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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的部分图象如图所示,已知,函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到,则函数的解析式为()A. B.C. D.2.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()A. B.4 C.2 D.4.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④5.已知复数,为的共轭复数,则()A. B. C. D.6.已知椭圆的焦点分别为,,其中焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.8.“”是“,”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件9.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c10.复数的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.1312.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,且,则实数的值是__________.14.已知数列的前项和为,且成等差数列,,数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为______________.15.已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),则△PMF周长的最小值是_____.16.直线过圆的圆心,则的最小值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若恒成立,求的取值范围;(2)设函数的极值点为,当变化时,点构成曲线,证明:过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.18.(12分)在平面直角坐标系中,曲线:(为参数,),曲线:(为参数).若曲线和相切.(1)在以为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,求曲线的普通方程;(2)若点,为曲线上两动点,且满足,求面积的最大值.19.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;证明:.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)假设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点.①若A为椭圆的上顶点,M为线段AB中点,连接OM并延长交椭圆C于N,并且ON=62OM,求OB的长;②若原点O到直线l的距离为1,并且21.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作.设.(1)用表示线段并确定的范围;(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将的长度设计到最长,求的最大值.22.(10分)已知函数,.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得,利用周期公式可得,再根据图像过,即可求出,再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到,所以.故选:A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换,需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则,属于基础题.2.D【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【详解】,对应的点位于第四象限.故选:.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.3.A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用双曲线的定义可用表示出,,用勾股定理得出的等式,从而得离心率.【详解】.又,可令,则.设,得,即,解得,∴,,由得,,,该双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来,从而再由勾股定理建立的关系.4.D【解析】
利用线面平行和垂直,面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.【详解】当两个平面相交时,一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面,故①错误;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面,故③错误;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.综上,真命题是②④.故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,是中档题.5.C【解析】
求出,直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选:C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算,共轭复数,属于基础题.6.B【解析】
根据题意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【详解】易知,且故有,则故选:B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质,考查了学生的计算能力,属于中档题7.D【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.8.B【解析】
先求出满足的值,然后根据充分必要条件的定义判断.【详解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件,掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.9.A【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【详解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小关系为b>c>a.故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.10.C【解析】所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念,属于简单题.11.D【解析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.12.B【解析】
由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】∵=(1,2),=(x,1),则=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2﹣=2(1,2)﹣(x,1)=(2﹣x,3),∵∴3(1+2x)﹣4(2﹣x)=1,解得:x=.点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得,然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值.若=(a1,a2),=(b1,b2),则⊥⇔a1a2+b1b2=1,∥⇔a1b2﹣a2b1=1.14.1【解析】
本题先根据公式初步找到数列的通项公式,然后根据等差中项的性质可解得的值,即可确定数列的通项公式,代入数列的表达式计算出数列的通项公式,然后运用裂项相消法计算出前项和,再代入不等式进行计算可得最小正整数的值.【详解】由题意,当时,.当时,.则,.,,成等差数列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.满足的最小正整数的值为1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前项和,考查了转化思想、方程思想,考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力.15.5【解析】
△PMF的周长最小,即求最小,过做抛物线准线的垂线,垂足为,转化为求最小,数形结合即可求解.【详解】如图,F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=﹣2.过作准线的垂线,垂足为,则有,当且仅当三点共线时,等号成立,所以△PMF的周长最小值为55.故答案为:5.【点睛】本题考查抛物线定义的应用,考查数形结合与数学转化思想方法,属于中档题.16.【解析】
直线mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圆心(1,﹣1),可得m+n=1,再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【详解】∵mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圆心(1,﹣1),∴m+n﹣1=0,即m+n=1.∴()(m+n)=22+2=4,当且仅当m=n时取等号.∴则的最小值是4.故答案为:4.【点睛】本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见解析【解析】
(1)由恒成立,可得恒成立,进而构造函数,求导可判断出的单调性,进而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,则,,进而可得,即曲线的方程为,进而只需证明对任意,方程有唯一解,然后构造函数,分、和三种情况,分别证明函数在上有唯一的零点,即可证明结论成立.【详解】(1)由题意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,则.令,则,,,在上单调递增,又,时,;时,,即时,;时,,时,单调递减;时,单调递增,时,取最小值,.(2)证明:由,令,由,结合二次函数性质可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的极值点,则,,,曲线的方程为.故只需证明对任意,方程有唯一解.令,则,①当时,恒成立,在上单调递增.,,,存在满足时,使得.又单调递增,所以为唯一解.②当时,二次函数,满足,则恒成立,在上单调递增.,,存在使得,又在上单调递增,为唯一解.③当时,二次函数,满足,此时有两个不同的解,不妨设,,,列表如下:00↗极大值↘极小值↗由表可知,当时,的极大值为.,,,,,..下面来证明,构造函数,则,当时,,此时单调递增,,时,,,故成立.,存在,使得.又在单调递增,为唯一解.所以,对任意,方程有唯一解,即过原点任意的直线与曲线有且仅有一个公共点.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用,考查不等式恒成立问题,考查利用单调性研究图象交点问题,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于难题.18.(1);(2)【解析】
(1)消去参数,将圆的参数方程,转化为普通方程,再由圆心到直线的距离等于半径,可求得圆的普通方程,最后利用求得圆的极坐标方程.(2)利用圆的参数方程以及辅助角公式,由此求得的面积的表达式,再由三角函数最值的求法,求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意得:,:因为曲线和相切,所以,即:;(2)设,所以所以当时,面积最大值为【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程,考查直角坐标方程转化为极坐标方程,考查利用参数的方法求三角形面积的最值,属于中档题.19.(1);(2)见解析【解析】分析:第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上,从而建立关于的等量关系式,从而求得结果;第二问可以有两种方法,一是将不等式转化,构造新函数,利用导数研究函数的最值,从而求得结果,二是利用中间量来完成,这样利用不等式的传递性来完成,再者这种方法可以简化运算.详解:(1)解:,由题意有,解得(2)证明:(方法一)由(1)知,.设则只需证明,设则,在上单调递增,,使得且当时,,当时,当时,,单调递减当时,,单调递增,由,得,,设,,当时,,在单调递减,,因此(方法二)先证当时,,即证设,则,且,在单调递增,在单调递增,则当时,(也可直接分析显然成立)再证设,则,令,得且当时,,单调递减;当时,,单调递增.,即又,点睛:该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题,在求解的过程中,涉及到的知识点有导数的几何意义,有关切线的问题,还有就是应用导数证明不等式,可以构造新函数,转化为最值问题来解决,也可以借用不等式的传递性,借助中间量来完成.20.(1)x22+y2【解析】
(1)根据椭圆的几何性质可得到a2,b2;(2)联立直线和椭圆,利用弦长公式可求得弦长AB,利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离,从而可求得三角形面积,再用单调性求最值可得值域.【详解】(1)因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,所以a=2又由右准线方程为x=2,得到a2解得a=2,c=1,所以所以,椭圆C的方程为x2(2)①设B(x1,y1∵ON=6因为点B,N都在椭圆上,所以x122+y12所以OB=x②由原点O到直线l的距离为1,得|m|1+k2联立直线l的方程与椭圆C的方程:y=kx+mx2设A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面积S==1因为S=2λ(1-λ)在[并且当λ=45时,S=225所以△OAB的面积S的范围为[10【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求
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