2025高考数学一轮复习-3.3导数与函数的极值、最值-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-3.3导数与函数的极值、最值-专项训练基础巩固练1.如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.42.设函数f(x)=2x+lnx,则(A.x=12为f(x)B.x=12为f(x)C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点3.若x=1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极大值为()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.14.当x=1时,函数f(x)=alnx+b+1x取得极小值4,则a+b=(A.7 B.8 C.9 D.105.函数f(x)=x2ex+1在x∈[-1,3]A.1 B.9e-4 C.0 D.4e-36.已知函数f(x)=xex-a和g(x)=lnxx+b有相同的极大值,则A.2 B.0 C.-3 D.-17.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内切于底面半径为1,高为2的圆锥,当正四棱柱的体积最大时,该正四棱柱的底面边长为()A.223 B.23 C.2 D8.(多选题)已知函数f(x)=xlnx+x2,x0是函数f(x)的极值点,下列结论中正确的有()A.0<x0<1e B.x0>C.f(x0)+2x0<0 D.f(x0)+2x0>09.已知函数f(x)=lnx-ax存在最大值0,则a=.10.已知函数f(x)=2xlnx,g(x)=-x2+ax-3.对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.综合提升练11.已知f(x)是定义域为R的偶函数,若当x≤0时,f(x)=(x+1)3ex+1,则函数f(x)的极值点的个数是()A.5 B.4 C.3 D.212.(多选题)已知函数f(x)=(x-2)ex-ax2+2ax-2a,若f(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1<x2),且当0<x<x2时,恒有f(x)<-2a,则a的可能取值有()A.a=e2 B.a=eC.a=e2 D.a=13.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|{1+[f'(x)]2}32,则曲线f(x)=x在(1,1)处的曲率为;正弦曲线g(14.(2023南通检测)已知函数f(x)=ax-lnx-ax(1)若x>1,f(x)>0,求实数a的取值范围.(2)设x1,x2是函数f(x)的两个极值点,证明:|f(x1)-f(x2)|<1-创新应用练15．(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x.(2)已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.参考答案1.A2.D3.C4.A5.C6.B7.A8.AD9.10.解由题可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥g(x)恒成立,即2xlnx≥-x2+ax-3在x∈(0,+∞)上恒成立,得a≤2lnx+x+3x在x∈(0,+∞)上恒成立.设h(x)=2lnx+x+3x(x>0),则h'(x)=2x−3x2+1=(x+3)(x-1)x2.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=2ln1+1+31=4,11.C12.BD13.2514.(1)解依题意得,f'(x)=a-1x+ax①当a≤0时,在x∈(1,+∞)上,f'(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)<f(1)=0,所以a≤0不符合题设.②当0<a<12时,令f'(x)=0,得ax2-x+a=0,解得x1=1-1-4a22a所以当x∈(1,x2)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,x2)上单调递减,此时f(x)<f(1)=0,所以0<a<12不符合题设③当a≥12时,判别式Δ=1-4a2≤0,所以f'(x)≥0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(1)=综上,实数a的取值范围是1(2)证明由(1)知,当0<a<12时,f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,所以x1是f(x)的极大值点,x2是f(x)的极小值点.由(1)知,x1x2=1,x1+x2=1a,则x2-x1=(x1+x2)2-4x1x2=1-4a2a.综上,要证|f(x1)-f因为x2-x1-f(x1)+f(x2)=(a+1)(x2-x1)-lnx2x1+a(x2-x1)x1x2=2a=2(x2=2x2x1-11+x2x1+x2x1−x1x2-lnx2x1,设t=x2x1>1,则g(t)=2(t-1)t+1+所以x2-x1-f(x1)+f(x2)>0,即f(x1)-f(x2)<x2-x1成立,所以原不等式成立.15.(1)证明构建F(x)=x-sinx,x∈(0,1),则F'(x)=1-cosx>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则F(x)在(0,1)上单调递增,可得F(x)>F(0)=0,所以x>sinx,x∈(0,1).构建G(x)=sinx-(x-x2)=x2-x+sinx,x∈(0,1),则G'(x)=2x-1+cosx,x∈(0,1).构建g(x)=G'(x),x∈(0,1),则g'(x)=2-sinx>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则g(x)在(0,1)上单调递增,可得g(x)>g(0)=0,即G'(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则G(x)在(0,1)上单调递增,可得G(x)>G(0)=0,所以sinx>x-x2,x∈(0,1).综上所述,x-x2<sinx<x.(2)解令1-x2>0,解得-1<x<1,即函数f(x)的定义域为(-1,1),若a=0,则f(x)=-ln(1-x2),x∈(-1,1).因为y=-lnu在定义域内单调递减,y=1-x2在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,则f(x)=-ln(1-x2)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,故x=0是f(x)的极小值点,不合题意,所以a≠0.当a≠0时,令b=|a|>0,因为f(x)=cosax-ln(1-x2)=cos(|a|x)-ln(1-x2)=cosbx-ln(1-x2),且f(-x)=cos(-bx)-ln[1-(-x)2]=cosbx-ln(1-x2)=f(x),所以函数f(x)在定义域内为偶函数,由题意可得,f'(x)=-bsinbx-2xx2-1,x(ⅰ)当0<b2≤2时,取m=min1b,1,x∈(0,m),则bx由(1)可得f'(x)=-bsinbx-2xx2-1>-b2x-2xx2-1=x(b2x2+2-b2)1-x即当x∈(0,m)⊆(0,1)时,f'(x)>0,则f(x)在(0,m)上单调递增,结合偶函数的对称性可知,f(x)在(-m,0)上单调递减,所以x=0是f(x)的极小值点,不合题意.(ⅱ)当b2>2时,取x∈0,1b⊆(0,1),由(1)可得f'(x)=-bsinbx-2xx2-1<-b(bx-b2x2)-2xx2-1=x1-x2构建h(x)=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2,x∈0,1b,则h'(x)=-3b3x2+2b2x+b3,x∈0,1b,且h'(0)=b3>0,h'1b=b3-b>0,则h'(x)>0对任意的x∈0,1b恒成立,可知h(x)在0,1b上单调递增,且h(0)=2-b2<0,h1b=2>0,所