2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【原卷版】[A级基础达标]1.已知向量a=−2,6，b=1,x，若A.−30 B.30 C.−100 D.2.已知向量a，b满足a=5,25，a⋅b=A.5 B.6 C.7 D.83.已知正方形ABCD的边长为3，DE=2EC，则A.3 B.−3 C.6 D.−4.已知单位向量a，b满足a⋅b=0，若向量c=A.73 B.23 C.79 5.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，OA=ABA.14BC B.34BC C.−16.[湖南临澧高三模拟]（多选）已知向量a=1,3A.a+b⊥aC.向量a与向量b的夹角为3π4 D.b在a上的投影向量的坐标是7.[广东东莞模拟]（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若F1=F2且F1A.F1的最小值为12G B.θC.当θ=π2时，F1=22G8.[山东招远模拟]（多选）在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=2，AC=4，点P在△ABCA.258 B.8 C.52 D.9.[上海高三开学考试]已知点A−2,3，B1,−110.[高考全国卷甲]设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=311.已知向量b=1,3，向量a满足acos⟨a,b⟩=−6，则a⋅12.在△ABC中，点O为其外心，2OA+2OB+OC=0[B级综合运用]13.若O在△ABC所在的平面内，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件a⋅OA+b⋅OB+A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心14.[北京西城区模拟]已知△ABC为等边三角形，且边长为2，则AB与BC的夹角大小为，若BD=1,CE=EA，则AD15.[湖南高三模拟]已知平面向量a,b，c均为单位向量,且a−b=1，则a−16.已知平面上两个不共线的向量a,b，其中a=1,2（1）若a+2b⊥2a−b（2）若向量a在向量b上的投影向量为−12b，求向量[C级素养提升]17.[山西忻州模拟]圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB是圆O的一条直径，且AB=4,C,D是圆O上的任意两点，CD=2，点P在线段CDA.[3,2] B.[−1,0]18.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,向量m=sinA,sinB,（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA⋅AB2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【解析版】[A级基础达标]1.已知向量a=−2,6，b=1,x，若aA.−30 B.30 C.−100 D.[解析]选D.由已知得a与b共线，则−2x=1×6,解得x=−3,所以b=2.已知向量a，b满足a=5,25，a⋅b=6A.5 B.6 C.7 D.8[解析]选B.由题知，a=5+20=5.又a⋅b=6，a−3.已知正方形ABCD的边长为3，DE=2EC，则AE⋅A.3 B.−3 C.6 D.−[解析]选A.因为正方形ABCD的边长为3，DE=2EC，则4.已知单位向量a，b满足a⋅b=0，若向量c=7aA.73 B.23 C.79 [解析]选B.因为a=b且a⋅b=0所以c=7a⋅c所以cos⟨a,因为⟨a,所以sin⟨a,5.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，OA=AB，则向量A.14BC B.34BC C.−1[解析]选A.由2AO=AB+AC知，O因为O为△ABC所以OA=OB因为OA=AB所以AB=OB所以△AOB为正三角形，∠ABO所以BA在BC上的投影向量为12BO6.[湖南临澧高三模拟]（多选）已知向量a=1,3，bA.a+b⊥aC.向量a与向量b的夹角为3π4 D.b在a上的投影向量的坐标是[解析]选AC.对于A，a+b=3,−1，则对于B，2a+b=4对于C，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ=a⋅bab=−对于D，b在a上的投影向量为bcos3π4⋅7.[广东东莞模拟]（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若F1=F2且F1与FA.F1的最小值为12G B.θC.当θ=π2时，F1=22G[解析]选ACD.由题意知，F1+F2+G=0，可得F1+F2=−G，两边同时平方得G2=F12+F22+2F1⋅F2cosθ=2F8.[山东招远模拟]（多选）在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=2，AC=4，点P在△ABC斜边BCA.258 B.8 C.52 D.[解析]选CD.以A为坐标原点，以AB，AC的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则B2,0，C0,4，D1,所以PB=2−x,−2x，则PB+PC所以PB+=−10x所以当x=12时，数量积取得最大值52，当x=1或即PB+PC9.[上海高三开学考试]已知点A−2,3，B1,−1[解析]由题知，AB=3AB=3则AB的单位向量为ABAB=10.[高考全国卷甲]设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3[解析]设a与b的夹角为θ，则cosθ=又a=1，b=3所以2a+11.已知向量b=1,3，向量a满足acos⟨a,b⟩=−6，则a⋅b=[解析]设a,b的夹角为θ，因为b=1,3，所以b=1+3=2.因为acosθ=−6，所以a⋅b=12.在△ABC中，点O为其外心，2OA+2OB+OC=0[解析]设△ABC外接圆的半径是R由2OA+2OB+则有2⋅OA即2R2化简得cos∠BOC=−设∠BOC=2θ，则在等腰三角形BOC中，sinθ=[B级综合运用]13.若O在△ABC所在的平面内，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件a⋅OA+b⋅OB+c⋅A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心[解析]选C.因为OB=OA+AB,OC=所以a+b+c⋅设AP=ABAB+ACAC，又ABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，所以AP平分∠BAC.又AO，AP共线，故AO平分∠BAC，同理可得BO平分∠ABC，CO14.[北京西城区模拟]已知△ABC为等边三角形，且边长为2，则AB与BC的夹角大小为120∘，若BD=1,CE=EA，则[解析]由题意知，如图，B=60所以⟨AB,因为BD=1，所以点D在以点B因为CE=EA，所以点E为AC则BE=1又AD=AB所以AD⋅=−1=−1=−3+BD⋅=−3+又⟨BD,所以cos⟨BD,所以AD⋅BE15.[湖南高三模拟]已知平面向量a,b，c均为单位向量,且a−b=1，则a−[解析]由题得a−b2=a所以a−=12因为cos⟨a−b,c所以a−b⋅b−16.已知平面上两个不共线的向量a,b，其中a=1,2（1）若a+2b⊥2a−b[答案]解：因为a=1所以a=1因为a+2所以a+2即2a2所以a⋅b则cos⟨a,（2）若向量a在向量b上的投影向量为−12b，求向量[答案]由题意得a⋅cos⟨a则cos⟨a,设b=x则a⋅解得x=65,所以b=65,−8[C级素养提升]17.[山西忻州模拟]圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB是圆O的一条直径，且AB=4,C,D是圆O上的任意两点，CD=2，点P在线段CD上，则PAA.[3,2] B.[−1,0][解析]选B.如图，O为圆心，连接OP，则PA⋅PB因为点P在线段CD上，且CD=2则圆心到CD所在直线的距离d=22−1所以3≤PO2≤4，则−1≤PO18.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,向量m=sinA,sinB,（1）求