4.3 公式法 （解析版）-八年级数学下

4.3公式法考点：因式分解公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2题型一：判断是否能用公式法因式分解1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．【详解】解：A.是与的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（）个．①

②

③

④

⑤

⑥A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行判断即可．【详解】解：①不能用公式法分解因式，不符合题意；②，可以用平方差公式分解因式，符合题意；③不能用公式法分解因式，不符合题意；④不能用公式法分解因式，不符合题意；⑤不能用公式法分解因式，不符合题意；⑥，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）下列多项式：①，②，③，④能用公式法因式分解的有个（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据公式法因式分解的方法，逐一进行判断即可．【详解】解：，符合题意；，符合题意；，符合题意；，不能用公式法进行因式分解，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查公式法因式分解．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．题型二：运用平方差公式因式分解4．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：，请问正确的结果为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可，能用平方差因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．【详解】在有理数范围内不能用平方差公式分解的是，A、，B、，D、，故选：C．【点睛】本题考查了公式法分解因式，不仅要掌握平方差公式的特点，还要对有理数的范围把握好．6．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可．【详解】A.能用平方差公式因式分解，故不符合题意；B.能用平方差公式因式分解，故不符合题意；C.不能用平方差公式因式分解，故符合题意；D.能用平方差公式因式分解，故不符合题意；故选择：C【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式分解因式的特点．题型三：运用完全平方公式因式分解7．（2023春·全国·八年级期中）下列各式：①；②；③；④，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】能利用完全平方公式因式分解的整式需满足：整式是“两数平方和与这两个数积的2倍”．利用完全平方公式的结构特点逐个分析得结论．【详解】解：，故①能用完全平方公式因式分解；整式与不满足两数平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解；整式的中间项不是与积的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解．故选：C．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式的结构特点是解决本题的关键．8．（2023春·浙江·八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．9．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对每个选项进行因式分解即可做出判断．【详解】解：A．，故选项不符合题意；B．，故选项不符合题意；C．不能用完全平方公式分解，故选项符合题意；D．，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．题型四：综合运行公式法因式分解10．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据公式法分别判断即可．【详解】A．，故原选项错误；B．，故原选项错误；C．，故原选项错误；D．，故原选项正确；故选D．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．11．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．12．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握“利用提取公因式与利用公式法分解因式”是解本题的关键．题型五：因式分解在有理数简算的应用13．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）计算的值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．14．（2022秋·八年级单元测试）利用因式分解简便计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因数，然后利用平方差公式进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．15．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）（1）先化简，再求值：，其中，；（2）已知，，求的值．【答案】，；【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行同类项的合并，最后代入，计算即可；（2）先提取公因式，再根据完全平方公式将原式进行因式分解，将原式转换为，再将，代入计算即可．【详解】解：（1）==，当时，原式===；（2）=====．一、单选题16．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解，逐项分析即可．【详解】因为，能因式分解，所以A不符合题意；因为，能因式分解，所以B不符合题意；因为不能因式分解，所以C不符合题意；因为，能因式分解，所以D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．17．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）下列因式分解：①；②；③；④，其中结果正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据因式分解逐项分析判断即可求解．【详解】解：①，故①不正确；②，故②正确；③，故③正确；④，故④正确,∴正确的有3个，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断即可解答．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了提公因式法与公因式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．19．（2023秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）已知是的三边，且满足，则此三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．以上都不对【答案】B【分析】将原式整理为完全平方式，然后根据平方式的非负性即可得出答案．【详解】解：∵，∴，即，∴，，∴，∴此三角形的形状一定是等边三角形，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．20．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．21．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期末）发现与探索．(1)根据小明的解答将因式分解；(2)根据小丽的思考，求代数式的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将改写为，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）根据题意，将化为，即可进行解答．【详解】（1）解：；（2）解：，无论a取何值都大于等于0，再加上，则代数式大于等于，则的最小值为．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握，．一、单选题22．（2023春·山东济南·八年级统考期末）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式：，进而判断得出答案．【详解】解：A、，能用完全平方公式进行因式分解；B、，不能用完全平方公式进行因式分解；C、，不能用完全平方公式进行因式分解；D、，不能用完全平方公式进行因式分解；故选：A．【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．23．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b、c是三条边的长，且满足条件，则的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到，从而得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形，故选A．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．24．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱数学 B．爱河南 C．河南数学 D．我爱河南【答案】D【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．【详解】解：，所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．25．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．【详解】解：A、应为，故选项错误，不符合题意；B、不能分解，故选项错误，不符合题意；C、不能分解，故选项错误，不符合题意；D、，故选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．26．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）已知，，，那么，代数式的值是（

）A． B．2022 C． D．3【答案】D【分析】先求解，，，再把原式化为，再代入求值即可．【详解】解：∵，，，∴，，，∴；故选D．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．27．（2023秋·河北廊坊·八年级统考期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河，爱，我，香，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱美 B．香河游 C．我爱香河 D．美我香河【答案】C【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．【详解】解：∵又∵，，，，分别对应下列四个个字：河，爱，我，香，∴结果呈现的密码信息是：我爱香河．故选：C．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．28．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）若，则代数式的值是（

）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023【答案】D【分析】把所给代数式变形后把代入计算即可．【详解】解：∵，∴．故选D．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．29．（2022秋·八年级单元测试）已知，则的值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，然后将代入计算即可．【详解】解：∵，∴，故选A．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，代数式的求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．二、填空题30．（2023春·全国·八年级期中）在实数范围内分解因式：______【答案】【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式分解即可求得答案．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握因式分解的步骤是关键．31．（2023春·全国·八年级期中）的面积为，斜边长为，两直角边长分别为，，则代数式的值为___________．【答案】【分析】根据两直角边乘积的一半表示出的面积，把已知面积代入求出的值，利用勾股定理得到，将代数式变形，把与的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵的面积为，∴，解得，根据勾股定理得：，则代数式．故答案为：．【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．32．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）已知，．（1）的值为______；的值为______；（2）若，则的值为______．【答案】

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6【分析】（1）利用完全平方公式求x的值；利用平方差公式法因式分解求解即可；（2）利用完全平方公式和提公因式法因式分解，将等式分组因式分解成含有、的等式，将、的值代入等式即可求出n的值．【详解】（1）解：；；故答案为：；；（2），，，，；，，，，解得，故答案为：6．【点睛】本题考查二次根式的运算、完全平方公式与平方差公式，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可以考虑整体代入是解题的关键．33．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）若，，则的值为______．【答案】15【分析】先提取公因式分解因式，在把，，代入原式计算即可．【详解】解：，把，，代入，原式，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握取公因式分解因式的方法是解题关键．34．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知，则多项式的值为_______．【答案】2022【分析】将多项式中含有字母的式子因式分解，然后整体代入可得结果．【详解】解：，∵，∴原式．故答案为：2022．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是利用整体代入思想解决问题．35．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）若，则代数式的值为___________．【答案】【分析】根据完全平方公式因式分解进而即可求解．【详解】解：∵∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握是解题的关键．三、解答题36．（2023春·广东深圳·八年级期中）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；（2）利用平方差法进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法分解因式是解题的关键．37．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）因式分解：(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）把看作整体，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）（2）【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．38．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法．阅读下列有配方法分解因式的过程：仿照上面方法，将下式因式分解；

（2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：①上述分解因式的方法是，共应用了次．②若分解，则需应用上述方法次，结果是．③分解因式：(n为正整数)．【答案】（1）；（2）①提取公因式，3