2025高考数学一轮复习-6.2-等差数列及其前n项和-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-6.2-等差数列及其前n项和-专项训练【原卷版】[A级基础达标]1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn,若a1=1,a3A.6 B.7 C.8 D.92.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6A.150 B.120 C.75 D.603.已知等差数列{an}满足S30=120,A.2n−25 B.2n−27 C.3n−4.已知数列{an}满足a1=1,a2=A.50492 B.2525 C.50512 D.5.（多选）已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为SnA.d<0 B.a10=0 C.S6.将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{an}7.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式a8.已知数列{an}满足a1=2,a2=49.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n−1（1）求数列{an（2）证明数列{bn2n}[B级综合运用]10.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′,BB′,CC′,DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1,CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.911.（多选）已知数列{an}的前n项和为A.若Sn=n2B.若an=−2n+11C.若an=−2n+11D.若数列{an}为等差数列，且a1011<0,a1011+12.（多选）两个等差数列{an}和{bn}，其公差分别为d1和d2，其前nA.若{Sn}B.若{Sn+TC.若{anbnD.若bn∈N∗，则{13.韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将.历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法.有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四.韩信很快就知道了士兵的人数.设有m个士兵，若m∈[2021,3021]，则符合条件的14.记Sn为数列{an}的前n（1）证明：{an（2）若a4,a7,a9成等比数列，求[C级素养提升]15.（多选）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第n天所织布的尺数为an,bn=2anA.b10=8b5C.a1b30=10516.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2S（1）若λ=1，求S（2）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出2025高考数学一轮复习-6.2-等差数列及其前n项和-专项训练【解析版】[A级基础达标]1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn,若a1=1,a3=5A.6 B.7 C.8 D.9[解析]选C.因为d=a3−a12=2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+aA.150 B.120 C.75 D.60[解析]选D.由等差数列的性质可知a6+a7+S15=3.已知等差数列{an}满足S30=120,a3A.2n−25 B.2n−27 C.3n−[解析]选B.设等差数列{an}的公差为则S30=a3解得d=2又S30=解得a1=−25.所以故选B.4.已知数列{an}满足a1=1,a2=2A.50492 B.2525 C.50512 D.[解析]选C.由已知an+2−aan+1−an=a2−a1+1所以an−an−1+…+a5.（多选）已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且SA.d<0 B.a10=0 C.S[解析]选BCD.由于S9=S10=S9+a10，所以a10由于d>0，a10=0,所以当1≤n≤9,S18=6.将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{an}[解析]因为数列{2n−1}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{3n−2}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}7.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式an=[解析]设{an}的公差为d,由题意得，所以a1+d<a1d<a1+2d,又a18.已知数列{an}满足a1=2,a2=4[解析]由题意可得a1=2,a3=4,a5=6,a7=8,a9=10,…，和a2=奇数项和偶数项分别构成等差数列，所以S10=9.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n−1（1）求数列{an[答案]解：当n=1时，a当n≥2时，a因为a1=1符合上式，所以（2）证明数列{bn2n}[答案]因为bn+所以bn+1−2又b12所以数列{bn所以bn2所以bn=[B级综合运用]10.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′,BB′,CC′,DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1,CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9[解析]选D.如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2=4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1=k3−0.2，k2=k3−0.1，所以CC1=DC1k311.（多选）已知数列{an}的前n项和为SnA.若Sn=n2B.若an=−2n+11C.若an=−2n+11D.若数列{an}为等差数列，且a1011<0,a1011+[解析]选CD.对于A，当n=1时，a1=S1=1当n=1所以an=对于B，因为an=−2n+11,所以∣an∣=对于C，由an=−2n+11可知数列{an}所以当n=5时，S对于D，因为数列{an}为等差数列，所以S2021=a1+a2021×综上所述，选CD.12.（多选）两个等差数列{an}和{bn}，其公差分别为d1和d2，其前n项和分别为A.若{Sn}B.若{Sn+TC.若{anbnD.若bn∈N∗，则{[解析]选AB.由题意得Sn=d12若数列为等差数列，则其通项公式形如kn+b，所以若数列{Sn}为等差数列，则有aSn+Tn=d1+当d1=0或d2=因为an=a1+n−1d1,bn=b113.韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将.历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法.有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四.韩信很快就知道了士兵的人数.设有m个士兵，若m∈[2021,3021]，则符合条件的[解析]由“三三数之，剩二”知最小数是5，m是等差数列5，8，11，14，…中的项，其中满足“五五数之，剩三”的最小数是8，故m是等差数列8，23，38，53，…中的项，其中满足“七七数之，剩四”的最小数是53，故m是等差数列53，158，263，368，…中的项，可得通项公式an=53+105n−1，令2021≤53+14.记Sn为数列{an}的前n（1）证明：{an[答案]解：证明：由2Snn+n所以2Sn②-①，得2an化简得an+所以数列{an（2）若a4,a7,a9成等比数列，求[答案]由（1）知数列{an由a72=a4解得a1=−所以Sn=12所以当n=12或13时，Sn取得最小值，最小值为[C级素养提升]15.（多选）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第n天所织布的尺数为an,bn=2an，对于数列A.b10=8b5C.a1b30=105[解析]选BD.由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d,由题意可得a1=5,因为bn=2an,所以b因为5d=5×1629所以b10≠a30=a1+a4=a1+3d=516.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2S（1