2025年高考数学一轮复习-3.4-函数的应用-专项训练【含答案】

函数性质的综合应用一、单项选择题1．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a2．已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[－1，1]时，f(x)＝ax－1，则f(2024)＝()A．－1 B．－2C．0 D．23．已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为()A．(－∞，3) B．(3，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)4．若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，对∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称B．函数f(x)的图象关于直线x＝2成轴对称C．在区间(2，3)上，f(x)单调递减D．f−72＞5．已知定义在R上的偶函数f(x)，∀x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当0≤x≤3时，f(x)＝2x－6，则f(2023)＝()A．0 B．－2C．－4 D．26．)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不间断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于点(2，0)对称；丙：f(22)＝0；丁：f(x＋6)＝f(x)．如果有且仅有一个假命题，则该命题是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁7．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋f(2－x)＝4，g(x)＝f(x－1)＋1，若g(x＋1)为偶函数，且f(2)＝0，则g(2022)＋g(2023)＝()A．5 B．4C．3 D．08．已知函数f(x)的定义域为R，若f(2－x)＝f(x)，且f(x＋2)＋2为奇函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝()A．－5085 B．－4046C．985 D．2046二、多项选择题9．已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有()A．f(x)图象关于直线x＝－1对称B．g(2023)＝1C．g(x)的周期为4D．对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)10．(2024·江苏连云港期中)已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x)是偶函数，f(2x－1)＋1是奇函数，则()A．f(0)＝－1B．f(1)＝－1C．4是函数f(x)的一个周期D．函数f(x)的图象关于直线x＝9对称三、填空题11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2025)＝________．12．若函数f(x)称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x值，均有f(x)＋f(2a－x)＝2b，则a＝2，b＝2的一个“准奇函数”为________．(填写解析式)13．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝()A．－21 B．－22C．－23 D．－2414．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，若实数a满足f(a)＋f(1－2a)>0，则a的取值范围是________参考答案1．C[易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数．又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.故选C.]2．A[根据题意，函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为直线x＝－1，则有f(x)＝f(－2－x)，又由函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，则f(x)＝－f(2－x)，则有f(－2－x)＝－f(2－x)，则f(x＋4)＝－f(x)，则有f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数，则f(2024)＝f(0＋253×8)＝f(0)＝－1.故选A.]3．A[因为f(x－1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3.故选A.]4．C[f(4－x)＝f[2－(x－2)]＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2，0)成中心对称，A错误；∵f(2－x)＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称，B错误；根据题意可得，f(x)在(0，1)上单调递增．∵f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称，点(2，0)或中心对称，则f(x)在(2，3)内单调递减，C正确；又∵f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4，则f−72＝f12＜5．C[依题意∀x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，则f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，故f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，故f(2023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2×1－6＝－4.故选C.]6．D[甲正确时，f(x)＝－f(－x)；乙正确时，f(x)＝－f(4－x)，若甲、乙都正确，则f(x)＝－f(－x)＝f(4＋x)，则周期T＝4，则由f(2)＝－f(－2)，f(2)＝f(－2)，可得f(2)＝0，则f(22)＝f(2)＝0，故丙正确；丁正确时，则f(x)的周期为6，这与上面得到的周期T＝4互相矛盾．由四个命题有且仅有一个假命题，则丁错误．故选D.]7．B[∵f(x)＋f(2－x)＝4，∴f(x)以点(1，2)为对称中心，且f(1)＝2.∵g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＋1＝f(－x)＋1，∴f(x)为偶函数，以y轴为对称轴．∴f[－(2－x)]＝f(2－x)，即f(x－2)＝f(2－x)，由f(x)＋f(2－x)＝4知，f(x＋2)＋f(x)＝4，∴f(x＋2)＝f(2－x)，f(x＋2)＝f(x－2)，从而f(x＋2＋2)＝f(x＋2－2)，即f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴g(x)的周期为4，故g(2022)＋g(2023)＝g(2)＋g(－1)＝f(1)＋1＋f(－2)＋1＝2＋1＋0＋1＝4.故选B.]8．B[令g(x)＝f(x)＋2，因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(2－x)＝g(x)，因为f(x＋2)＋2为奇函数，所以f(x)的图象关于点(2，－2)对称，且f(2)＋2＝0，所以f(2)＝－2，所以函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，即函数g(x＋2)为奇函数，所以g(－x＋2)＝－g(x＋2)，所以g(x＋2)＝－g(x)，所以g(x＋4)＝－g(x＋2)＝g(x)，即f(x＋4)＋2＝f(x)＋2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(0)＝f(2)＝－2，因为f(x)的图象关于点(2，－2)对称，所以f(1)＋f(3)＝2f(2)＝－4，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－8，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝－8×20244－f故选B.]9．ACD[由f(x)的对称中心为点(0，0)，对称轴为直线x＝1，得f(x)的图象也关于直线x＝－1对称，且f(x)＝f(2－x)，A，D正确；由A分析知，f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，则g(x)的周期为4，g(2023)＝f(2024)＝f(0)＝0，B不正确，C正确．故选ACD.]10．BC[因为f(2x－1)＋1是R上的奇函数，所以f(－2x－1)＋1＝－[f(2x－1)＋1]，整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2，令x＝0得，2f(－1)＝－2，解得f(1)＝－1，B正确，将2x替换为x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2①，又因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，将x替换为x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)②，由①②得f(x＋2)＋f(x)＝－2③，则f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2④，③－④得f(x＋4)＝f(x)，故4是函数f(x)的一个周期，C正确；因为f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2，故f(x)关于点(1，－1)中心对称，又因为4是函数f(x)的一个周期，所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1，故f(x)关于点(9，－1)中心对称，D错误，因为f(x)关于点(1，－1)中心对称，故点(0，f(0))与点(2，f(2))关于点(1，－1)中心对称，无法得到f(0)＝－1，A错误．故选BC.]11．0[用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0．所以f(2025)＝0．]12．f(x)＝2x−3x−2(x≠2)(答案不唯一)[由f(x)＋f(2a－x)＝2b，知“准奇函数”f(x)的图象关于点(a，b)对称，若a＝2，b＝2，即f(x)图象关于点(2，2)对称，如y＝1x向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度，得到f(x)＝2＋1x−213．D[因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2)，因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)，因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6，因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.故选D.]14．(0，1)[对于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1