2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一次函数y=(3−m)x+3，如果函数值y随x增大而减小，那么m的取值范围是(

)A.m>3 B.m<3 C.m≥3 D.m≤32.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为(−3,4)，则顶点B的坐标是(

)A.(−5,4)

B.(−6,3)

C.(−8,4)

D.(2,4)3.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根，则k的取值范围是A.k<1 B.k≤1 C.k<1且k≠0 D.k≤1且k≠04.某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表：年龄(单位：岁)13141516频数(单位：名)812x10−x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(

)A.平均数、中位数 B.众数，中位数 C.众数、方差 D.平均数、方差5.函数y=ax2−2x+1和y=ax+a(a是常数，且a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是A. B.

C. D.6.关于x的一元二次方程x2−x=1的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.无实数根 D.无法确定7.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系ℎ=20t−5t2.下列叙述正确的是(

)

A.小球的飞行高度不能达到15m B.小球的飞行高度可以达到25m

C.小球从飞出到落地要用时4s D.小球飞出1s时的飞行高度为10m8.如表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间(单位：秒)，则下列说法正确的是(

)甲20.229.330.738.3乙37.638.439.139.3丙20.320.428.236.1丁22.927.833.534.3A.乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间

B.丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数

C.甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数

D.乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差二、填空题：本题共8小题，共24分。9.如果函数y=(k−1)xk2−k+2+kx−1是关于x10.将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为______．11.2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”.截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次.据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程______．12.若点A(0,y1)，B(12,y2)，C(3,y3)在抛物线y=(x−1)2+k13.如图，二次函数y=2(x−1)2+k的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，若函数值y<1，则自变量x的取值范围是______．14.若抛物线y=x2−2x+k−2与x轴有公共点，则k15.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y=______．16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)和(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不等的实数根；③a>2；④若方程ax2+bx+c=0三、解答题：本题共14小题，共72分。17.（6分）解方程：

(1)x2=6x−1；

(2)(x−218.（4分）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−4=0的一个根，求代数式(a−2)19.（5分）已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．

(1)求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

(2)若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．20.（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(3,5)，B(−2,0)，且与y轴交于点C．

(1)求该函数的解析式及点C的坐标；

(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=−3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．21.（6分）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，点D，E分别是BC，AC的中点.连接DE并延长至点F，使得EF=DE.连接AF，CF，AD．

(1)求证：四边形ADCF是菱形；

(2)连接BF，若∠ACB=60°，AF=2，求BF的长．22.（5分）商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅.下面给出了商品售价和成本(单位：元)的相关公式和部分信息：

a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：

售价涨跌幅=当周售价−前周售价前周售价×100%，成本涨跌幅=当周成本−前周成本前周成本×100%；第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售价40m45np

根据以上信息，回答下列问题：

(1)甲商品这五周成本的平均数为______，中位数为______；

(2)表中m的值为______，从第三周到第五周，甲商品第______周的售价最高；

(3)记乙商品这40周售价的方差为s12，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为s22，则s12______s22(填“>23.（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB=1.5m．

小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．

第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=−0.2(x−2.5)2+2.35．

第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：水平距离x/m01234飞行高度y/m1.11.61.921.9根据上述信息，回答下列问题：

(1)直接写出击球点的高度；

(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；

(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1______d2(填“>”，“<”或“24.（7分）如图1，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿线段AO→OB运动，点P到达点B时停止运动.若点P运动的路程为x，△DPC的面积为y，探究y与x的函数关系．

(1)x与y的两组对应值如表，则m=______；x0…m(m≠0)yn…n(2)当点P在线段AO上运动时，y关于x的函数解析式为y=−x+4(0≤x≤2).当点P在线段OB上运动时，y关于x的函数解析式为______，此时，自变量的取值范围是______；

(3)①在图2中画出函数图象；

②若直线y=12x+b与此函数图象只有一个公共点，则b的取值范围是______．25.（7分）甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩.该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口A，B，C．

(1)园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站.甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示.两人约定如下：

Ⅰ.确定距离自己最近的入口；

Ⅱ.如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园；

Ⅲ.如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入口入园．

①若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为______；

②若甲、乙最终在B入口处入园，则乙下车的站点可以为______；

(2)丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园.丙在地图上建立平面直角坐标系xOy，如图2所示，其中入口A，B，C的坐标分别为(0,4)，(−4,0)，(4,0).园区内有行驶路线为CG的摆渡车(乘客可以在路线上任意一点上下车).点G坐标为(−3,1).丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个入口A，B，C的最大距离记为a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”．

①如果丙希望在a最小处下车，则点M的坐标为______；

②若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车点，则m的最小值为______．26.（3分）已知两组数据(1)3005，3005，3003，3000，2994；(2)5，5，3，0，−6.设第一组数据的平均值为x1−，方差为s12，设第二组数据的平均值为x2−A.x1−>x2−，s12<s22 B.x27.（3分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为6米的点E，F28.（4分）超市销售的某商品进价10元/件.在销售过程中发现，该商品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=−5x+150(10≤x≤30)，则利润w和售价x之间的函数关系为______，该商品售价定为______元/件时，每天销售该商品获利最大．29.（4分）已知抛物线y=x2−2mx(−1≤m≤2)经过点A(p,t)和点B(p+2,t)，则t30.（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线C：y=x2+x和直线l：y=x+b给出如下定义：

过抛物线C上一点A(x0,y1)作垂直于x轴的直线AB，交直线l于点B(x0,y2)，若存在实数y0满足y1≤y0≤y2，则称点P(x0,y0)是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”．

(1)若b=2，

①在点P1(0,0)，P2(−1,2)，P3(1,3)，P4参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.C

6.A

7.C

8.C

9.0

10.y=2(x−3)11.2(1+x)12.y3>13.0<x<2

14.k≤3

15.−x16.①②③④

17.解：(1)∵x2−6x+1=0，

∴a=1，b=−6，c=1

∴Δ=36−4=32>0，

∴x=6±422，

∴x1=3+22，x2=3−22；

(2)∵(x−2)2=3(x−2)，18.解：(a−2)2+(a−1)(a+3)

=a2−4a+4+a2+3a−a−3

=2a2−2a+1，

∵a是关于x的一元二次方程x19.(1)证明：∵Δ=[−(m+3)]2−4(m+2)=(m+1)2≥0，

∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

(2)解：x2−(m+3)x+m+2=0，

(x−1)[x−(m+2)]=0，

∴x=1，x=m+2，

∴m+2>0，m>−220.解：(1)根据题意得3k+b=5−2k+b=0，解得k=1b=2，

∴一次函数解析式为y=x+2，

当x=0时，y=x+2=2，

∴C(0,2)；

(2)当x=2时，y=x+2=4，

把点(2,4)代入y=−3x+n，得−6+n=4，解得n=10，

∴当n≥10时，对于x<2的每一个值，函数y=−3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)21.(1)证明：∵点E是AC的中点，

∴AE=EC．

∵EF=DE，

∴四边形ADCF是平行四边形．

在△ABC中，∠CAB=90°，点D是BC的中点，

∴AD=BD=DC．

∴四边形ADCF是菱形；

(2)解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．

∴∠BGF=90°，

∵四边形ADCF是菱形，ACB=60°，AF=2，

∴CF=DC=AF=2，∠ACF=∠ACD=60°，

∴∠FCG=180°−∠ACF−∠ACD=60°，

∴∠GFC=90°−∠FCG=30°，

在△CFG中，∠CGF=90°，∠GFC=30°，

∴CG=12CF=1，

∴FG=CF2−CG2=3，

∵BD=CD=2．

22.(1)32，25；

(2)60，四；

(3)>．

23.(1)当x=0时，y=−0.2(0−2.5)2+2.35=1.1，

故击球点的高度为1.1m；

(2)由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2)，

设抛物线的解析式为：y=a(x−3)2+2，

过点(4,1.9)，

∴1.9=a(4−3)2+2，

解得a=−0.124.(1)4；

(2)y=x，2≤x≤4；

(3)①当x=0时，y=4；当x=2时，y=2；当x=4时，y=4.描点，连线即可．

②b=1或2<b≤4．

25.(1)①B；

②3号车站、4号车站．

(2)①(0,47).

26.D．

27.解：令y=6，即y=−140x2+10=6，

解得：x=±41028.解：∵某商品进价10元/件，售价x元/件，

∴每件商品的利润为：(x−10)元；

∵销售量y(件)为：y=−5x+150(10≤x≤30)，

∴利润w和售价x之间的函数关系为：w=(x−10)(−5x+150)(10≤x≤30)，

∴w=−5x2+200x−1500(10≤x≤30)；

∴w=−5(x−20)2+500，

∵−5<0，

∴当x=2029.解：∵抛物线y=x2−2mx，

∴抛物线的对称轴为直线x=−−2m2×1=m，

∵抛物线y=x2−2mx(−1≤m≤2)经过点A(p,t)和点B(p+2,t)，

∴