2023-2024学年山东省济宁市高一下学期期末质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省济宁市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若2iz=1−i，则z=(

)A.1+i B.1−i C.−1−i D.−1+i2.已知向量a=1,m，b=4,6，c=1,1，若A.2 B.−2 C.12 D.3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数N为(

)A.744 B.620 C.372 D.1624.如图是函数fx=3tanA.3tan2x+π6C.3tan4x+π5.在▵ABC中，BD=13DC，记AB=m，A.3m−2n B.3n−2m6.对24小时内降落在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：积水厚度(mm)0∼1010∼2525∼5050∼100等级小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级(

)

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨7.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为(

)

A.s⋅sinβ⋅tanθsina+β B.s⋅8.设函数fx=Asinωx+φ(A、ω、φ都是常数，A>0，ω>0)，若fx在区间0,π3A.3π2 B.π C.π2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.把函数fx=sin4x−π3图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3A.sin2x+2π3 B.sin2x+π310.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：同学第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲(投中个数)67564389乙(投中个数)84676575记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为s甲2、A.x甲>x乙 B.x甲=11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，OA.PO⊥B1C

B.直线PA与BD所成角的余弦值为105

C.PO与平面ABB1A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据的第75百分位数是

．13.某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面ABC是边长为12(单位：厘米)的正三角形，▵DAC，▵EBC，▵FAB均为正三角形，且他们所在的平面都与底面ABC垂直，则该几何模型的体积为

立方厘米．

14.已知▵ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足AP=2AB+AC，且PA+PB⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了45,55,55,65，65,75,75,85，85,95((1)估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数；(2)估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数．16.(本小题15分)设向量a=2sinx,cos(1)若a−3b⊥(2)若fx=a−b，x∈0,17.(本小题15分)如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆O于点E．(1)证明：AC⊥平面PDE；(2)证明：EF//平面PBC．18.(本小题17分)记锐角▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a−2ccosC+ccos(1)证明：B=2C；(2)若BD=12DC，AD=763(3)若cosA−C+λsinB19.(本小题17分)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作a,b.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模a×b=a⋅bsina(1)求AB的长；(2)若E为AD的中点，求二面角P−EB−A的余弦值；(3)若M为PB上一点，且满足AD×BP=λEM，求答案解析1.D

【解析】由2iz=1−i得出故选：D．2.A

【解析】因为a=1,m，b=所以b−2又a//b−2c，所以故选：A3.C

【解析】依题意可得96N=16故选：C4.B

【解析】由图知f(x)的最小正周期为π2∴T=π∴ω=2，又f(x)过点(0,3)，∴3tan∵φ∴φ=π∴f(x)=故选：B．5.D

【解析】因为BD=13所以AD=所以4AD=3AB故选：D6.C

【解析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半，且下底面半径是50mm，上底面半径是150mm，可得圆台中雨水的上底面半径是150+502所以雨水的厚度为13π×100故选：C．7.A

【解析】在▵BCD中，由正弦定理可知：BCsin在直角三角形ABC中，tan∠ACB=故选：A8.B

【解析】记函数f(x)的最小正周期为T，则T2≥π又fπ3=f又0+π32=π函数fx的

一条对称轴为x=π3∴T4=故选：B．9.BC

【解析】把函数fx=sin4x−π把y=sin2x−π3向左平移即gx又cos2x−cos2x+sin2x+故满足题意的有B、C．故选：BC10.BD

【解析】根据题意，x甲x乙=8+4+6+7+6+5+7+5s甲s乙所以s甲故选：BD11.ABD

【解析】对于A：∵O为下底面的中心，P为DD1的中点，连∴PO//D1B，AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，又BD∩DD1=D，BD,DD1⊂平面又D1B⊂平面BDD1B1，所以D1

对于B，取C1C的中点E，连接PE、BE、DE、OE，则AB//DC且PE=DC且PE//DC，所以AB//PE且AB=PE，所以四边形ABEP为平行四边形，所以AP//BE，∴直线PA与BD所成角为∠DBE，又DE=BE=12+122=52∴cos∠DBE=BOBE=25对于C：∵PO//D1B，又D∴PO与平面ABB1A1所成角为∠D又tan∠∴PO与平面ABB1A1所成角不为对于D：如图，由A可知AC⊥D1B，D1B⊥B1所以D1B⊥平面又▵AB1C设D1B⋂B1O=H，则易知H为靠近B的D∴D1H=23则I在D1B上，设D1I=t，球的半径为∴IH=D又易知AH=23×2∴在Rt▵AIH与▵DR2=(∴R∴三棱锥B1−PAC的外接球的表面积为4πR故选：ABD．12.8

【解析】因为6×75%=4.5，所以第75百分位数是8．故答案为：813.486

【解析】将几何体补全为正三棱柱，如图所示，

D,E,F分别为A1底面ABC是边长为12(单位：厘米)的正三角形，且▵DAC，▵EBC，▵FAB均为正三角形，所以则该几何模型的体积为：V=1故答案为：486．14.10【解析】如图，以AB,AC为邻边做平行四边形ABDC，即AB+由AP=2AB+AC，可得所以AD=BP，则AB=DP，又即C,D,P三点共线，由PA+即PA+即PA2−PB设AB=m，则PD=DC=m,PA=PB=PC=2m，利用余弦定理，cos∠BAP=且∠BAP=∠APC，所以cos∠APC=则AC则AC=6m由等腰三角形可知∠BAP,∠PAC都是锐角，所以sin∠BAP=所以sin=故答案为：1015.解：(1)因为各组频率之和为1，组距为10，所以10×0.01+m+0.035+0.02+0.01=1，解得该用户早上开车从家到公司的

红灯等待时间不超过60秒的概率为：10×0.01+所以该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数约为：200×0.225=45．(2)该用户从家到公司的

导航过程中的红灯等待时间的平均数约为：0.1×50+0.25×60+0.35×70+0.2×80+0.1×90=69.5.

【解析】(1)根据频率之和为1以及直方图数据先求m，再求等待时间不超过60秒的概率，即可得次数；(2)由频率分布直方图中平均数的公式求解．16.解：(1)根据题意，a−3b⊥即a⋅化简为2所以tanx−y(2)a−|=4si=5−6sin所以f(x)=所以fx+由x∈0,5π所以sin2x+π3所以fx+π6【解析】(1)根据题意，a−3b⊥(2)先求出f(x)=a17.解：(1)由题意，PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC，由AB为圆锥PO底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知BC⊥AC，因为D、分别为AC的中点，所以BC//DE，则DE⊥AC，又因为PO,DE⊂平面PDE，PO∩DE=D，所以AC⊥平面PDE；(2)连接DF，因为D、F分别为AC、PA的中点，所以DF//PC，又DF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DF//平面PBC，同理可得DE//平面PBC，而DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF，所以平面DEF//平面PBC，又EF⊂平面DEF，所以EF//平面PBC．

【解析】(1)由题意，可得PO⊥AC，BC⊥AC，而BC//DE，所以DE⊥AC，可证AC⊥平面PDE；(2)连接DF，可证DF//平面PBC，DE//平面PBC，从而平面DEF//平面PBC，所以EF//平面PBC．18.解：(1)因为a−2ccos由正弦定理得(sin所以sinA所以sin(A+C)=所以B=2C或B+2C=π，因为a>c，所以A>C，又A+B+C=π，所以B+2C=π不可能成立，所以B=2C．(2)由cosB=13>0，因为B=2C，所以cosB=因为C∈0,π2，所以cos所以cosA=−因为BD=12所以AD=将其两边平方得AD2所以769由正弦定理知，bsin因为B=2C，所以sinB=所以bc联立①②解得b=26，(3)因为▵ABC为锐角三角形，且A>C，所以0<A<π20<B<π2所以π3<2C<π又cos(A−C)+λ令t=sin2C，则所以cos(A−C)+λsinB=2因为cos(A−C)+λ所以t=−λ4∈(故实数λ的取值范围为−4,−2

【解析】(1)利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，化简得证；(2)结合二倍角公式与两角和的余弦公式，求出cosA的值，再由AD=23AB(3)由▵ABC为锐角三角形，推出π6<C<π4，再根据A，B，19.解：(1)因为底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，所以AD//BC，BC⊥DC，又BC⊂底面ABCD，所以PD⊥BC，又PD∩DC=D，PD,DC⊂平面PDC，所以BC⊥平面PDC，又PC⊂平面PDC，所以BC⊥PC，所以∠PBC为直线AD与PB所成的角，即AD,设AB=xx>0，则PC=x在Rt▵PBC中sin∠PBC=又AD×BP=85，所以4所以AB=2；(2)在平面ABCD内过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接PF，因为PD⊥底面ABCD，BF⊂底面ABCD，所以PD⊥BF，又DF∩PD=D，DF,PD⊂平面PDF，所以BF⊥平面PDF，又PF⊂平面PDF，所以BF⊥PF，所以∠PFD为二面角P−EB−D的平面角，因为E为AD的中点，所以DF=2sinπ4所以cos∠PFD=设二面角P−EB−A的平面角为θ，则θ=π−∠PFD，所以cosθ=即二面角P−EB−A的余弦值为−1(3)依题意AD×BP⊥AD，所以EM⊥AD，EM⊥BP，又AD//BC，所以EM⊥BC，又PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，所以EM⊥平面PBC，在平面PDC内过点D作DN⊥PC，垂足为N，由BC⊥平面PDC，DN⊂平面PDC，所以BC⊥DN，又PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，所以DN⊥平面PBC，在平面PBC内过点N作MN//BC交PB于点M，在DA上取点E，使得DE=MN，连接EM，所以DE//MN且DE=MN，所以四边形DEMN为平行四边