等比数列概念及通项公式经典教案

等比数列概念及通项公式经典教案PAGE3PAGE1等比数列的概念及通项公式【学习目标】1．准确理解等比数列、等比中项的概念，掌握等比数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等比数列的相关问题.2．通项对等比数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力.3．激情参与、惜时高效，利用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值.【重点】：等比数列的概念及等比数列通项公式的推导和应用.【难点】：对等比数列中“等比”特征的理解、把握和应用.【学法指导】1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等比数列通项公式的求法;2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.一、知识温故1.数列有几种表示方法？2.数列的项与项数有什么关系？3函数与数列之间有什么关系？教材助读1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）。注:1“从第二项起”与“前一项”之比为常数q｛｝成等比数列=q（,q≠0）2隐含：任一项3q=1时，{an}为常数列.2.等比数列的通项公式①②3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且5．证明数列为等比数列：①定义：证明=常数，②中项性质：；6.等比数列的性质：（1）（）；(2）对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；（3）每隔项（）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；（4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。7.(1)若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是等比数列，公比为q2.(2)若{an}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a2n－1+a2n}也是等比数列，公比为q2.(3)若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列.(4)三个数a、b、c成等比数列的，则8．等比数列的递增和递减性.在等比数列{an}中(1)若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1则数列递增，(2)若a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1,则数列递减；(3)若q=1，则数列为常数列；(4)若q＜0，则数列为摆动数列.【预习自测】1.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，，则公比q为()（A）2 （B）3 （C）4 （D）82.数列m,m,m,…m,()A.一定是等比数列 B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列不一定是等比数列 D.既不是等差数列，又不是等比数列3．已知等比数列中，表示前n项的积，若＝1，则（）.A、＝1B、＝1C、＝1D、＝14．与，两数的等比中项是（）ABCD5．等比数列中，4，2，成等差数列。若=1，则公比6．已知等比数列的前3项依次为则。【我的疑惑】________________________________________二、经典范例题型一等比数列的基本量a1，q【例1】已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求题型二数列问题的设元方法【例1】已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.问题探究等比数列的通项公式问题如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，你能用两种方法给出数列{an}的通项公式吗？解方法一(归纳法)根据等比数列的定义知：a1＝a1q0，a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，一般地，有an＝a1qn－1.方法二(叠乘法)根据等比数列的定义得：eq\f(a2,a1)＝q，eq\f(a3,a2)＝q，eq\f(a4,a3)＝q，…，eq\f(an,an－1)＝q.将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝qn－1，化简得eq\f(an,a1)＝qn－1，即an＝a1qn－1.当n＝1时，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N*)．题型三等比数列的证明【例2】若a、b、c成等比数列，试证：a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2也成等比数列.备选题【例3】在中，，试求的通项题型四等差、等比数列的综合问题【例4】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.备选题【例5】已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.【归纳总结】1.等比数列的概念是的主要依据.2.推导通项公式时不要忘记检验的情况（特别是叠乘法）.3.通项公式的说明：（1）等比数列的通项公式an＝a1qn－1中有四个量a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．（方程思想）.（2）求通项公式时要学会运用“基本量法”，即Ⅱ.我的知识网络图概念概念等比等比数列判断方法判断方法三、过关测试一、基础巩固把简单的事做好就叫不简单！1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，A．9 B．10C．11 D．122．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3 B．2 C．1 D．－23．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－94．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为 ()A.eq\f(5,3) B.eq\f(4,3) C.eq\f(3,2) D.eq\f(1,2)5．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)等于()A．4 B．3 C．2 D．6．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则eq\f(a3＋a5,a4＋a6)等于 ()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\f(1,2) D．不确定综合应用挑战高手，我能行！7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.8．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则eq\f(a2－a1,b2)的值是________．9．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.拓展探究题战胜自我，成就自我！10．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000，求此四个数．12.已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝0.(1)若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证：x，y，z成等比数列；(2)若正数x，y，z依次成等比数列且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．四、探究与拓展13．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．四、课后练习一、选择题1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为 ()A．16 B．27 C．36 D．2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于 ()A．64 B．81 C．128 D．3．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4A．5eq\r(2) B．7C．6 D．4eq\r(2)4．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4) C．2 D．3eq\f(4,3)5．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则eq\f(a5,a7)等于 ()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)6．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq\f(a9＋a10,a7＋a8)等于()A．1＋eq\r(2) B．1－eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)二、填空题7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.8．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.三、解答题10．已知数列{an}成等比数列．(1)若a2＝4，a5＝－eq\f(1,2)，求数列{an}的通项公式；(2)若a3a4a5＝8，求a211．已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a412.等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1＋a6＝11②a3·a4＝eq\f(32,9)③三个数eq\f(2,3)a2，a23，a4＋eq\f(4,9)依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式．四、探究与拓展13．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?过关测试答案：1．C2.B3.B4.A5.C6.A7．4·(eq\f(3,2))n－18.eq\f(1,2)9.－910．an＝2n－1或an＝23－n11．四个数分别为12,16,20,2512．证明(1)∵a，b，c成等差数列且d≠0，∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0.∴(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)·logmz＝2dlogmy－dlogmx－dlogmz＝d(2logmy－logmx－logmz)＝dlogm(eq\f(y2,xz))＝0.∵d≠0，∴logmeq\f(y2,xz)＝0，∴eq\f(y2,xz)＝1.∴y2＝xz，即x，y，z成等比数列．(2)∵x，y，z成等比数列，且公比q≠1，∴y＝xq，z＝xq2，∴(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)·logmz＝(b－c)logmx＋(c－a)logm(xq)＋(a－b)logm(xq2)＝(b－c)logmx＋(c－a)logmx＋(c－a)·logmq＋(a－b)logmx＋2(a－b)logmq＝(c－a)logmq＋2(a－b)logmq＝(a＋c－2b)logmq＝0，∵q≠1，∴logmq≠0，∴a＋c－2b＝0，即a，b，c成等差数列．13．三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2，1,4课后作业答案：1．B2.A3.A4.A5.D6.C7．188.59.－610．(1)an＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－2(2)3211．an＝2n－2或an＝