中考数学二轮复习-专题11 动点几何+函数图像 解析版

二轮复习2023-2024年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题11——动点几何+函数图像（重庆专用）1．（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．动点P从B出发以1cm/s的速度向C运动，动点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为t．把线段AP绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接BE，CE．运动过程中△BCE的面积记为S△BCE，且y

(1)求出y1、y2的函数关系式，并写出(2)在图2的平面直角坐标系中，画出y1、y2的函数图象，并写出函数y2(3)结合图象，当y1≥y【答案】(1)y1=6+t(2)当0≤t<4时，y随x的增大而减小（当4≤t≤6时，y随x的增大而增大）．图见解析(3)1.5≤t≤6【分析】（1）由两个动点的移动速度可知BP=t，CQ=2t，点P与点Q相遇前PQ=BC−BP−CQ，点P与点Q相遇后，PQ=BP+CQ−BC，由此可得y2的函数关系式；过点E作EF⊥AD于点F，根据AAS证明△BAP≌△FAE，推出EF=BP=t，可得y（2）根据（1）中所求函数关系式，在坐标系内描点连线即可；（3）根据（2）中所画图象，找出y1图象在y2图象上方部分对应的【详解】（1）解：由题意知BP=t，CQ=2t，当点P与点Q相遇时，t=BC当点Q到达点B时，两点停止运动，此时t=12∴当点P与点Q相遇前，PQ=BC−BP−CQ=12−t−2t=12−3t，当点P与点Q相遇后，PQ=BP+CQ−BC=t+2t−12=3t−12，∴y2如图1，过点E作EF⊥AD于点F，

由旋转得AE=AP，∠PAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴∠BAP+∠PAF=∠FAE+∠PAF=90°，∴∠BAP=∠FAE，在△BAP和△FAE中，∠BAP=∠FAE∠ABP=∠AFE∴△BAP≌△FAEAAS，∴EF=BP=t，∴S△BCE∴y1综上可知，y1=6+t0≤t≤6（2）解：y1、y2的函数图象如下图所示，y2图象的性质为：当0≤t<4时，y随x的增大而减小，当4≤t≤6时，y

（3）解：由（2）可知，当0≤t<4时，y1、y解方程组y=12−3ty=6+t，得t=1.5∴y1、y2的图象的交点坐标为结合函数图象可知，当y1≥y2时，【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一次函数图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两条直线交点与二元一次方程组的关系等，解题的关键是求出y1、y2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图1，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，动点P从点B出发，延折线B－C－D运动，到达点D时停止运动，设点P的运动路程为x，由点A、B、P、D围成的图形的面积为y．请解答下列问题：

(1)请直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象；(2)根据函数图象，写出函数y的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出当y=8时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）．【答案】(1)y=3(2)见解析(3)x1≈1.3【分析】（1）分两种情况讨论：当点P在BC上，即0≤x≤4，当点P在CD上，即4<x≤7，求出函数解析式画出函数图象即可；（2）根据函数的增减性和最值，得出答案即可；（3）根据函数图象，写出结果即可．【详解】（1）解：当点P在BC上，即0≤x≤4时，y=3当点P在CD上，即4<x≤7时，y=4综上分析可知，y=3函数图象，如图所示：

（2）解：增减性：当0<x<4时，y随x的增大而增大；当4<x<7时，y随x的增大而减小；最值：该函数在自变量取值范围内有最大值和最小值．当x=4时，函数有最大值为12，当x=0和x=7时函数有最小值为6；（3）解：根据函数图象可知，当y=8时，x1≈1.3或【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，求函数解析式，解题的关键是理解题意，求出函数解析式．3．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4，点O是AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动，设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y

(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出它的一条性质：___________________________________；(3)若直线y=kx+2与该函数图像有且只有2个交点，则k的取值范围为______．【答案】(1)y=(2)当0≤x≤3时，y随x的增大而增大(3)−【分析】（1）分点P在AB上和BC上，计算即可．（2）画出图像，根据函数的性质，选择一个函数的性质描述即可．（3）根据图像，确定符合题意的图像，再确定k值即可．【详解】（1）如图，当点P在AB上时，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠ABC=90°，∴OD∥BC，∴OAOC∵点O是AC的中点，∴OA=OC，∴AD=DB，∴OD=1∵BC=4，

∴OD=1∴y=1∵AB=3，∴y=1如图，当点P在BC上时，过点P作PE⊥AC于点E，∵∠ABC=90°，AB=3,BC=4，∴AC=3∴sinC=

∵AB+BC=3+4=7，∴PC=7−x，∴sinC=∴PE=3∵点O是AC的中点，∴OA=OC=1∴y=1∵AB+BC=3+4=7，∴y=−3综上所述，y=x,0≤x≤3（2）∵y=x,0≤x≤3列表如下：x037y=x,0≤x≤303y=−30画图如下：

故当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，故答案为：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大．（3）根据题意，当直线y=kx+2经过点A3,3时，与图像有一个交点，当直线y=kx+2经过点B

∴3=3k+2,7k+2=0，解得k=根据一次函数的性质，得当−27≤k<故答案为：−2【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，一次函数的性质，熟练掌握勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，一次函数的性质是解题的关键．4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=6，BD=4，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，

(1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；(2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质；(3)根据图象直接写出当y≤4时t的取值范围．【答案】(1)y=(2)见解析(3)0<t≤【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4得到AO=CO=12AC=3,BO=DO=12（2）根据画出的y与t的函数图象，写出它的一条性质即可；（3）求出当y=4时，t=113，根据图象即可得当y≤4时【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AO=CO=12AC=3,BO=DO=当0<t≤3时，y=1当3<t≤5时，y=1∴y=t(0<t≤3)（2）画图如下：

性质：当0<t<5时，y随t的增大而增大（或函数在自变量的取值范围内，有最大值．当t=5时，最大值为6）；（3）当y=4时，4=32t−根据图象可得当y≤4时，t的取值范围是0<t≤11【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、函数解析式、菱形的性质等知识，正确列出函数解析式是解题的关键．5．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点D为BC中点，点P从点D出发，沿D→C→A方向以每秒1cm的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，△ADP根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．

(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像；(2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质；(3)观察图像，直接写出当y=AD时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过0.2）【答案】(1)y=2x(2)当0≤x≤3时，y随x的增大而增大(3)x=2.0或x=4.7【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，计算AD=4，根据面积公式，分类计算即可．（2）根据图像的性质描述即可．（3）分类计算即可．【详解】（1）∵AB=AC=5cm，BC=6cm，点D为∴AD⊥BC,BD=CD=1∴AD=5当0≤x≤3时，y=1当3＜

过点P作PE⊥BC于点E，则PC=x−3,PE=PCsin∴y=1故y=2x画图像如下：

．（2）根据图像，可得当0≤x≤3时，y随x的增大而增大．（3）∵AD=4，∴y=2x=4或y=−6∵保留1位小数，误差不超过0.2，∴2−0.2≤x≤2+0.2或143故x=2.0或x=4.7．故答案为：x=2.0或x=4.7．【点睛】本题考查了三线合一性质，勾股定理，三角函数，函数的图像，误差，熟练掌握三线合一性质，勾股定理，三角函数是解题的关键．6．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=3，BC=2AD=4．点P从C出发，沿着折线CB→BA运动，到达点A停止运动．设点P运动的路程为x，连接DP，记△DPC的面积为(1)直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合图象，当△DPC的面积大于四边形ABCD面积的49时，直接写出x【答案】(1)y=(2)图象见解析，性质答案不唯一，比如：①当0≤x≤4时，y随x的增大而增大，②当4<x≤7时，y随x的增大而减小（写出一条即可）(3)2.7≤x＜6（答案不唯一，只要误差不超过0.2即可）【分析】（1）分当0≤x≤4时，当4<x≤7时两种情况列出函数解析式，写出自变量x的取值范围即可；（2）根据函数解析式，画出函数图象，可从增减性方面写出一条性质即可；（3）先求出四边形ABCD面积的49是4，再根据图象中y>4【详解】（1）解：当0≤x≤4时，y=1当4<x≤7时，PB=x−4，AP=7−x，∵BC=2AD=4．∴AD=2，∴y====−x+10，∴y关于x的函数关系式为：y=（2）解：列表：x

0

4

7y

0

6

3画该函数的图象如下：函数性质：答案不唯一，比如：①当0≤x≤4时，y随x的增大而增大，②当4<x≤7时，y随x的增大而减小；（3）解：∵四边形ABCD面积=1∴四边形ABCD面积的49观察图象，y>4时，自变量的取值为：2.7<x<6．（答案不唯一，只要误差不超过0.2即可）．【点睛】本题考查研究函数的一般方法，解答时涉及分段函数，一次函数，图形面积计算，代数式运算，掌握研究函数的一般方法是解题的关键．7．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．动点P从点A出发，沿折线A→C→B运动，当它到达点B时停止运动，设点P运动的路程为x，连接AP，BP．设三角形ABP的面积为y．

(1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象；(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；(3)根据函数图象，直接写出当y=5时x的值(结果保留一位小数，误差范围±0.2)．【答案】(1)y=6(2)当x=5时，函数取得最大值，最大值为6；(3)当y=5时x的值约为4.2或5.5【分析】（1）先根据勾股定理求得AC的长，然后分当0<x<5时，当5≤x≤8时，分别求得三角形ABP的面积，得出函数关系式，进而画出函数图象即可求解；（2）根据函数图象写出一条性质即可求解；（3）根据函数图象求自变量的值即可求解．【详解】（1）解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．∴AC=A当0<x<5时，如图所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，

∴BC∴△APQ∽△ACB，∴APAC=PQ∴PQ=3∴y=1当5≤x≤8时，点P在BC上，如图所示，连接AP，

∴BP=AC+BC−x=8−x，∴y=1综上所述，y=6函数图象如图所示，

（2）根据函数图象，可得，当x=5时，函数取得最大值，最大值为6；（3）根据函数图象，可得，当y=5时x的值约为4.2或5.5．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，一次函数图象与性质，根据题意得出函数图象是解题的关键．8．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D为底边BC的中点，点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从C点出发，以每秒2个单位长度的速度；沿着C→A→B的路线运动，设运动时间为t，连接AD，DP，DQ，记△ADP的面积为y1，记△CDQ的面积为y

(1)请直接写出y1，y2与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出y1(2)观察y2的函数图象，写出函数y(3)根据图象，直接写出当y1≥y【答案】(1)y1=12(2)函数y2的最大值是24(3)20【分析】(1)由锐角三角函数可求PH，QN的长，由三角形的面积公式可求解；(2)由图象可直接求解；(3)列出不等式即可求解.【详解】（1）如图1,过点P作PH⊥AD于H,过点Q作QN⊥CB于N,

∵AB=AC=10，BC=16，D为底边BC的中点，∴BD=CD=8,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴AD=∵点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，∴AP=t,∵sin∴PH=8∴y当点Q在AC上时，∵动点Q从C点出发，以每秒2个单位长度的速度,∴CQ=2t,∵sin∴QN=3当0≤t≤5时,y2当点Q在AB上时,同理可求当5<t≤10时,y综上所述：y则y1，y

（2）由图象可得：函数y2的最大值24（3）∵y∴12∴t≥20即203【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.9．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M是AC的中点．点P从点B出发，沿B→A→M的路径向点M运动，点Q在射线BA上，连接MQ、PC、QC．当点P到达点M时停止运动．在点P整个运动过程中，点Q都满足∠CQB＝(1)直接写出y1与x的函数表达式，并补全表格中y1的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出x113253y

(2)写出函数y1(3)在直角坐标系中已经画出y2=x0<x≤24−x2<x≤3的函数图象，结合y1【答案】(1)7，3，53，1；1(2)当0<x≤2时，y1随x的增大而减小，当2<x≤3时，y(3)17−1【分析】（1）①当点P在AC上运动时，求出tan∠BCP=PHCH=x4−x，得到tan∠CQB=tan∠PCB=ACAQ（2）看表格数据即可得出结论；（3）观察函数图象即可求解．【详解】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，BC=2∵点M是AC的中点，∴AM=1．①当点P在AC上运动时，此时0<x≤2，过点P作PH⊥BC于点H，则BH=PH=2则CH=CB−AH=22则tan∠BCP=∵∠CQB=∠PCB，∴tan解得：AQ=8−2x则y1当x=12时，同理可得：当x=1时，y1x=32时，x=2时，y1②当点P在AM上时，此时2<x≤3，则∠CQB=∠PCB=45°，则AQ=AC=2，则y1当x=52时，当x=3时，y1故答案为：7，3，53（2）从表格看：当0<x≤2时，y1随x的增大而减小，当2<x≤3时，y故答案为：当0<x≤2时，y1随x的增大而减小，当2<x≤3时，y（3）画出y1的函数图象如下（图象加粗的部分）

联立y1=4x2解得：x=17从图象看，当y1<y2时，【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形，反比例函数的基本性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．10．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）如图，在矩形ABCD中AB=3，BC=4．点E为CB中点，动点P从点E出发，沿折线E→C→D→C运动，当它回到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接AP，PD．设三角形ADP的面积为y．(1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象；(2)根据函数图象，写出该函数的一条性质；(3)根据函数图象，直接写出当y=2时x的值．【答案】(1)y=6(2)当0≤x≤2时，y不变；当2<x<5时，y随着x的增大而减小；当5≤x≤8时，y随着x的增大而增大(3)4或6【分析】（1）根据点P的移动轨迹，分阶段分情况讨论计算面积；（2）根据一次函数的图象分析性质和求值即可；（3）根据函数图象，把y=2代入函数解析式进行计算即可．【详解】（1）解：∵在矩形ABCD中，点E是BC的中点，BC=4，AB=3；∴EC=12BC=12在矩形ABCD中，点P在EC之间移动时，△ADP底边AD上的高＝矩形的宽AB=3；点P在DC之间移动时，△ADP底边AD上的高等于PD，点P从E到C移动时，即0≤x≤2时，△ADP的面积y=1点P从C到D移动时，即2<x<5时，△ADP的面积y=1点P从D到C移动时，即5≤x≤8时，△ADP的面积y=1∴y=6在x的取值范围内画出y的函数图象如图：（2）解：根据图象可知：当0≤x≤2时，y不变；当2<x<5时，y随着x的增大而减小；当5≤x≤8时，y随着x的增大而增大；（3）解：y=2时，10−2x=2或2x−10=2，∴x的值是4或6．【点睛】本题考查函数及函数图象，理解题意，分情况讨论是解题的关键．11．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，S△ABC=12，BC=6，动点P从B点出发，沿B→A→C运动，点P运动到点C时停止运动，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，记PQ=y，P点的运动路程为

(1)求出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象．(2)根据所画的函数图像，写出该函数的一条性质：_________________________(3)在射线BC上有一动点M，始终满足BM=45x，利用所求函数解决问题：当PQ>BM时，直接写出【答案】(1)y=4(2)该函数图象关于直线x=5对称（答案不唯一）(3)1<x<5+2【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据面积求出AD=4，根据勾股定理求出AB=AC=5，再进行分类讨论①当点P在AB上时，△ABD∽△PBQ；②当点P在AC上时，△ACD∽△PCQ，根据相似三角形对应边成比例即可解答；（2）根据图象分析其对称性，即可解答；（3）根据（1）中得出的PQ关于x法表达式，进行分类讨论，列出不等式求解即可．【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，

∵S△ABC=12，∴12BC⋅AD=1∵AB=AC，AD⊥BC，BC=6，∴BD=CD=1根据勾股定理可得：AB=B则AC=5，①当点P在AB上时：∵AD⊥BC，PQ⊥BC，∴∠ADB=∠PQB=90°．∵∠PBQ=∠ABD，∴△ABD∽△PBQ，∴PQAD=PBAB，即②当点P在AC上时：∵AD⊥BC，PQ⊥BC，∴∠ADC=∠PQC=90°，∵∠PCQ=∠ACD，∴△ACD∽△PCQ，∴PQAD=PCAC，即综上：y=4画出图形如下：

（2）解：由图可知，该函数图象关于直线x=5对称．故答案为：该函数图象关于直线x=5对称；（3）解：当0≤x≤5时，∵PQ>BM，∴45x>45x，解得：∴1<x≤5；当5<x≤10时，∵PQ>BM，∴−45x+8>45x∴5<x<5+26综上：1<x<5+26【点睛】本题为三角形综合题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．12．（2023上·重庆·九年级巴南中学校校联考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点F是线段CD的中点．动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PBQ的面积为y．(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；(2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图像，写出△PBQ的面积为1时x的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．【答案】(1)y=(2)见解析(3)x的值1.0或2.5【分析】（1）分两种情况：当点P在线段AB上，点Q在BC上时，当点P在射线AB上时，点Q在CF上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案；（2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质；（3）根据函数图象即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：当点P在线段AB上，点Q在BC上时，，此时：AP=2x，BQ=x，0<x<2，∴PB=AB−AP=4−2x，∴y=S当点P在射线AB上时，点Q在CF上时，，此时：AP=2x，2<x≤4，∴PB=AP−AB=2x−4，∴y=S综上所述：y=−（2）解：列表：x01234y01024函数图像如图：由函数图象可得：函数的性质：①当0<x<1或2<x≤4时，y随x增大而增大，当1<x<2时，y随x减少而减少；②当x=4时，函数y有最大值4；（回答一个即可）（3）解：由函数图象可得：△PBQ的面积为1时x的值1.0或2.5．【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键．13．（2023上·重庆·九年级重庆一中校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，动点D以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，当点D运动到点C时停止运动．设运动时间为x秒，△ACD的面积为y(1)请直接写出y关于x的函数表达式井注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出△ACD的面积为4时x的值，x1=______，【答案】(1)y关于x的函数关系式为y=2x(0<x<3)(2)作图见详解；该函数的一条性质为：在0<x<3时，y随x的增大而增大(3)2,【分析】本题是一次函数综合题，考查了三角形的面积，直角三角形的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键；（1）分两种情况，当点D在AB上，0<x<3，当点D在BC上时，3≤x<8，由三角形面积公式可得出答案；（2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论；（3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案．【详解】（1）当点D在AB上，0<x<3，∵∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC=∵AD=x,∴∴y=2x；当点D在BC上时，3≤x<8，如图，过点D作DE⊥AC于E，∵BC=5，∴CD=8−x，∵sin∠ACB=∴ED8−x∴ED=3∴S△ACD∴y=48综上所述，y关于x的函数关系式为y=2x(0<x<3)

（2）如图，该函数的一条性质为：在0<x<3时，y随x的增大而增大(答案不唯一)；

（3）由图象可知将y=4（1）中方程可得，x1∴△ACD的面积为4时x的值为2或143故答案为：2,1414．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C方向匀速运动，点Q沿折线A→B→C方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出当y≤4时x的取值范围．【答案】(1)y=(2)见解析，当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3<x≤6时，y随x的增大而减小(3)0≤x≤2或4≤x≤6【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质：（1）当点P在AD，点Q在AB上运动时，即0≤x≤3时，证明△APQ是等边三角形，即可求解；当3<x≤6时，同理可解；（2）当x=0时，y=0，当x=3时，y=6，当x=12时，y=0，即可画出函数图象，进而求解；（3）观察函数图象即可求解．正确理解动点问题是解题的关键．【详解】（1）解：∵菱形ABCD∴AD+DC=AB+BC=12∴总的运动时间为：12÷2=6（秒），当点P在AD，点Q在AB上运动时，即0≤x≤3时，连接PQ，由题意得AP=AQ，∴△APQ是等边三角形，∴y=AP=2x；当点P在CD，点Q在CB上运动时，即3＜x≤6时，如图所示：∴CP=12−2x，∴y=12−2x；综上可得：y=2x（2）解：当x=0时，y=0，当x=3时，y=6，当x=12时，y=0，依次描点再连接该函数图象如图所示：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3<x≤6时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）解：从图象看，当y≤4时x的取值范围为：0≤x≤2或4≤x≤6．15．（2023下·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A，设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小新的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）01.02.03.02.72.7m3.6m的值是______；当0≤x≤3时，y与x的函数关系式是______．(2)先补全平面直角坐标系，再画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：______（写出一条即可）．(3)结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，P运动的时间为______秒．【答案】(1)3；y=x(2)见解析；见解析；当0≤x≤3时，y随x的增大而增大(3)9【分析】（1）根据表格信息可得运动时间，证明△BCP是等边三角形可得BP=3，再根据题意，得当0≤x≤3时，y是关于x的正比例函数，即可得出答案；（2）首先补全平面直角坐标系，再根据描点，连线，画图步骤画出图象，最后根据函数图象写出性质即可；（3）找到点P位置，求出CP长度，再求出时间，即可．【详解】（1）解：根据表可知，运动6s，即BC+CP=6∵BC=3，∴CP=6−3=3，∵∠C=60°，∴△BCP是等边三角形，∴BP=3，即m=3，根据题意得：当0≤x≤3时，y是关于x的正比例函数，设当0≤x≤3时，y与x的函数关系式是y=kx，把点1,1.0代入得：k=1，∴当0≤x≤3时，y与x的函数关系式是y=x；故答案为：3；y=x（2）解：补全平面直角坐标系如下图，描点，连线，画图象如下，性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大；故答案为：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大（3）解：P点位置如图，此时曲线位置为最低点，BP⊥AC，∵∠C=60°，∴∠CBP=30°，∴CP=1∴运动时间x=3+故答案为：92【点睛】本题考查动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质、函数图象、含30°角的直角三角形，解题关键在画出图象，正确应用“从直线外一点到直线上的连线中，垂线段最短”．16．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图1，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=6，BC=2AD=8，点E在边AB上且AE=2．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线E→A→D方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线E→B→C方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出△PQC的面积大于15时的t的取值范围．【答案】(1)y=(2)作图见解析，函数y的最大值是24（答案不唯一）(3)5【分析】（1）分两种情形：当0<t≤2时，当2<t≤6时，分别求解即可;（2）利用描点法画出函数图象即可;（3）利用解析式结合图象判断即可．【详解】（1）在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=6，BC=2AD=8，点E在边AB上且∴BE=AB−AE=4，AD=4,当0<t≤2时，y==12t当2<t≤6时，如图，

y==36−6t综上所述：y=（2）函数图象如图所示，函数y的最大值是24．

（3）当0<t≤2时，y=12t=15，解得t=当2<t≤6时，y=36−6t=15，解得t=观察图象可得，54<t<72故答案为：54【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了函数的图象，梯形形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．17．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是AC的中点，动点E从点C出发，沿着折线C→D→B（含端点）运动，到达点B时停止运动，过点E分别向BC，AB边作垂线，垂足分别为F，G．设点E运动的路程为x，线段EF与EG的长度和为y

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)若y′=−x+11，结合函数图象，直接写出y>y′时【答案】(1)y=(2)图象见解析，当0≤x≤10时，y随x增大而减小（答案不唯一）(3)3.8≤x≤7.5【分析】（1）分两种情况：当点E在CD上时和当点E在BD上时，分别利用三角函数表示出线段EF与EG的长度，即可写出y关于x的函数表达式；（2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质；（3）观察图象求出函数图象的交点，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围．【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8∴AC=10，∵点D是AC的中点，∴BD=1①当点E在CD上时，即0≤x≤5时，如图：

∵EF⊥BC,AB⊥BC，∠ABC=90°，∴四边形BFEG是矩形，∴sin即EFx∴EF=3同理，cos∠C=即CFx∴CF=4∴BF=8−4∴y=3②当点E在BD上时，即5≤x≤10时，如图：

由①知四边形BFEG是矩形，∵BD=CD=5，∴∠C=∠DBC，∴sin又∵点E运动的路程为x，∴BE=5+5−x=10−x，∴6∴EF=3同理，cos∠DBC=即BF10−x∴BF=4∴y=3（2）解：函数y=−15x+80≤x<5，当当x=5时，y=7（不包括这点）；函数y=−75x+145≤x≤10，当当x=10时，y=0；描点、连线，函数图象如下图所示：

性质：①当0≤x≤10时，y随x增大而减小；（答案不唯一）②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当x=0时，函数取得最大值8，当x=10时，函数取得最小值0．（答案不唯一）（3）解：由题意得：先求函数y=−15x+8∴y解得：x=15∴两图象交点为3.75,29再求函数y=−75x+14∴y解得：x=15∴两图象交点为7.5,7当图象在两个交点之间时y>y此时，x的取值范围是3.8≤x≤7.5（结果保留1位小数，误差不超过0.2）．【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、三角函数的应用，掌握一次函数图象与性质是解题关键．18．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4,∠A=60°，动点P、Q分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→B→C方向运动到点C停止，点Q沿折线A→D→C方向运动到点C停止（点P、Q可以与线段端点重合），设运动时间是x（秒），点P、Q的距离是y．(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)根据函数图象，直接写出当y>2时x的取值范围．【答案】(1)y=(2)图象见解析，性质：当4<x≤8时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；(3)2<x<5【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD+DC=AB+BC=7，∠A=∠C=60°，得出总的运动时间为7秒，分两种情况：当0<x≤3时，当3<x≤4，当4<x≤7时，根据等边三角形的性质解答即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质；（3）观察图象即可求解．【详解】（1）解：∵平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4,∠A=60°，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠C=60°，BC∥∴AD+DC=AB+BC=7，∴总的运动时间为：8÷1=8秒，当点P在AB，点Q在AD上运动时，即0<x≤3时，由题意得AP=AQ，∠A=60°，∴△APQ是等边三角形，∴y=x；当点Q在AD，点P在BC上运动时，即3<x≤4时，如图，过点B作BE⊥AD于E，过点P作PF⊥AD于点F，

∴BP=EF，BE=PF，∵AB=3，∠A=60°，∴AE=1∴BE=A根据题意，得BP=x−3，AQ=x，∴FQ=AQ−AE−EF=3∴PQ=P即y=3；当点Q在DC，点P在BC上运动时，即4<x≤8时，如图所示：

∴CP=CQ=7−x，又∠C=60°，∴△CPQ是等边三角形，∴PQ=CP=7−x，∴y=7−x；综上可得：y=x（2）解：函数图象如图，

性质：当4<x≤8时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）解：当0<x≤3时，y=x=2，当4<x≤7时，y=7−x=2，解得x=5，由图象可知，当2<x<5时，y>2．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质等知识，正确理解动点问题是解题的关键．19．（2023上·重庆江津·九年级重庆市江津中学校校考期中）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线A→B→C方向运动，到达C点停止，在AB上的运动速度为每秒1个单位长度，在BC上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△OPB的面积为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出△OPB的面积为3时t的值．【答案】(1)y=(2)图见解析，当0<t<4时，y随t的增大而减小；(3)t=1或5.5【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，掌握函数的解析式求解、函数图象、数形结合的数学思想是解题关键．（1）分类讨论0≤t<4、4<t≤6两种情况，画出对应的图形即可求解；（2）描点、连线即可完成作图；（3）作出直线y=3，确定其与函数y=4−t【详解】（1）解：①当0≤t<4时，动点P在AB上运动，作OH⊥BP，如图所示：

∵AP=t，∴BP=4−t∵O是正方形的中心，∴OH=2∴S△OPB②当4<t≤6时，动点P在BC上运动，作OF⊥BC，如图所示：

此时BP=2t−4∵O是正方形的中心，∴OF=2∴S△OPB综上所述：y=（2）：如图所示：

当0<t<4时，y随t的增大而减小（3）解：作出直线y=3，如图所示：；

可知直线y=3与函数y=4−t0≤t<42t−84<t≤6∴△OPB的面积为3时，t=1或5.520．（重庆市西南大学附属中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题）如图，已知矩形ABCD的边长为AB=4，AD=3，E，F分别在边AD，AB上，且DE=BF=2，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到D点停止．记P点走过的路程为x，四边形AEPF的面积为y1

(1)请求出y1关于x(2)在坐标系中画出y1(3)观察函数图象，请写出一条该函数的性质；(4)已知关于x的函数y=kx+4−k与y1的图象有两个交点，写出k【答案】(1)y(2)见解析(3)见解析(4)−【分析】（1）当点P在BC上运动时，y1=S矩形ABCD（2）当x=0时，y1=2，当x=3时，y1=5，当（3）从图象看，当0≤x≤3时，y1随x的增大而增大，当3<x≤7时，y1随x（4）当函数y=kx+4−k过点A、B（C）时为临界点，进而求解．【详解】（1）解：当点P在BC上运动时，即0<x≤3，如题干图，则y1当点P在CD上运动时，即3<x<7，如图：

则y1即y1（2）当x=0时，y1=2，当x=3时，y1=5，当将上述三点描点、连线绘制图象如下：

（3）从图象看，当0≤x≤3时，y1随x的增大而增大，当3<x≤7时，y1随（4）∵y=kx+4−k=k(x−1)+4，即直线过点(1,4)，如图点A，当函数y=kx+4−k过点A、B（C）时为临界点，即直线m、n，将点B(3,5)的坐标代入y=kx+4−k得：5=k(3−1)+4，解得：k=1将点C(7,3)的坐标代入y=kx+4−k得：3=k(7−1)+4，解得：k=−1即−1【点睛】本题为一次函数综合运用题，涉及到一次函数的基本性质、面积的求法、函数作图等，其中（4），确定临界点是本题解题的关键．21．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=60°,AB=43,E是对角线BD延长线上一点，且DE=BD．动点P在线段BE上运动．过P作PM⊥射线BC于M，作PN⊥射线CD于N．记P到BC的距离为x,P到射线CD的距离为y1

(1)y1与x(2)在给定的平面直角坐标系中画出y1(3)结合图像，当y1≥y2时，直接写出【答案】(1)y(2)见解析，当0≤x≤6时，y随x的增大而减小(3)0.8≤x≤5.2或x≥6.6【分析】（1）分两种情况计算，当点P在线段BD上时，即0≤x≤6时和当点P在线段DE上时，即6<x≤12时，分别计算y1与x（2）根据（1）中的关系式画出图象即可；（3）联立关系式构成方程组求出交点坐标，根据图象即可写出不等式的解集．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°,AB=43∴AB=AD=BC=CD=43∴△ABD,△CBD均是等边三角形，∴∠CBD=∠CDB=60°，当点P与点D重合时，PM⊥BC，∴BM=1∴PM=6，即此时x=6，当点P与点E重合时，PM⊥BC，∴BM=1∴PM=12，即此时x=12，①当点P在线段BD上时，即0≤x≤6时，如下图：

∵PM⊥BC，PM=x，∴sin∴BP=2∴PD=43∵PN⊥CD，PN=y∴sin∴y②当点P在线段DE上时，即6<x≤12时，如下图：

同①得：BP=233∴PD=2∴sin∴y故答案为：y1（2）解：y1

观察图象可得：当0≤x≤6时，y随x的增大而减小；故答案为：当0≤x≤6时，y随x的增大而减小；（3）解：y1解得：x1=3+5y1解得：x1=3+13∴结合图像，当y13−5≤x≤3+5即0.8≤x≤5.2或x≥6.6．故答案为：0.8≤x≤5.2或x≥6.6．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，求反比例函数与一次函数的交点坐标，画一次函数图象并根据图象判断不等式的解集，熟练掌握相关知识是解题关键．22．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州国本中学校校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．O为AC的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，当它到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x(x>0)，连接OP，设△AOP的面积为y1(1)直接写出y1与x(2)在给出的平面直角坐标系中画出y1(3)如图2，y2=4x的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当【答案】(1)y=(2)当0<x≤4时，y1随x的增大而增大，当4<x≤7时，y1随(3)0<x≤2.3或6.3≤x<7【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，确定一次函数的表达式是解题的关键．（1）当点P在AB上运动时，此时0≤x≤4，由y1=12×AP×OH（2）取点绘制图象，再观察函数图象即可求解；（3）观察函数图象即可求解．【详解】（1）∵AB=4，BC=3，O为AC的中点，则AC=5，AO=OC=52，当点P在AB上运动时，此时0≤x≤4，如图1，过点O作OH⊥AB于点H，则OH=1则y1当点P在BC上运动时，此时，4<x≤7，如图2，则y1故答案为：y1（2）当x=0时，y1=0，当x=4时，y1=3，当描绘上述各点绘制图象如下：从图象看，当0<x≤4时，y1随x的增大而增大，当4<x≤7时，y1随故答案为：当0<x≤4时，y1随x的增大而增大，当4<x≤7时，y1随（3）联立y1=34x联立y1=7−x和y2从图象看，当y1≤y2时x的取值范围是：故答案为：0<x≤2.3或6.4≤x≤7．23．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，已知矩形ABCD的边长为AB=4，AD=3，E、F分别在边AD、AB上，且DE=BF=2，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到点D停止．记P点走过的路程为x，四边形AEPF的面积为y1(1)请直接写出y1关于x(2)在如图所示的坐标系中画出y1(3)若关于x的函数y=kx+4−k与y1的图象有两个交点，请直接写出k【答案】(1)y(2)见解析；当0<x≤3时，y1随x的增大而增大，当3<x<7时，y1随(3)−【分析】本题考查了一次函数的应用，画函数图象，待定系数法；（1）当点P在BC上时，y1=S矩形ABCD−S（2）根据（1）中解析式画出函数图象即可；根据函数图象可得性质；（3）首先求出直线y=kx+4−k过点(1,4)，再判断出函数y=kx+4−k过点A、B（C）时为临界点，然后利用待定系数法求出直线m、n的解析式即可得到答案．【详解】（1）解：当点P在BC上时，即0<x≤3，则y=AB⋅AD−=3×4−=x+2；当点P在CD上时，即3<x<7，如图，则y=AB⋅AD−=3×4−=−1综上：y1（2）如图，函数图象为图中实线：性质：当0<x≤3时，y1随x的增大而增大，当3<x<7时，y1随

（3）∵y=kx+4−k=k(x−1)+4，∴直线y=kx+4−k过点(1,4)，如图点A，当函数y=kx+4−k过点A、B（C）时为临界点，即直线m、n，将点B(3,5)代入y=kx+4−k得：5=k(3−1)+4，解得：k=1将点C(7,3)代入y=kx+4−k得：3=k(7−1)+4，解得：k=−1∴当关于x的函数y=kx+4−k与y1的图象有两个交点时，k的取值范围为−24．（2023上·重庆九龙坡·九年级四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°,AB=15,BC=20，动点P从点C出发，以每秒5个单位的速度沿C→B→A运动，同时动点Q从点B出发，以每秒53个单位的速度沿B→A运动，P,Q相遇时停止运动．过点P作PN⊥AC于点N，过点Q作QM⊥AC于点M．设点P的运动时间为x秒x≥0,MN的长度为(1)请直接写出y与x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；(3)当该函数图象与直线y′=−8【答案】(1)y=(2)函数图象见解析，该函数图象y随x的增大而减小（答案不唯一）(3)44【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理求出AC=25，根据PN⊥AC，QM⊥AC，分两种情况讨论，当点P在BC上运动时，证明△PNC与△ABC，△AMQ与△ABC相似，利用三角形相似的性质，求出AM,CN，即可求出MN，当点P在AB上运动时，证明△ANP与△ABC，△AMQ与△ABC相似，利用三角形相似的性质，求出AM,AN，即可求出MN；（2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可；（3）根据（2）的函数图象，求出直线y′=−83x+b过点4,4【详解】（1）解：∵∠ABC=90°,AB=15,BC=20，∴AC=A∵P,Q相遇时停止运动，∴5x−20=5解得：x=6，∴0≤x≤6如图1，当点P在BC上运动时，∵20÷5=4，∴此时0≤x≤4，则PC=5x,AQ=15−5∵∠CNP=∠ABC=90°,∠C=∠C，∴△PNC∽∴CN∴CN=4x，同理：△AMQ∽∴AM∴AM=9−x，∴MN=AC−AM−CN=25−4x−9−x如图2，当点P在AB上运动时，此时4<x≤6，则AP=15−5x−4∵∠ANP=∠ABC=90°,∠A=∠A，∴△ANP∽∴AN∴AN=21−3x，同理：△AMQ∽∴AM∴AM=9−x，∴MN=AN−AM=21−3x∴y=16−3x,（2）解：由（1）知y=16−3x,如图所示：通过观察，该函数图象y随x的增大而减小；（3）解：由（2）图象得；当直线y′=−8即：4=−83×4+b此时有一个交点4,4；当直线y′=−8即：0=−83×6+b，解得：b=16，直线y此时有两个交点6,0，0,16；∴44【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质及勾股定理，正确理解动点问题是解题的关键．25．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,E,F分别在边AD,AB上，且AE=1,AF=2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着B→C→D运动，到达D点停止运动，设P点运动时间为x秒，△EFP的面积为y，回答下列问题：(1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围；(2)请在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出一条该函数的性质；

(3)结合图像，直接写出当y≤2时的x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）【答案】(1)y=(2)见解析，函数的性质为：当0＜x＜3时，y随x增大而增大；当3<x<7时，(3)0≤x≤1.1或x=7.0【分析】本题考查了矩形的性质，函数的画图极其信息，近似计算，熟练掌握性质，画图像的三步骤，是解题的关键．（1）分0≤x≤3和3＜（2）根据画图像的基本步骤，利用两点确定一条直线，画图即可，根据图像，写出符合题意的性质即可．（3）根据图像与已知直线的交点位置，大致估计即可，注意估计要符合要求．【详解】（1）解：当0≤x≤3时，如图所示：

∵矩形ABCD中，AB=4,AD=3AE=1,AF=2，∴AF=FB=2,DE=2,∠A=∠B=∠D=90°，AD∥BC,AB∥CD，PB=x，∴y===x+1；当3＜

∵矩形ABCD中，AB=4,AD=3AE=1,AF=2，∴AF=FB=2,DE=2,∠A=∠B=∠D=90°，AD∥BC,AB∥CD，PB=x，DP=7−x∴y===−1综上所述，y=x+1,（2）根据题意，画图像如下：．

函数的性质为：当0＜x＜3时，y随x增大而增大；当3<x<7时，（3）根据图像，得到0≤x≤1.1或x=7.0时，y≤2．26．（2023上·重庆渝北·九年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，运动的路程为x，当它到达点C时停止，若点Q是射线AD上一点，且AQ=6x，连接CQ，设y1(1)直接写出y1，y2与x的函数关系式，并注明(2)在给定的直角坐标系中直接描点画出y1，y2的函数图像，并写出函数(3)结合y1和y2的函数图像，当y1<y【答案】(1)y1=3x(2)作图见解析，当0<x≤4时，y1随x的增大而增大，当4<x<7，y1随(3)0<x<2.8或6<x<7．【分析】（1）根据三角形面积公式可得y2=AB⋅AQ2=12x0<x<7；然后分当点P在AB上，即0<x≤4时，当点P在（2）先描点，再连线，最后根据所画函数图象写出函数y1（3）根据y1【详解】（1）解：由题意得y2当点P在AB上，即0<x≤4时，y1当点P在BC上，即4<x<7时，y1综上所述，y1∴y1=3x（2）解：如图所示，即为所求；

当0<x≤4时，y1随x的增大而增大，当4<x<7，y1随（3）解：由函数图象可知当y1<y2时，x的取值范围为【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和反比例函数的图象综合，解答本题的关键利用数形结合的思想解答．．27．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为AB中点，动点P从点A出发，沿着A→C→B方向运动至点B处停止．连接DP、BP，设点P的运动路程为x，△BDP的面积为y

(1)直接写出y1与x的函数表达式，并写出自变量x(2)请在图2中画出函数y1(3)已知函数y2=−13x+3【答案】(1)y=(2)图见解析，函数有最大值，最大值为4（答案不唯一）(3)9【分析】（1）分当点P在AC和CB上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式及三角函数求解即可；（2）画出函数图像，可得结论；（3）画出y2=−13x+3【详解】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∴∠A=∠ABC=45°，AB=4∵D为AB中点，∴BD=1①当点P在AC上运动时，如图，过点P作PH⊥AB于点H，

∵AP=x，∴PH=sin∴此时y1②当点P在CB上运动时，如图，则PB=8−x，

∴PH=sin∴此时y1综上，y1与x的函数表达式为y=（2）解：当x=0时，y1=0，当x=4时，y1=4，当函数图象如图所示：

函数y1故答案为：函数有最大值，最大值为4（答案不唯一）；（3）解：当x=0时，y2=3，当x=3时，如图，

由y1=xy由y1=8−xy观察图象可知，当94≤x≤15【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．28．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°,AB=4,AD=2,BC=5，点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿B→C→D的方向运动，点Q以每秒12个单位的速度沿CD运动，当点P与点D重合时同时停止运动，连接BD,DP,BQ，记运动时间为x(1)直接写出y1,y(2)在图2中画出y1,y(3)结合画出的函数图像，直接写出y1≤y【答案】(1)y1=(2)图见详解；函数y1的性质：函数有最大值，最大值为(3)20【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．（1）由三角形的面积公式可求解；（2）根据题意画出图象，即可求解；（3）由函数图象可求解．【详解】（1）解：过点D作DE⊥BC∵∠ABC=90°∴AB∵AD∥∴ADEB是矩形∴AB=DE=4,AD=BE=2∵BC=5∴EC=3∴DC=5过点Q作QF⊥BC∴△CDE∽△CQF∴QFCQ∴QF=4由题意得：CQ=12∴QF=y2=S当0<t≤5时，y1当5<t≤10时，y1综上所述．y1（2）函数图象如图所示：函数y1（3）当y1=y2由图象可得：203<t<10时，故答案为：20329．（2023上·重庆南岸·九年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD=5，tan∠ADC=43，点P从C出发，沿着折线CD→DA运动，到达点A停止运动，设点P运动的路程为x，连接AP

(1)直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质；(3)已知y1=−12x+6【答案】(1)y=(2)0≤x≤5时y随x的增大而增大，5<x<10时y随x的增大而减小(3)0≤x≤1.2或9.3≤x<10【分析】（1）如图，作PG⊥AD,PH⊥AB，垂足分别为G,H，PG交BC延长线于点J，则四边形PGAH是矩形，得PH=AG,PG=AH；四边形BJGA是矩形，得AB=JG．Rt△CPJ中，PC=x，34PJ2+PJ2=x2，解得PJ=45x；Rt△PDG中，PD=5−x，DG2+43DG2=5−x2，得DG=3（2）在平面直角坐标系内画出分段函数的图象，注意端点，根据一次函数性质得0<x<5时y随x的增大而增大，5<x<10时y随x的增大而减小；（3）联立方程组，y=65x+4y=−12x+6【详解】（1）解：如图，作PG⊥AD,PH⊥AB，垂足分别为G,H，PG交BC延长线于点J，∵AD∥BC，∴∠HAG=180°−∠ABC=90°，∴∠PHA=∠PGA=∠HAG=90°．∴四边形PGAH是矩形．∴PH=AG,PG=AH．∵∠ABC=∠BJP=∠JGA=90°，∴四边形BJGA是矩形．∴AB=JG．Rt△CPJ中，∠PCJ=∠ADC，PC=x∵tan∠ADC=∴tan∠PCJ=∴34PJ2Rt△PDG中，PD=5−x，tan∴DG解得DG=3∴PH=AG=AD−DG=5−3AB=JG=PJ+PG=4当点P在CD上时，0≤x≤5，△ABP的面积12

当点P在AD上时，5<x<10，△ABP的面积12∴y=6

（2）解：函数图象如下，函数的一条性质：0≤x≤5时y随x的增大而增大，5<x<10时y随x的增大而减小；（3）如图，联立方程组，y=65x+4联立方程组，y=−2x+20y=−12∴当y≤y1时0≤x≤1.2或

，【点睛】本题主要考查了求两直线的交点，一次函数图象的性质，矩形的性质与判定，一次函数与一元一次不等式之间的关系，勾股定理，解直角三角形等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．30．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，在矩形ABCD中AB=8，AD=6，点P从A出发沿线段AB向点B运动，到达点B时停止．作∠APQ=45°，交折线A−D−C于点Q，设AP=x0<x<8，DQ=y．(1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围；(2)在直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；(3)若y′=−35x+5，结合函数图象，直接写出y≥【答案】(1)y=−x+6(2)该函数在自变量的取值范围内有最小值．当x=6时函数取得最小值0(3)0<x≤2.5或6.9≤x<8【分析】题目主要考查矩形的性质及一次函数的应用，图形的运动，画函数图象，根据交点确定不等式解集等，（1）根据题意及矩形的性质，分两种情况分析：当0<x≤6时，即点Q在线段AD上，当6<x<8时，即点Q在CD上时，分别利用等腰三角形的性质列出函数解析式即可；（2）根据（1）中结果，画出函数图象即可；（3）画出相应函数图象，然后结合图象求解即可；理解题意，确定相应的函数解析式是解题关键．【详解】（1）解：在矩形ABCD中AB=CD=8，AD=6，∠A=∠D=90°当0<x≤6时，即点Q在线段AD上，∵∠APQ=45°，AP=x，∴AP=AQ=x，∴DQ=6−x，即y=6−x(0<x≤6)；当6<x<8时，即点Q在CD上时，如图所示：过点Q作QE⊥AB，∴四边形AEQD为矩形，∴DQ=AE,EQ=AD=6，∵∠APQ=45°，AP=x，∴EQ=EP=6，∴DQ=AE=AP−EP=x−6，∴y=x−6(6<x<8)；综上可得：y与x的函数表达式为y=（2）函数图象如图所示：该函数在自变量的取值范围内有最小值．当x=6时函数取得最小值0；（3）函数y′由函数图象得：y≥y′时x的取值范围为0<x≤2.5或31．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB边的长为4，BC边的长为8，AD边的长为5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D运动，到达点D停止运动．点E为AB边的中点，连接EP、BP，设点P的运动时间为x秒（0<x<6.5），三角形△BEP的面积为(1)请直接写出y关于x的函数关系式；(2)在给定的平面直角坐标系中画出y关于x的函数图象，并写出一条该函数的性质；(3)当函数图象与直线y′=kx+5有两个交点时，【答案】(1)y=(2)函数图象见解析，当4<x<6.5时,y随x的增大而减小(3)0<k<【分析】（1）作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，所以BF=AD=5，DF=AB=4，则CF=3，可求得CD=5，再分两种情况讨论，当0<x≤4和4<x<6.5时分别求解析式即可；（2）y关于x的函数图象为有公共端点的两条线段，画出y关于x的函数图象，由函数图象可知,当x=4时,y最大=8，当0<x≤4时，y随x的增大而增大；当4<x<6.5时,y随（3）由函数图象可知，当k<0时，函数图象与直线y′=kx+5只有一个交点；直线y′=kx+5，当x=4时，y′=4k+5当函数图象与直线【详解】（1）y关于x的函数关系式为y=2x(0<x≤4)理由:作DF⊥BC于点F，则∠DFB=∠DFC=90°，∵AB⊥BC,AB=4,BC=8,AD=5，∴∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=180°−∠B=90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=5,DF=AB=4，∴CF=BC−BF=8−5=3，∴CD=DF2∵E是AB的中点，∴BE=1当0<x≤4时，如图1，y=1当4<x<6.5时，如图2，作PG⊥BC于点G，

则∠PGC=90°，∵CGCP=∴CG=3∴BG=8−6∴y=1综上所述，y关于x的函数关系式为y=（2）画出y关于x的函数图象如图3所示，由函数图象可知，当x=4时,y∴该函数的性质是y的最大值为8.性质为：当4<x<6.5时,y随x的增大而减小.（答案不唯一）（3）如图3，直线y′=kx+5经过点0,5，而当4<x<6.5∴当k<0时，函数图象与直线y′直线y′=kx+5，当x=4时，∴I4∴当函数图象与直线y′=kx+5解得0<k<3故答案为：0<k<【点睛】此题重点考查平行线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、一次函数的图象与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．32．（2023下·重庆荣昌·八年级统考期末）如图1，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E是CD边中点，动点P从点A出发，沿路线A→B→C运动到点C停止，设点P运动路程为x，线段AP，AE，PE围成图形的面积为y1

(1)求y1关于x(2)在图2中画出一次函数的图象，根据函数图象可知，该函数的性质是_____（写一条即可）；(3)图2坐标系中已画出函数y2=xx≥0的图象，请根据图象，直接写出y【答案】(1)y1(2)画图见解析，当0＜x＜4时，y1随x的增大而增大；当4(3)画图见解析，0＜【分析】（1）分两种情况进行讨论，当点P在AB边上时，此时y1=12AP⋅AD；当点P在BC（2）根据第1问求出的函数解析式，在平面直角坐标系中描点绘制函数图象；（3）观察函数图象可知有两个交点，当y1>y2时，y1【详解】（1）解：如图1.1中，当点P在AB边上时，即0≤x≤4时，

y1图1.2中，当点P在BC边上时，即4<x≤7时，

y1=1=1=−x+10，综上所述，y1（2）一次函数的图象如图所示：

该函数的性质是：当0<x≤4时，y1随x的增大而增大；当4<x≤7时，y1随x的增大而减小(答案不唯一（3）由图象可知，y1>y2时【点睛】本题主要考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质，矩形的性质等，分类求解和数形结合是解答此题的关键．33．（2024上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E为CD的中点，动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线E→D→A方向运动到点A停止，点Q也以每秒1个单位长度沿折线E→C→B方向运动到点B停止．设运动时间为x秒，△APQ的面积为y．

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)若直线y1=x+m与y的图象有且只有一个交点，请直接写出【答案】(1)y=4x(0≤x<3)(2)详见解析；(3)−7≤m<0或m=9，详见解析．【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质等知识点，（1）直接确定三角形的底和高求解即可；（2）描点、连线即可画出图象，再观察y的图象，可以从增减性写出函数的一条性质；（3）先求得直线y1经过特殊点时的m正确求出函数解析式并画出图象，数形结合是解题的关键．【详解】（1）当0≤x<3时，y=1当3≤x≤7时，y1∴y关于x的函数关系式为y=4x(0≤x<3)（2）画出函数图象如下，函数y的一条性质：当0≤x<3时，y随x的增大而增大；当3≤x≤7，y随x的增大而减小；（3）把（3，12）代入y1把（7，0）代入y1把（0，0）代入y1∴若直线y1=x+m与y的图象有且只有一个交点，m的取值范围是−7≤m<0或故答案为：−7≤m<0或m=9．34．（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=6，动点P，Q均以每秒1个单位长度的速度分别从点D，点C同时出发，其中点P沿折线D→A→B方向运动，点Q沿折线C→B→A方向运动，当两者相遇时停止运动．运动时间为t秒，△PQD的面积为y．(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出△PQD的面积大于4时t的取值范围．【答案】(1)y=(2)见解析，当0<x≤4时，y随x的增大而增大，当4<x≤7时，y随x的增大而减小(3)4【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，矩形的性质：（1）当点P在AD，点Q在BC上运动时，即0<x≤4时，当4<x≤7时，PQ=14−2t根据三角形的面积公式，即可求解；（2）当t=0时，y=0，当t=4时，y=12，当t=7时，y=0，即可画出函数图象，进而求解；（3）观察函数图象，结合图象即可求解．【详解】（1）解：依题意，AD+BC+AB=4+4+6=14则相遇时间为141+1DP=CQ=t，当0<t≤4时，点P在AD上，Q在BC上，∴y=当4<t≤7时，PQ=14−2t∴y=12综上可得：y=3t（2）解：当t=0时，y=0，当t=4时，y=12，当t=7时，y=0，依次描点再连接该函数图象如图所示：当0<x≤4时，y随x的增大而增大，当4<x≤7时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）解：如图所示，当3t=4时，t=43，当−4t+28=4结合函数图象，可得y>4时，435．（2023上·重庆·九年级重庆市松树桥中学校校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D为AB的中点，动点F从点A出发沿着折线A→C→B运动，运动速度为每秒1个单位，连接DF，DC，设运动时间是t秒，△DFC的面积是S(1)请直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；(2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；(3)根据图象直接写出当S>6时，自变量t的取值范围．【答案】(1)S=(2)函数图象见解析；当0≤t≤8时，S随t的增大而减小，当8<t≤14时，S随t的增大而增大(3)0≤t<4或11<t≤14【分析】（1）过点D作DM⊥AC于