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为

()

A.0.625B.0.75C.0.5D.0

【说明】本题考查全概率公式的应用；利用全概率公式的思路

(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件40=1,2,…，〃)；

(2)求P(4)和所求事件B在各个互斥事件4发生条件下的概率P(Ai)P(B\Ai)；

(3)代入全概率公式计算.

例3、随机变量X的概率分布列为P(X=ri)=〃“工产=1,2,3,4),其中。是常数，则P(|<X<1)

【说明】本题考查了随机变量的分布列性质；(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解

所定义的随机变量的含义；(2)进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个

性质：Pi>0,i=l,2,w和£〃=1,随时验证计算的准确性；(3)随机变量可能取某一

尸1

区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯

管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与随机变量混为一谈；

例4、甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的

概率依次为3:，f2,参1记甲同学三个项目中通过考试的个数为X,求随机变量X的分布列.

【说明】本题考查了随机变量分布列求法；确定随机变量的分布列的解题策略：

(1)先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公

式)计算每一可能取值时的概率；(3)列出分布列；

一「01

例5、(1)已知。的分布列如表所示：

919

\**,7

其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相

同.据此计算，下列各式中：①E©=1;②。©>1;③PQ=O段正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

（2）学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二

局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为柒设他参加一次答题活动得分

为X,则04=.

6、某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目.每个学生在每

个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0

分；三步上篮考核合格得6分，否则得。分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮

考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判

定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核

是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8,三步上篮考核合格的概率

为0.7,且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.

（1）若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.

例7、甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或

每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为小乙每次投篮投中的概率为今

且各次投篮互不影响.

（1）求甲获胜的概率；

（2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率.

例8、在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动

员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是昌那么在本次运动会上：

（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；

（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值.

例9、某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学

学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选

取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望.

14

例10、已知随机变量X〜M2,32),且尸(XW1)=尸(矣加+1),求：一+^^(0<%<回)的最小

%772X

值；.

G精练巩固,

_______________________________________________________I

1、小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4,

乘坐地铁的概率为0.6,且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04,则

小明没有迟到的概率为()

A.0.954B.0.956C.0.958D.0.959

2、将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的

均值所%]=()

A.2B.1C.1D.1

911

3、根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为京，下雨的概率为君，既吹东风又

Q

下雨的概率为喘，则在吹东风的条件下下雨的概率为.

'-101、

4、已知X的分布列为111设y=2X+3,则an的值为

236>

gi、

5、若离散型随机变量X的分布列为&/则X的方差£>》］=.

6、已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且尸(X>2c—l)=P(X<c+3),则c=.

(123、

已知随机变量X的分布列为111且Y=QX+3,若讥7]=—2,贝!J〃等于

<2367

8、溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，

某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错

得。分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为东乙队每人回答问题的正确率分别

173

为亨4-且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

【精练巩固】

1、某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，

这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨

慎的”被保险人占20%,“一般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险人占30%,则该保险公

司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是()

A.0.155B.0.175C.0.016D.0.096

2、甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,

若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为()

A.0.36B.0.352C.0.288D..0.648

3、某学校有A,8两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去

A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的

概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为.

-10123、

4、若随机变量X的分布列为则当尸(X<a)=0.8时，实

0.20.20.30.10.17

数”的取值范围是

"-10r

5、若随机变量X的分布列为1则P(|X|=1)等于

c

I37

-101、

6、设X是一个离散型随机变量，其分布列为1,则g的值为____________

-2-3“q

\J

7、已知随机变量X服从正态分布N（2,后），且P（2<XW2.5）=0.36,则尸（X>2.5）=.

8、某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5

个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面.小窗口

每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立.若

一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是

分钟

9、若有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

甲单位不同职位月工资X1/元4200440046004800

获得相应职位的概率P10.40.30.20.1

乙单位不同职位月工资X2/元4000440048005200

获得相应职位的概率尸20.40.30.20.1

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位?

10、某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门的结果分

别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点.游戏规定：不重复进同一个门，若

返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束.

（1）求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值；

（2）甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案.

方案一：2人共同行动；

方案二：2人分头行动.

分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的期望.

结论收集

p(AC

1、计算条件概率除了应用公式「(3|4)=外,还可以利用缩减公式法，即尸(矶4)

r)

:⑷，其中〃(A)为事件A包含的样本点数，〃(AB)为事件AB包含的样本点数;

2、全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为

了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.

3、尸(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，尸(A|B)是在事件B发生的条件下事

件A发生的概率.

4、期望与方差的四个常用性质

(1)E[k]=k,。因=0,其中左为常数；

(2)E[Xi+X2]=E[Xi]+£[X2]:

(3)D[X]=E[^]~(E因)*12；3

(4)若Xi,X2相互独立，则E[XIX2]=E[XI].E[X2]；

(5)若X是随机变量，Y=aX+b,a,6是常数，则丫也是随机变量;

5、两点分布是二项分布当”=1时的特殊情形;

6、“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题

对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理；

7、在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为”重伯

努利试验，进而判定是否服从二项分布.

8、超几何分布有时也记为X〜H(n,M,N),其均值E[X]=野，。因=野0一一3j

9、若X服从正态分布，即X〜N〃，〃)，要充分利用正态曲线关于直线对称和曲线与

X轴之间的面积为“1”解题.

10、利用"重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否

满足公式P(X=A)=C)/(1—p)"f的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个

常数P；②〃次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相

互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了上次的概率；

*11、贝叶斯公式：设Ai，A2,…，A"是一组两两互斥的事件,4UA2U...UA,=Q,且尸(A)>0,

P(A)P(BA)P(A,)尸(B|4)

i=1,2,,ri.则对任意的事件BUQ,P(B)>0,有P(Ai\B)=

P(B)

tp(Ak)P(B\Ak)

左=i

i~1,2,,72.

【教师版】第7章概率初步(续)

【课本目录】

7.1条件概率与相关公式

7.1.1条件概率；7.1.2全概率公式；723贝叶斯公式*;

7.2随机变量的分布与特征

7.2.1随机变量的分布；7.2.2期望；7.2.3方差；

7.3常用分布

7.3.1二项分布；7.3.2超几何分布；7.3.3正态分布；

【核心概念】

条件概率、条件概率公式、全概率公式；随机变量的分布、期望、方差；二项分布、

超几何分布、正态分布；

【核心素养】

数学抽象、数学运算、数据分析、数学建模；

考试要求

言后艮忏小LE向W日兵视云，“界二王嬴小LPJ人东，云Tuni土-A—“丹恸平；""

2、理解取有限个值的随机变量及其分布列的概念；会准确列出分布列；理解并会求随机变

量的数字特征；

3、掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；了解超几何分布及其均值，并

能解决简单的实际问题；借助正态分布曲线了解正态分布的概念、特征，并进行简单应用.

知识梳理

1、条件概率

①在古典概率模型中，事件A发生之后，随机现象的结果就剩下事件A中的基本事件，

所以，事件A变成了由这些基本事件所构成的新的样本空间；这个样本空间仍然是等可能

的，这时事件8发生的概率称为事件B基于条件A的概率，或在事件A发生的条件下，事

件8发生的概率，或已知事件A发生，事件8发生的概率，记为:P(B\A)；

事实上，这等于是在一个样本空间为A的随机试验中，求事件AAB(或记着AB)发生

的概率，

P\ACIB\

即nn

将上式的分子、分母同时除以|Q|,就得到条件概率公式：在事件A发生的条件下，

事件2发生的概率是：尸邠尸用;，；读作：A发生的条件下8发生的概率

【说明】前一个公式适用于古典概率模型，后一个公式适用于所有的情况；

②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与2,若P(A)>0,则尸

=P(A)-P(B|A);

2、条件概率的性质：设尸(A)>0,则

①尸3)=1；

②如果2和C是两个互斥事件，则P((BUQh4)=P(Bh4)+P(Ch4)；

③设W和B互为对立事件，则P{B|A)=1-P(B|A).

3、全概率公式

一般地，设。1，。2,…，。”是1组两两互斥的事件,。山。25..十0"=。,且尸@)>0,

z=l,2,n,则对任意的事件AUQ,有尸(A)=£p@)P(A|e);

尸1

4、随机变量

一般地,对于随机试验样本空间Q中的每个样本点。，都有唯一的实数X(o)与之对应，

我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为随机变量；

5、随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为制，X2,…，即，称X取每一个值X,的概

率

P(X=x,)=pi,1=1,2,…，”为X的概率分布歹!j,简称分布列；

6、随机变量的分布列的性质

%(其中：/?(>0,z=l,2,-,n-且Pi+必++2“=1)

5PlPn)

7、随机变量的均值与方差

/、

一般地，若离散型随机变量X的分布列为12"

52■­pj

(D期望

称E因=xipi+x2P2+...+尤皿=总的为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简

1=1

称期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)方差

称。因=(xi—E(X))2p|+(尤2—E(X))202+…+(%—E(X))2p,,=f(x,—£(X))2p,.为随机变

i=l

量X的方差，并称痴为为随机变量X的标准差，记为仪X),它们都可以度量随机变量取

值与其均值的偏离程度.

8、期望与方差的性质

(1)E[aX+b]=aE[X]+b；(2)D[aXA-b]=crD[X]{a,b为常数).

9、二项分布

(1)伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行〃次

所组成的随机试验称为n重伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为用X表

示事件A发生的次数，则X的分布列为尸(X=-=C豺(l—p)"",左=0,1,2,…，加

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜

B(n,p).

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E[X]=p,D[X]=p(l-p)；

②若X〜B(w,p),则顼R=利，D[X]=np^-p).

11、超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取w件(不

放回)，用X表示抽取的a件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=A)=2尸,k=m,

IN

m-\-1,m+2,r,其中，n,N,MG{正整数},M<N,n<N,m=max{0,n—N-\-M],

r=min{«,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几

何分布.

12、正态分布

(1)定义

一(厂〃)2

若随机变量X的概率分布密度函数为八x)=<-e2*,xER,其中〃GR,00为

(T\l2TI

参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X〜NQi,/).

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称;

②曲线在x=〃处到达峰值%;

③当W无限增大时，曲线无限接近X轴.

(3)正态分布的均值与方差

若X〜N(〃，崔)，则£(X)=〃，r>(X)=o2.

①若事件A,2相互独立，则P(BH)=P(B)；()

②若事件4与4是对立事件，则对任意的事件BOQ,都有P(B)=P(Ai)尸(BHI)+P(A2)尸(342);

()③在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1;()

④方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小；()

⑤若X表示w次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布;()

【提示】①由事件A,3相互独立，则尸3n3)=P(A)P(3)；

③随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1,故不正确.

【答案】①《(2)Y；③X；(4)Y(5)N

典例解析I

__________________________I

丽1:(1)复*里:嬴百：乙两地下雨的概率分别为称弓，且两地同时下雨的概率为3

34O

则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为()

A.eB.JC.1D-4

【提示】(1)注意阅读理解“在乙地下雨的条件下，甲地也下雨”；

【答案】(1)C

【解析】设A为“甲地下雨”，B为“乙地下雨”，

1

由题意可知，P(A)=1,尸(8)=[,P(ACB)=点,所以尸(4|8)=号:„K

4

(2)七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湘《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋

代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版

玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中

两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可

以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知

取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为()

【提示】(2)注意阅读理解“取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形”

【答案】D

【解析】设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件5为“两块板恰好是全

2

等三角形％则尸(4CB)=*=5，P(A)=1|=|Y，所以

21

【说明】本题考查了求条件概率的常用方法

pfAp|DA

(1)定义法：利用定义，分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=D-、；

(2)样本点法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数w(A),再在事件A

发生的条件下求事件8包含的基本事件数，即”(A3),得尸(母4)=土果3；

riJ

(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解；

一1一13

例2、(1)记A为事件A的对立事件，且P(A)=],P(A\B)=yP(B)=z，则P(AUB)=_

【提示】(D利用条件概率公式可得P(NB)==,进而即得；

、3

【答案】J

【详解】因为P(4|B)=|,P(B)=1,

——131—113

・・・P(A5)=P(A|B)P(B)=3X-=-,：.P(AUB)=P(A)+P(AB)=^+^.

3

故答案为：4，

(2)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,

答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为

A.0.625B.0.75C.0.5D.O

【提示】注意“他答对题目”分：知道正确答案与不知道正确答案；

【答案】A

【解析】用A表示事件“考生答对了”，用3表示“考生知道正确答案”，用8表示“考生不知

道正确答案”，

则尸(B)=0.5,尸(3)=0.5,P(4|B)=100%,P(A|B)=0.25,

则尸(A)=P(AB)+P(AB)=P(A\B)P(B)+P(A=1X0.5+0.25X0.5=0.625.

【说明】本题考查了全概率公式的应用；利用全概率公式的思路

(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件4G=1,2,…，«)；

(2)求P(4)和所求事件B在各个互斥事件4•发生条件下的概率P(A,)P(B|A;)；

(3)代入全概率公式计算；

例3、随机变量乂的概率分布列为小=〃)=嬴*不(〃=1,2,3,4),其中。是常数,则吗<X<|)

【提示】注意：随机变量的分布列的性质(1)p,»0,i=l,2,,〃；(2)A+A++0=1

【答案】|

【解析】因为「5=”)=7%(〃=1,2,3,4),所以3+(+言+看=1，所以所以

n{n~rY)zoizzu4

=P(X=1)+P(X=2)=1x1+1xi=|.

【说明】本题考查了随机变量的分布列性质；(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解

所定义的随机变量的含义；(2)进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个

性质：Pi>0,z=l,2,n和£p,=l,随时验证计算的准确性；(3)随机变量可能取某一

尸1

区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯

管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与随机变量混为一谈；

例4、甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的

概率依次为本(宗记甲同学三个项目中通过考试的个数为X,求随机变量X的分布列.

【提示】注意阅读理解明确随机变量X的所有可能取值，然后求得其对应的概率；

【解析】随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=(遥)x(1-9=吉,

…4、111,121,3111

P(x=1)=布x/ww/布丐=不

……121,311,32111

P(X=2)=5X-X-+5X-X-+5X-X-=-,

3211

P(X=3)=为

'0123、

所以，随机变量X的分布列为11111

^244244>

【说明】本题考查了随机变量分布列求法；确定随机变量的分布列的解题策略：

(1)先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公

式)计算每一可能取值时的概率；(3)列出分布列；

「012、

例5、(1)已知^的分布列如表所示：

919

\**•)

其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相

同.据此计算，下列各式中：①E©=1;②。©>1;③蛇=0号正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【提示】(1)注意分布列的性质与期望、方差的计算

【答案】C

【解析】设“？n=b,则”，附0,1],2a+b=l.

①£©=0x°+lx5+2x〃=2a+0=L因此①正确；

②。©=(0—l)2x〃+(l—l)2x》+(2—l)2xa=2aWL因此②不正确；

1—b1

③尸(4=0)=。=?-多，因此③正确.

(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二

局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为由设他参加一次答题活动得分

为X,则。区]=.

【答案】■

【解析】由题意知，X的所有可能取值为5,4,3,2,

P(X=5)=|xi=^,

P(X=4)4(1_*K，

尸(X=3)=(l—()x：=襦

P(X=2)=(L9(1一3=看

133911

则£[X]=5x^+4x^+3x—+2x—=Y，

【说明】本题考查了随机变量的分布列及数字特征；求随机变量X的均值与方差的步骤：

(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值；

(2)求X取每个值的概率；

(3)写出X的分布列；

(4)由均值、方差的定义求同为，D[X]；

(5)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数y=aX+b的均值、方差和标准差,

可直接用均值及方差的性质求.

例6、某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目.每个学生在

每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0

分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮

考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判

定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核

是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8,三步上篮考核合格的概率

为0.7,且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.

(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.

【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10,

则P(X=0)=1-0.8=0.2,

尸(X=4)=0.8x(1—0.7)=0.24,

产(X=10)=0.8x0.7=0.56,

0410、

所以X的分布列为

0.20.240.56,

(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下:

由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值

E(X)=0x0.2+4x0.24+10x0.56=6.56,

若小明先进行三步上篮考核，记v为小明的累计得分,

则y的所有可能取值为o,6,io,

P(y=0)=l-0.7=0.3,

P(F=6)=0.7x(l-0.8)=0.14,

产(y=10)=0.7X0.8=0.56,

贝！IY的均值E(Y)=0x0.3+6x0.14+10x0.56=6.44,

因为EQ3>E(y),

所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核.

【说明】本题考查了期望与方差中的决策问题；随机变量的期望和方差从整体和全局上刻

画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相

同，再用方差来决定.

例7、甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或

每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为多乙每次投篮投中的概率为今

且各次投篮互不影响.

(1)求甲获胜的概率；

(2)求投篮结束时，乙只投了1个球的概率.

【解析】⑴设4,以分别表示甲、乙在第4次投篮时投中，则尸(4)=/「(国)=/k

=1,2,“甲获胜”为事件C,则P(O=P(4)+P(N|WIA2)=P(4)+P(NI)P(WI>P(A2)

(2)记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D.则P(D)=P{AiBi)+P(AiB以2)=

———212114

P(Ai)P(Bi)+P(Ai)P(B1)尸(42)=§*5+§乂5乂3=3.

【说明】本题考查了二项分布中的〃重伯努利试验；在求〃重伯努利试验中事件恰好发生

上次的概率时，首先要确定好”和左的值，再准确利用公式求概率.

例8、在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动

员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是东那么在本次运动会上：

(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；

(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值.

【解析】(D依题意