《有理数-整式的加减-一元一次方程的实际应用问题》（四大考点题型+限时测评）（解析版）-七年级数学上册

（人教版）七年级上册数学期末复习重要考点06《实际应用解答题》四大重要考点题型【题型1有理数的实际应用】1．（2023秋•滨湖区期中）无锡地铁4号线北起惠山区刘潭站，南至滨湖区博览中心站，大致呈南北走向．如图为地铁4号线部分站点，李明同学利用假期参加地铁志愿服务，从西园弄站出发，到A站时，本次志愿服务结束．若规定向南为正，向北为负，李明当天的乘车站点数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+4，﹣3，﹣4，+9，﹣8，+7，﹣4，﹣1．（1）在本次志愿服务过程中，李明到达的离西园弄站最远的站点是；（填写车站名称）（2）请通过计算说明A站是哪一站？（3）地铁4号线全长24.1千米，设车站18座，相邻两站之间的平均距离约为1.4千米，求本次李明志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是多少千米？【分析】（1）通过依次计算每相邻两站的代数和，找出最大是数就是李明到达的离西园弄站最远的站点；（2）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值判断A站的位置；（3）计算所有站数绝对值的和，再乘以1.4即可．【解答】解：（1））∵+4+（﹣3）＝+1，1+（﹣4）＝﹣3，﹣3+（+9）＝+6，6+（﹣8）＝﹣2，﹣2+（+7）＝+5，5+（﹣4）＝+1，1+（﹣1）＝0，∴在本次志愿服务过程中，李明到达的离西园弄站最远的站点是周新苑．故答案为：周新苑；（2）+4﹣3﹣4+9﹣8+7﹣4﹣1＝0，∴A站是西园弄站；（3）|+4|+|﹣3|+|﹣4|+|+9|+|﹣8|+|+7|+|﹣4|+|﹣1|＝40，40×1.4＝56（千米）．答：本次李明志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是56千米．【点评】此题主要考查正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．2．（2022秋•安乡县期中）出租车一天下午以家为出发地在东西方向营运，向东为正方向，向西为负方向，行车里程（单位：km）依先后载客次序记录如下：+8，﹣9，﹣7，+6，﹣3，﹣14，+5，+12（1）该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车离家有多远？（2）该出租车师傅下午离家最远有多少千米？（3）若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午接送乘客，出租车共耗油多少升？（4）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问这天下午该出租车师傅的营业额是多少元？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案；（3）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案；（4）根据起步价加超过部分的价格，可得答案．【解答】解答：（1）（+8）+（﹣9）+（﹣7）+（+6）+（﹣3）+（+5）+（﹣14）+（+12）＝8﹣9﹣7+6﹣3+5﹣14+12＝（8+6+5+12）+（﹣9﹣7﹣3﹣14）＝31﹣33＝﹣2，答：该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车在家的西方，离家有2km；（2）第一次8千米，第二次8﹣9＝﹣1千米，第三次﹣1+（﹣7）＝﹣8千米，第四次﹣8+6＝﹣2千米，第五次﹣2﹣3＝﹣5千米，第六次﹣5﹣14＝﹣19千米，第七次﹣19+5＝﹣14千米，第八次﹣14+12＝﹣2千米，答：该出租车师傅下午离家最远有19km；（3）8+|﹣9|+|﹣7|+6+|﹣3|+5+|﹣14|+12＝8+9+7+6+3+5+14+12＝64（km），0.2×64＝12.8（升）答：这天下午出租车共耗油12.8升；（4）10×8+（64﹣3×8）×1.2＝80+48＝128（元），答：这天下午该出租车师傅的营业额是128元．【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键．3．（2023秋•平凉期末）某种袋装奶粉标明标准净含量为400克，现抽检其中8袋，并形成了如下质量检验记录（“+”表示超出标准净含量，“﹣”表示不足标准净含量）：编号12345678差值（克）+6+4+5﹣4+7﹣2﹣5+3根据以上检验记录表，解答下列问题：（1）净含量最接近标准净含量的奶粉袋编号为；（2）净含量最多的比最少的袋装奶粉多克；（3）求这8袋奶粉的总净含量．【分析】（1）比较差值中，谁的绝对值小，谁最接近标准净含量；（2）差值中最大正值与最小负值的差便是结果；（3）先算出8个差值的总和，再算8袋标准净含量的总和，最后相加即可．【解答】解：（1）|+6|＝6，|+4|＝4，|+5|＝5，|﹣4|＝4，|+7|＝7，|﹣2|＝2，|﹣5|＝5，|+3|＝3，编号6：|﹣2|＝2最小，故答案为：6；（2）|+7|+|﹣5|＝12（克），故答案为：12；（3）（+6）+（+4）+（+5）+（﹣4）+（+7）+（﹣2）+（﹣5）+（+3）＝14（克），400×8＝3200（克），3200+14＝3214（克），答：这8袋奶粉的总净含量3214克．【点评】本题考查了有理数的混合运算和正负数表示的意义，关键用正负数表示的意义来解决问题．4．（2023秋•城固县期中）某工厂修建了一个仓库，聘请工人用5天时间对该仓库的墙面进行了粉刷，预计每天粉刷50平方米，实际粉刷的面积和预计的有所出入，实际粉刷情况如下表：（超过50m2记为正，少于50m2记为负）时间第1天第2天第3天第4天第5天粉刷面积（m2）﹣2+3+5﹣1.5+2.5（1）工人粉刷墙面最多的一天比最少的一天多粉刷多少平方米？（2）这5天一共粉刷墙面多少平方米？（3）在结算工钱时，有以下两种方案：方案一：按每天600元结算；方案二：按粉刷面积，每平方米12元结算，该工厂选择哪种方案结算比较省钱？【分析】（1）根据表格中的数据可得出粉刷最多的是第3天，最少的一天是第1天，再作差即可；（2）根据题意列出有理数混合运算的式子，再进行计算即可；（3）分别算出两种方案结算时需要的钱数，再比较大小即可．【解答】解：（1）∵表格中的数据可得出粉刷最多的是第3天，最少的一天是第一天，∴5﹣（﹣2）＝7（平方米）．答：工人粉刷墙面最多的一天比最少的一天多粉刷7平方米；（2）50×5+（﹣2+3+5﹣1.5+2.5）＝250+7＝257（平方米）．答：这5天一共粉刷墙面257平方米；（3）方案一：按每天600元结算，5天需要的钱数是：600×5＝3000（元）；方案二：按粉刷面积，每平方米12元结算，5天需要的钱数是：257×12＝3084（元），∵3000＜3084，∴选择第一种方案结算比较省钱．【点评】本题考查的是有理数的混合运算、正数与负数，熟知正数与负数表示的意义是解题的关键．5．（2023秋•镇海区校级期中）某水果店以每箱90元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表：与标准重量的差值（单位：千克）﹣0.5﹣0.2500.20.250.5箱数2245n3（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量；（2）该水果店第一天以每千克25元的价格销售了这批樱桃的70%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以第一天零售价的60%全部售出．水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？【分析】（1）由20箱樱桃及表格可得n＝20﹣2﹣2﹣4﹣5﹣3＝4；根据表格数据可得樱桃的总重量为2×（﹣0.5）+2×（﹣0.25）+0×4+0.2×5+0.25×4+0.5×3+20×5＝102（千克）；（2）用销售额减去进价即可得到答案．【解答】解：（1）n＝20﹣2﹣2﹣4﹣5﹣3＝4；2×（﹣0.5）+2×（﹣0.25）+0×4+0.2×5+0.25×4+0.5×3+20×5＝﹣1﹣0.5+0+1+1+1.5+100＝102（千克），∴n的值为4，这20箱樱桃的总重量是102千克；（2）水果店在销售这批樱桃过程中盈利，理由如下：25×102×70%+25×60%×102×（1﹣70%）﹣90×20＝1785+459﹣1800＝444（元），答：水果店在销售这批樱桃过程中盈利444元．【点评】本题考查有理数混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式．6．（2023秋•宝应县期中）在某次抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：km）：+14、﹣9、+8、﹣7、+13、﹣6、+10、﹣5．（1）通过计算说明：B地在A地的（选填“东边”或“西边”）方向，与A地相距千米．（2）救灾过程中，最远处离出发点A是km；（3）若冲锋舟每千米耗油0.5L，油箱容量为29L，求途中还需补充多少升油？【分析】（1）对当天的行驶路程求和后，根据结果的符号和绝对值可确定此题的结果；（2）逐一求出每次行程后离A的距离即可；（3）用该冲锋舟每千米耗油量乘以所有行程绝对值的和的乘积，再减去该冲锋舟油箱的容量即可．【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+10﹣5＝18＞0，∴B地在A地的东边18千米，故答案为：东边，18；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：14千米；14﹣9＝5（千米）；14﹣9+8＝13（千米）；14﹣9+8﹣7＝6（千米）；14﹣9+8﹣7+13＝19（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+10＝23（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+10﹣5＝18（千米）．又∵5＜13＜14＜18＜19＜23，∴最远处离出发点23千米，故答案为：23；（3）∵0.5×（14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+10+|﹣5|）﹣29＝0.5×72﹣29＝36﹣29＝7（升），答：途中还需补充7升油．【点评】此题考查了有理数的正负数、绝对值及混合运算的应用能力，关键是能准确理解有理数的相关知识，根据实际问题正确列出算式并计算．7．（2023秋•潢川县期中）小尚的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每周工作五天，该厂实行工资“日结算制”：每天的基本工资为200元，每天基本任务量为40个，若超额完成任务，则超出部分每个按7元奖励；若未完成任务，则未完成部分每个按8元扣除．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是小尚妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五增减产值+5﹣2﹣10+4（1）根据记录的数据可知小尚妈妈星期三生产玩具个；本周实际生产玩具个；（2）小尚妈妈本周的工资总额是多少元？（3）若将工资“日结算制”改为“周结算制”，即每周的基本工资为1000元，每周基本任务为200个；若超额完成任务，则超出部分每个按7元奖励；若未完成任务，则未完成部分每个按8元扣除，在此方式下小尚妈妈本周的工资与“日结算制”的工资哪一个更多？请说明理由．【分析】（1）根据记录可知，小尚妈妈星期三生产玩具40﹣1＝39（个）；先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（2）先计算每天的工资，再相加即可求解；（3）用基本工资加上奖励工资即可求出“周结算制”工资，然后再比较即可．【解答】解：（1）小尚妈妈星期三生产玩具40﹣1＝39（个），本周实际生产玩具：40×5+（+5﹣2﹣1+0+4）＝206（个），故答案为：39；206；（2）200×5+（5+4）×7﹣（2+1）×8＝1000+63﹣24＝1039（元），故小尚妈妈本周的工资总额是1039元；（3）“周结算制”工资为：1000+（206﹣200）×7＝1042（元），1039＜1042，∴“周结算制”的工资更多．【点评】本题考查了正数与负数，有理数的混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键．8．（2023秋•河东区期中）股民李明星期五买进某公司股票1000股，每股16.80元，如表为第2周周一至周五每日该股票的涨跌情况（单位：元）：星期一二三四五每日涨跌+0.4+0.45﹣0.1﹣0.25﹣0.4（1）星期三收盘时每股多少元？（2）这一周内此公司股票的最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？（3）已知李明买进股票时付了成交额0.15%的手续费，卖出时付成交额0.15%的手续费和成交额0.1%的交易税，如果李明在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益是多少元？【分析】（1）根据表格求出周三收盘时的股价即可；（2）求出本周每天的股价，即可做出判断；（3）先算出刚买股票后去掉手续费剩余的钱是多少，然后再算出周五卖出股票后所剩的钱，最后再减去当时的钱，剩下的钱就是所收益的．【解答】解：（1）根据题意得16.80+0.4+0.45﹣0.1＝17.55（元），答：星期三收盘时每股17.55元；（2）星期一16.80+0.4＝17.2（元），星期二17.20+0.45＝17.65（元），星期三17.65﹣0.1＝17.55（元），星期四17.55﹣0.25＝17.30（元），星期五17.30﹣0.40＝16.9（元），答：这一周内此公司股票的最高价是每股17.65元，最低价是每股16.9元；（3）16.9×1000﹣16.8×1000﹣16.8×1000×0.15%﹣16.9×1000×0.15%﹣16.9×1000×0.1%＝100﹣50.55﹣16.9＝32.55（元），答：他的收益是32.55元．【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法计算出每股的价格是解题关键，注意收益等于交易额减成本，减交易费、手续费等于收益．9．（2023秋•东港区期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．如表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）：星期一二三四五六日增减+8﹣2﹣3+16﹣9+10﹣11（1）根据记录可知前三天共生产自行车辆．（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆．（3）若该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产一辆自行车就可以得到人民币60元，一周超额完成任务，每超一辆可多得15元；不足计划数的，每少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？【分析】（1）利用表格中前三个的数据和加上100×3，进行求解即可；（2）表格中的最大数据减去最小数据，即可；（3）计算出生产自行车的总额，根据工资规则，进行计算即可．【解答】解：（1）100×3+（+8﹣2﹣3）＝303（辆）．故答案为：303；（2）+16﹣（﹣11）＝27（辆）．故答案为：27；（3）8﹣2﹣3+16﹣9+10﹣11＝9，（700+9）×60+（8+16+10）×15+（﹣2﹣3﹣9﹣11）×20＝42540+510﹣500＝42550（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是42550元．【点评】本题考查的是有理数的混合运算及正数和负数，解题的关键是读懂题意，正确的列出算式．10．（2022秋•大荔县期末）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，为了吸引顾客，于是张贴出了宣传海报：“桃李手斯面包”大酬宾，第一周每块4.5元，第二周每块5元，第三周每块5.5元，从第四周开始每块恢复为6元．月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如表：周次一二三四销售量2816﹣4﹣12（1）这四周中，最大销售量比最小销售量多块，第三周销售额是元，这四周的总盈利是元．（盈利＝销售额﹣成本）（2）为了拓展学生消费群体，第四周后，该饭堂又决定实行两种优惠方案：方案一：凡来饭堂购买该面包者，每块面包附赠一包成本为0.3元的纸巾；方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块以上的部分可直接打九折．若有人一次性购买5块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出？【分析】（1）根据正数和负数的定义进行求解，再由盈利＝销售额﹣成本运算即可；（2）分别求出两种方案的利润，即可得解．【解答】解：（1）最大销售量比最小销售量多：28﹣（﹣12）＝40（块），第三周的销售量为：200+（﹣4）＝196（块），则其销售额为：196×5.5＝1078（元），四周的总盈利为：（4.5﹣3.5）×（200+28）+（5﹣3.5）×（200+16）+（5.5﹣3.5）×（200﹣4）+（6﹣3.5）×（200﹣12）＝228+324+392+470＝1414（元），故答案为：40，1078，1414；（2）方案一利润为：（6﹣3.5﹣0.3）×5＝11（元），方案二利润为：3×6+（5﹣3）×6×0.9﹣3.5×5＝11.3（元），则饭堂更希望方案二卖出．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，正数与负数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．【题型2整式加减的实际应用】1．（2023秋•沂水县期中）甲三角形的周长为3a2﹣6b+8，乙三角形的第一条边长为a2﹣2b，第二条边长为a2﹣3b，第三条边比第二条边短a2﹣2b﹣5．（1）求乙三角形第三条边的长；（2）甲、乙两三角形的周长哪个大？试说明理由；（3）a、b都为正整数，甲、乙两三角形的周长在数轴上表示的点分别为A、B，若A、B两点之间恰好有18个“整数点”（点表示的数为整数），求a的值．【分析】（1）根据第二条边长为a2﹣3b，第三条边比第二条边短a2﹣2b﹣5．可求出第三条边，（2）求出乙三角形的周长，再利用作差法，和非负数的意义做出判断即可，（3）由A、B两点之间恰好有18个“整数点”，可知A、B两点所表示的数的差等于19，进而求出a的正整数值．【解答】解：（1）由题意得，（a2﹣3b）﹣（a2﹣2b﹣5）＝﹣b+5，答：乙三角形第三条边的长为﹣b+5，（2）乙三角形的周长为：（a2﹣2b）+（a2﹣3b）+（﹣b+5）＝2a2﹣6b+5，甲、乙三角形的周长的差为：（3a2﹣6b+8）﹣（2a2﹣6b+5）＝a2+3＞0，∴甲三角形的周长较大，答：甲三角形的周长较大．（3）由题意得，a2+3＝19，∵a为正整数，∴a＝4，答：a的值为4．【点评】考查整式的加减，不等式的应用即解法，利用作差法和非负数的意义，是比较两个代数式的值的大小常用方法．2．（2022秋•南浔区期末）小林房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个半径相同的四分之一圆组成的．（1）用代数式表示窗户能射进阳光的面积．（结果保留π）（2）出于美观考虑，小林重新将房间的窗帘设计成如图2所示（由两个半径相同的四分之一圆和一个半圆组成），请用代数式表示该种设计下窗户能射进阳光的面积．（结果保留π）（3）当a＝10时，比较哪种设计射进阳光的面积更大，大多少．（π取3）【分析】（1）长方形面积减去半圆的面积；（2）长方形的面积减去一个大半圆的面积和一个小半圆的面积；（3）利用（1）（2）的代数式，代入数据求值并比较大小．【解答】解：（1）窗户能射进阳光的面积为：6a−12π×32＝6a−（2）重新设计后窗户能射进阳光的面积为：6a−12π×22−12π×12＝6（3）当a＝10时，原来窗户能射进阳光的面积为：6a−92重新设计后窗户能射进阳光的面积为：6a−52重新设计后窗户能射进阳光的面积﹣原来窗户能射进阳光的面积＝（6a−52π）﹣（6a−＝2π≈6，∴设计后射进阳光的面积更大，大6．【点评】本题考查了列代数式，代数式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式．3．（2023秋•阿城区期中）某市有甲、乙两种出租车，他们的服务质量相同．甲的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费10元，每超过1千米则另外收费1.3元（不足1千米按1千米收费）；乙的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费8元，每超过1千米则另外收费1.7元（不足1千米按1千米收费）．某人到该市出差，需要乘坐的路程为x千米（x＞3）．（1）用代数式表示此人分别乘坐甲、乙出租车各所需要的费用；（2）假设此人乘坐的路程为15.2千米，请问他乘坐哪种车较合算？【分析】（1）根据题意可以用代数式分别表示出两种出租车的费用；（2）根据题意可以分别求得此人乘坐的路程为15.2千米，两种车的费用，然后比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，此人乘坐甲种出租车的费用为：10+（x﹣3）×1.3＝（1.3x+6.1）元，此人乘坐乙种出租车的费用为：8+（x﹣3）×1.7＝（1.7x+2.9）元；（2）由题意可得，甲种出租车的费用为：1.3×16+6.1＝26.9（元），乙种出租车的费用为：1.7×16+2.9＝30.1（元），∵26.9＜30.1，∴此人选择甲种出租车．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．4．（2023秋•二道区校级期末）为弘扬传统文化，力旺中学组织全校师生“扭秧歌”迎接新年．七年级某班主任老师为学生们准备秧歌服，他对比了“线下租用”和“线上购买”两种方案：线下租用：租金30元每套，还需支付共100元的同城跑腿费．线上购买：价格35元每套，购买数量不超过30套时，原件销售，购买数量超过30套时，超过的部分在原价的基础上打八折销售，无论购买数量，商家均提供包邮服务．（1）线下租用10套秧歌服，总费用为元；（2）设线上购买x套秧歌服，用含有x的代数式表示总费用；（3）班主任需要准备50套秧歌服，应选择哪种方案比较合算？说明理由．【分析】（1）根据线下租金费用＝100元的同城跑腿费+套数×单价即可求解；（2）根据线上购买方案分两种情况可以解答；（3）分别根据两种方案计算费用，比较大小可解答．【解答】解：（1）100+10×30＝400（元），故答案为：400；（2）当0＜x≤30时，总费用＝35x；当x＞30时，总费用＝35×30+35×0.8（x﹣30）＝28x+210；（3）线下租用合算，理由如下：线下租用费用＝30×50+100＝1600（元），线上购买费用＝28×50+210＝1610（元），∵1600＜1610，∴线下租用合算．【点评】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键．5．（2022秋•荆门期末）公司改革实行每月考核再奖励的新制度，大大调动了员工的积极性.2013年一名员工每月奖金的变化如下表：（正数表示比前一月多的钱数，负数表示比前一月少的钱数）单位：（元）月份一月二月三月四月五月六月七月钱数变化+300+220﹣150﹣100+330+200+280（1）若2012年底12月份奖金为a元，用代数式表示2013年二月的奖金；（2）请判断七个月以来这名员工得到奖金最多是哪个月？最少是哪个月？它们相差多少元？（3）若2013年这七个月中这名员工最多得到的奖金是2800元，请问2012年12月份他得到多少奖金？【分析】（1）根据表格及2012年12月的钱数表示出二月份的奖金即可；（2）分别表示出各月的奖金，得出最多与最少的月份，相减即可得到结果；（3）由（2）表示出的最多的钱数等于2800求出a的值，即可求出2012年12月份他得到奖金．【解答】解：（1）根据题意得：a+300+220＝a+520，则2013年二月的奖金为（a+520）元；（2）一月奖金：（a+300）元；二月奖金：（a+520）元；三月奖金：a+520﹣150＝a+370（元）；四月奖金：a+370﹣100＝a+270（元）；五月奖金：a+270+330＝a+600（元）；六月奖金：a+600+200＝a+800（元）；七月奖金：a+800+280：a+1080（元），最多的是七月份奖金为（a+1080）元；最少的是四月份奖金为（a+270）元，相差：（a+1080）﹣（a+270）＝810（元）；（3）由题意知a+1080＝2800，解得a＝1720，所以2012年12月份他得到奖金1720元．【点评】此题考查了整式加减，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．6．（2022秋•美兰区校级期中）新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：（1）每本书的高度为cm，课桌的高度为cm．（2）当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离（用含x的代数式表示）．（3）桌面上有55本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摆，若有16名同学各从中取走1本，求余下的数学课本高出地面的距离．【分析】（1）让高摞书距离地面的距离减去低摞书距离地面的距离后除以3即为每本数的高度；让低摞书的高度减去3本书的高度即为课桌的高度；（2）高出地面的距离＝课桌的高度+x本书的高度，把相关数值代入即可；（3）把x＝55﹣18代入（2）得到的代数式求值即可．【解答】解：（1）书的厚度为：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；课桌的高度为：86.5﹣3×0.5＝85cm．故答案为：0.5；85；（2）∵x本书的高度为0.5x，课桌的高度为85，∴高出地面的距离为85+0.5x（cm）．故答案为：（85+0.5x）cm；（3）当x＝55﹣16＝39时，85+0.5x＝104.5cm．故余下的数学课本高出地面的距离是104.5cm．【点评】考查列代数式及代数式求值问题；得到课桌的高度及每本书的厚度是解决本题的突破点，也是解题的关键．7．（2023秋•深圳校级期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm．（1）从图可知，每个小长方形的较长边的长是cm（用含y的代数式表示）．（2）求阴影A和阴影B的周长和（用含x的代数式表示）．（3）当y＝30时，用含x的代数式分别表示阴影A，B的面积，并比较A，B面积的大小．【分析】（1）观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y﹣15）cm；（2）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5）cm；（3）利用长方形的面积公式分别求得阴影A，B的面积，将y＝30代入计算阴影A，B的面积，比较大小即可得出结论．【解答】解：（1）从图可知，每个小长方形的较短边的长是5cm，∴每个小长方形的较长边的长是：y﹣5×3＝（y﹣15）cm．故答案为：（y﹣15）；（2）由图形可知，阴影A的长为（y﹣15）cm，宽为（x﹣10）cm，阴影B的长为15cm，宽为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，∴阴影A和阴影B的周长和为：2（y﹣15+x﹣10）+2（15+x﹣y+15）＝（4x+10）cm．（3）由（2）知：阴影A的长为（y﹣15）cm，宽为（x﹣10）cm，阴影B的长为15cm，宽为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，则阴影A的面积为（y﹣15）（x﹣10）cm2，阴影B的面积为15（x﹣y+15）cm2，当y＝30时，阴影A的面积为15（x﹣10）cm2，阴影B的面积为15（x﹣15）cm2，∵15（x﹣10）﹣15（x﹣15）＝15x﹣150﹣15x+225＝75＞0，∴阴影A＞阴影B面积．【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，矩形的周长与面积，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．8．（2022秋•东台市期中）民谚有云：“不到庐山辜负目，不食螃蟹辜负腹．”，又到了食蟹的好季节啦！某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为120元/千克，批发价各不相同．A家规定：当批发数量不超过100千克时，所购蟹均按零售价的92%优惠；当批发数量超过100千克但不超过200千克时，所购蟹均按零售价的90%优惠；当批发量超过200千克时，所购蟹均按零售价的88%优惠．B家的规定如下表：数量范围（千克）0～50部分（含50）50以上～150部分（含150，不含50）150以上～250部分（含250，不含150）250以上部分（不含250）价格（元）零售价的95%零售价的85%零售价的75%零售价的70%（1）如果他批发80千克太湖蟹，则他在A家批发需要元，在B家批发需要元；（2）如果他批发x千克太湖蟹（150＜x＜200），则他在A家批发需要元，在B家批发需要元（用含x的代数式表示）；（3）现在他要批发180千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．【分析】（1）根据A、B两家的优惠办法分别求出两家购买需要的费用就可以了．（2）根据题意列出式子分别表示出购买x千克太湖蟹所相应的费用就可以了．（3）当x＝180分别代入（2）的表示A、B两家费用的两个式子，然后再比较其大小就可以．【解答】解：（1）由题意，得：A：80×120×92%＝8832元，B：50×120×95%+30×120×85%＝8760元．（2）由题意，得A：120×90%x＝108x，B：50×120×95%+100×120×85%+（x﹣150）×120×75%＝90x+2400．（3）选择在B家批发更优惠理由：A：108×180＝19440B：90×180+2400＝1860019440＞18600∴选择在B家批发更优惠．故答案为：（1）8832；8760（2）108x，90x+2400【点评】本题考查代数式问题，关键是根据列代数式和求代数式的值以及数学实际问题中的方案设计及实惠问题解答．9．（2023秋•娄底期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价800元，领带每条定价100元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．（1）若该客户按方案一购买，需付款元．（用含x的式子表示）若该客户按方案二购买，需付款元．（用含x的式子表示）（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）如果客户购物时可以同时选择两种优惠方案，当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．【分析】（1）根据两种方案，利用西装的费用+领带的费用列代数式；（2）当x＝30时，分别求解两方案的费用，即可求解；（3）根据x＝30可列出更为省钱的方案，列式计算可求解．【解答】解：（1）方案一费用：800×20+100×（x﹣20）＝（100x+14000）元，方案二费用：800×20×90%+100x×90%＝（90x+14400）元，故答案为：（100x+14000）；（90x+14400）；（2）当x＝30时，方案一费用：100×30+14000＝17000（元）；方案二费用：90×30+14400＝17100（元）；∵17000＜17100，∴按方案一购买较为合算；（3）先按方案一购买20套西装赠20条领带，再按方案二购买10条领带，800×20+100×90%×10＝16900（元），故此方案需要付款16900元．【点评】本题考查列代数式，求代数式的值，根据题意列代数式是解题的关键．10．（2022秋•渠县校级期末）某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为2000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有a（a＞10）人，则甲旅行社的费用为元，乙旅行社的费用为元；（用含a的代数式表示，并化简．）（2）假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．（3）如果计划在五月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为a，则这七天的日期之和为．（用含a的代数式表示，并化简．）（4）假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程．）【分析】（1）由题意得，甲旅行社的费用＝2000×0.75a；乙旅行社的费用＝2000×0.8（a﹣1），再对两个式子进行化简即可；（2）将a＝20代入（1）中的代数式，比较费用较少的比较优惠；（3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可；根据前面求得七天的日期之和的求得最中间的那个日期，然后分别求得当为63的1倍，2倍，3倍时，日期分别是什么即可．【解答】解：（1）由题意得，甲旅行社的费用＝2000×0.75a＝1500a；乙旅行社的费用＝2000×0.8（a﹣1）＝1600a﹣1600；故答案为1500a．（1600a﹣1600）．（2）将a＝20代入得，甲旅行社的费用＝1500×20＝30000（元）；乙旅行社的费用＝1600×20﹣1600＝30400（元）∵30000＜30400元∴甲旅行社更优惠；（3）设最中间一天的日期为a，则这七天分别为：a﹣3，a﹣2，a﹣1，a，a+1，a+2，a+3∴这七天的日期之和＝（a﹣3）+（a﹣2）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+2）+（a+3）＝7a（4）①设这七天的日期和是63，则7a＝63，a＝9，所以a﹣3＝6，即6号出发；②设这七天的日期和是63的2倍，即126，则7a＝126，a＝18，所以a﹣3＝15，即15号出发；③设这七天的日期和是63的3倍，即189，则7a＝189，a＝27，所以a﹣3＝24，即24号出发；所以他们可能于五月6号或15号或24号出发．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．【题型3一元一次方程的实际应用】1．（2023秋•庆阳期末）庆阳市把足球运球作为中考体育考试选考项目，而足球标志杆是足球运球项目的主要道具，足球标志杆分为底座和杆两部分（如图），某学校欲购买一批足球标志杆供同学们练习使用．（1）第一次购买了25个底座和40根杆（杆容易断，所以购买的多），底座的单价比杆的单价多5元，共花费了450元，本次购买底座和杆的单价各是多少元？（2）第二次又购买了底座和杆共计80个（根），且（1）中底座和杆的单价分别下降了30%和20%，第二次按变化后的价格购买，共花费了380元，第二次购买底座和杆各是多少？【分析】（1）设第一次购买杆的单价是x元，则底座的单价是（x+5）元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出第一次购买杆的单价，再将其代入（x+5）中，可求出第一次购买底座的单价；（2）设第二次购买底座y个，则购买杆（80﹣y）根，利用总价＝单价×数量，可列出关于y的一元一次方程，解之可求出第二次购买底座的数量，再将其代入（80﹣y）中，可求出第二次购买杆的数量．【解答】解：（1）设第一次购买杆的单价是x元，则底座的单价是（x+5）元，根据题意得：40x+25（x+5）＝450，解得：x＝5，∴x+5＝5+5＝10（元）．答：第一次购买底座的单价是10元，杆的单价是5元；（2）设第二次购买底座y个，则购买杆（80﹣y）根，根据题意得：10×（1﹣30%）y+5×（1﹣20%）（80﹣y）＝380，解得：y＝20，∴80﹣y＝80﹣20＝60（根）．答：第二次购买底座20个，杆60根．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2023秋•凉州区校级期末）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数；（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？【分析】（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，根据该工厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；（2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，由题意得：（2x﹣200）+x＝1000，解得：x＝400，∴2x﹣200＝2×400﹣200＝600，答：生产盲盒A的工人人数为600人；（2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，由题意得：3×20m＝2×10（1000﹣m），解得：m＝250，∴1000﹣m＝1000﹣250＝750，答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．3．（2023秋•弋阳县期末）一项工程需要甲、乙两队完成，已知甲队单独完成需要48天，乙队单独完成需要60天．甲队先做12天，然后甲、乙两队合作完成剩下的工作．（1）甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？（2）已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费7200元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？【分析】（1）设甲、乙两队合作还需要x天完成此项工作，根据甲队单独完成需要48天，乙队单独完成需要60天．甲队先做12天，然后甲、乙两队合作完成剩下的工作．列出一元一次方程，解方程即可；（2）设甲队每天的劳务费是y元，则乙队每天的劳务费是（y﹣30）元，根据完成这项工程共需支付劳务费7200元．列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）设甲、乙两队合作还需要x天完成此项工作，由题意得：148（12+x）+1解得：x＝20，答：甲、乙两队合作还需要20天完成此项工作；（2）设甲队每天的劳务费是y元，则乙队每天的劳务费是（y﹣30）元，由题意得：（12+20）y+20（y﹣30）＝7200，解得：y＝150，∴y﹣30＝150﹣30＝120，答：甲队每天的劳务费是150元，乙队每天的劳务费是120元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．4．（2023秋•西和县期末）目前，成都市城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）第1档不超过180度的部分0.5第2档超过180度的部分0.6（1）若我市某户12月用电量为200度，该户应交电费元．（2）若我市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示0≤x≤180和x＞180时该户12月应交电费多少元．（3）若我市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度？【分析】（1）根据总价＝单价×数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论；（2）分0≤x≤180及x＞180两种情况，用含x的代数式表示出该户12月应交电费；（3）由（1）可得出x＞200，结合（2）的结论即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）0.5×180+0.6×（200﹣180），＝0.5×180+0.6×20，＝90+12，＝102（元）．故答案为：102．（2）当0≤x≤180时，该户12月应交电费为0.5x元；当x＞180时，该户12月应交电费为0.5×180+0.6（x﹣180），＝90+0.6x﹣108，＝（0.6x﹣18）（元）．（3）∵102＜126，∴x＞200，∴0.6x﹣18＝126，∴x＝240．答：该户12月用电量为240度．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．5．（2023秋•光山县校级期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）．（1）后队出发后多长时间可以追上前队？（2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？（3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？【分析】（1）根据后队追上前队所走路程一样可列方程；（2）当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间为后队刚好追上前队的时间，根据（1）追及时间可知，联络员共骑行的距离也即可求出；（3）用前面队伍所走的路程减去联络员所骑行的距离等于联络员骑行的距离减去后面队伍所走的路程，列式求解即可．【解答】解：（1）设后队追上前队所用时间为t小时，则前队被追上时所走时间为（t+1）小时，根据“路程＝时间×速度”，两队伍追上时路程一样，可列方程为：6t＝4（t+1）解得，t＝2．∴后队出发后两小时可以追上前队．（2）∵当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间等于后队刚好追上前队的时间，t＝2，∴联络员骑行距离为：s＝vt＝12×2＝24（km）．∴联络员共骑行了24km．（3）设联络员出发后t小时与前队和后队的距离相等为skm，联络员出发后t小时，前队所走的路程为：4（t+1）km；后队所走的路程为：6tkm；联络员所走的路程为：12tkm，联络员与前队距离为：4（t+1）﹣12t；联络员与后队距离为：12t﹣6t，根据联络员与前后队距离相等得到，s＝12t﹣6t＝4（t+1）﹣12t，解得：t=2∴联络员骑行27【点评】本题主要考查一元一次方程的实际应用，解答本题的关键在于找到题目中的等量关系列式求解．6．（2023秋•泸县校级期末）某商场从厂家购进了A，B两种品牌足球共80个，已知购进A品牌足球比购进B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是40元，B品牌足球每个进价是60元．（1）购进A，B两种品牌足球各多少个？（2）在销售过程中，A品牌足球每个售价是80元，很快全部售出；B品牌足球每个按进价加价25%销售，售出一部分后出现滞销，商场决定打九折出售剩余的B品牌足球，两种品牌足球全部售出后共获利1400元，有多少个B品牌足球打九折出售？【分析】（1）设购进A种品牌足球x个，那么购进B种品牌足球（80﹣x）个，根据题意列出方程解答即可．（2）设有y个B品牌足球打九折出售，根据题意列出方程解答即可．【解答】解：（1）设购进A种品牌足球x个，那么购进B种品牌足球（80﹣x）个，根据题意得：60（80﹣x）﹣40x＝2800，4800﹣60x﹣40x＝2800，﹣60x﹣40x＝2800﹣4800，﹣100x＝﹣2000，x＝20，80﹣20＝60，答：购进A种品牌足球20个，购进B种品牌足球60个．（2）设有y个B品牌足球打九折出售，根据题意得：20（80﹣40）+[60（1+25%）﹣60]（60﹣y）+[60（1+25%）×0.9﹣60]y＝1400整理得：800+15（60﹣y）+7.5y＝1400，﹣7.5y＝﹣300，y＝40，答：有40个B品牌足球打九折出售．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答．7．（2022秋•剑阁县期末）某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：运输公司起步价（单位：元）里程价（单位：元/千米）甲10005乙50010（1）仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？（2）仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？（3）根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？【分析】（1）由收费方式分别求出甲、乙运输公司的收费，然后再比较大小即可．（2）设当运输距离为x千米时，两家公司的收费相同，由两家公司的收费方式列方程，然后解出即可；（3）根据（1）、（2）可以得出结论．【解答】解：（1）甲运输公司收费为1000+5×120＝1600（元），乙运输公司收费为500+10×120＝1700（元）．∵1600＜1700，∴该工厂选择甲运输公司更划算；（2）设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同，根据题意，得1000+5x＝500+10x，解得x＝100，答：运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家；（3）当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司．【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用等知识点，依据题意，正确建立方程是解题关键．8．（2023秋•弋阳县期末）某书店预购进A、B两类学生书刊．若购买300本A书刊和200本B书刊共需要4400元，其中A、B两类书刊的进价和售价如下表：AB进价（元/本）xx+2售价（元/本）1520（1）求A、B两类书刊的进价各是多少元？（2）若书店第一次购进A、B两类书刊共600本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为4950元，求该书店第一次分别购进A、B两类书刊各多少本？（3）若第二次购进时两类书刊的进价都比上次优惠了10%，购进同样数量的两类书刊，再次销售时书店对A类书刊售价不变，B类书刊进行打折出售，全部售完后总利润比上次还多30元，求B类书刊打了几折？【分析】（1）根据购买300本A书刊和200本B书刊共需要4400元列方程，解方程即可求解；（2）设A类书刊购进m本，则B类书刊购进（600﹣m）本，由全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为4950元可列方程，解方程结可求解；（3）设B类书刊打了a折，分别求解600本书的进价和售价，根据600本书的利润列方程，解方程即可求解．【解答】（1）由题意得：300x+200（x+2）＝4400，解得：x＝8．∴x+2＝8+2＝10（元）．答：A类书刊的进价是8元，B类书刊的进价是10元．（2）设A类书刊购进m本，则B类书刊购进（600﹣m）本，由题意得：（15﹣8）m+（20﹣10）（600﹣m）＝4950，解得：m＝350．∴600﹣m＝600﹣350＝250（本）．答：A类书刊购进350本，B类书刊购进250本．（3）设B类书刊打了a折，600本书的售价为：350×15×+250×20×a10=进价为：（350×8×+250×10）×（1﹣10%）＝4770（元）．利润为：500a+5250﹣4770＝4950+30．解得：a＝9答：B类书刊打了9折．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．9．（2023秋•合川区期末）学校计划组织七年级600名师生租车进行研学活动．现已知租车公司有32座和45座两种客车，1辆32座客车和2辆45座客车的租金共为2800元，每辆45座客车的租金刚好为每辆32座客车租金的1.25倍．（1）求每辆32座客车和每辆45座客车的租金各为多少元？（2）若单独租用这两种车辆中的一种（全体师生都能乘坐，只有1辆车可能未坐满），各需多少元？（3）若学校同时租用这两种客车共14辆（全体师生都能乘坐，只有1辆车可能未坐满），请直接写出两种客车各多少辆时，租车费用最少，并求出此时的租车费用．【分析】（1）设每辆32座客车的租金为x元，则每辆45座客车的租金为1.25x元，根据1辆32座客车和2辆45座客车的租金共为2800元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出每辆32座客车的租金，再将其代入1.25x中，即可求出每辆45座客车的租金；（2）分别求出单独租用这两种车辆中的一种所需辆数，再利用总租金＝每辆客车的租金×租车数量，即可求出结论；（3）根据师生总数及同时租用这两种客车共14辆，找出各组成方案，再求出各方案所需租车费用，比较后即可得出结论（此处无法使用一元一次不等式，一元一次不等式是七下的内容）．【解答】解：（1）设每辆32座客车的租金为x元，则每辆45座客车的租金为1.25x元，根据题意得：x+2×1.25x＝2800．解得：x＝800，∴1.25x＝1.25×800＝1000（元）．答：每辆32座客车的租金为800元，每辆45座客车的租金为1000元；（2）∵600÷32＝18.75（辆），18+1＝19（辆），∴若单独租用32座客车需19辆，所需租金为800×19＝15200（元），∵600÷45＝1313∴若单独租用45座客车需14辆，所需租金为1000×14＝14000（元）．答：若单独租用32座客车需15200元，若单独租用45座客车需14000元；（3）当租用14辆45座客车时，所需租车费用为1000×14＝14000（元）；当租用13辆45座客车时，剩余师生600﹣45×13＝15（人），∵15＜32，∴可以再租用1辆32座客车，所需租车费用为1000×13+800×1＝13800（元）；当租用12辆45座客车时，剩余师生600﹣45×12＝60（人），∵60＜32×2＝64，∴可以再租用2辆32座客车，所需租车费用为1000×12+800×2＝13600（元）；当租用11辆45座客车时，剩余师生600﹣45×11＝105（人），∵105＞32×3＝96，∴再租用3辆32座的客车无法乘载剩余师生．∵14000＞13800＞13600，∴租用2辆32座客车和12辆45座客车时，租车费用最少，此时租车费用为13600元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）根据师生总数及租车总数量，找出符合题意的租车方案．10．（2023秋•普宁市期末）春节即将来临，甲、乙两公司准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两公司共102人，其中甲公司的退休职工人数在51﹣100人之间，乙公司的退休职工人数在1﹣50人之间．经了解，该风景区的门票价格如下表：数量（张）1﹣5051﹣100101张及以上单价（元/张）60元50元40元如果两公司分别单独购买门票，一共应付5500元．（1）如果甲、乙两公司联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？（2）甲、乙两公司各有多少名退休职工准备参加游玩？（3）如果甲公司有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，小明由此设计了下面三种购票方案：①两公司分别单独购买门票；②两公司联合购买90张门票；③两公司联合购买101张门票，请你通过计算，选出最省钱的购票方案．【分析】（1）运用分别购票的费用和﹣联合购票的费用就可以得出结论；（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元”建立方程求出其解即可；（3）分别求出三种方案的付费，比较即可．【解答】解：（1）甲、乙两公司联合起来购买门票的费用为：102×40＝4080（元），∵5500﹣4080＝1420（元），答：甲、乙两公司联合起来购买门票，比各自购买门票共可以节省1420元钱；（2）设甲公司有x名退休职工准备参加游玩，则乙公司有（102﹣x）名退休职工准备参加游玩，根据题意得：50x+60（102﹣x）＝5500，解得x＝62，此时102﹣62＝40（名），答：甲公司有62名退休职工准备参加游玩，乙公司有40名退休职工准备参加游玩；（3）根据题意知，甲公司有62﹣12＝50（名）退休职工准备参加游玩，方案①：50×60+40×60＝5400（元）；方案②：90×50＝4500（元）；方案③：101×40＝4040（元）；∵5400＞4500＞4040，∴按方案③购买门票更省钱．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用，解答时建立方程求出各单位人数是关键．【题型4与数轴有关的应用问题】1．（2022秋•汾阳市期末）综合与探究如图，数轴上有一点O从原点开始出发，先向左移动3cm（1个单位长度表示1cm）到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动8cm到达C点．（1）请在题中所给的数轴上表示出A，B，C三点的位置．（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝cm；若数轴上的点M表示的数为x，点N表示的数为y（x＜y），则MN＝cm．（3）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时点A，C分别以每秒3cm、8cm的速度向右移动，设移动时间为t（t＞0）秒，试探究CA﹣AB的值是否会随着t的变化而变化，请说明理由．【分析】（1）根据运动规律“左减右加”，在数轴上表示出A、B、C三点的位置即可．（2）根据两点的距离公式即可求解．（3）根据题意用含t的式子表示出CA和AB，再相减即可得到结论．【解答】解：（1）如图，（2）由（1）可知点C表示的数为3，点A表示的数为﹣3，∴CA＝3﹣（﹣3）＝6（cm）；∵数轴上的点M表示的数为x，点N表示的数为y（x＜y），∴MN＝（y﹣x）cm．故答案为：6；（y﹣x）．（3）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：∵点B以每秒2cm的速度向左移动，同时点A，C分别以每秒3cm、8cm的速度向右移动，∴点B表示的数为﹣5﹣2t，点A表示的数为﹣3+3t，点C表示的数为3+8t，∴CA＝3+8t﹣（﹣3+3t）＝5t+6，AB＝﹣3+3t﹣（﹣5﹣2t）＝5t+2，∴CA﹣AB＝5t+6﹣（5t+2）＝4，∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．【点评】本题考查了数轴上两点的距离、整式的加减，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键．2．（2023秋•凤山县期末）如图，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．（1）求点B表示的数，并在数轴上将点B表示出来；（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向，以每秒2个单位长度的速度运动，求经过多少秒，点P与点A的距离是2个单位长度？（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从点A出发，沿着数轴的负方向，以每秒4个单位长度的速度运动．当点Q与点B的距离是6个单位长度时，直接写出此时点P与点Q的距离．【分析】（1）由算式4﹣10求得点B表示的数是﹣6，在数轴上表示出点B即可；（2）设运动的时间是t秒，则点P表示的数是﹣6+2t，于是列方程得4﹣（﹣6+2t）＝2或﹣6+2t﹣4＝2，解方程求出t的值即可；（3）根据题意，点Q表示的数是4﹣4t，则4﹣4t﹣（﹣6）＝6或﹣6﹣（4﹣4t）＝6，求得t＝1或t＝4，再求出当t＝1时，点P和点Q表示的数分别为﹣4和0，则PQ＝4；当t＝4时，点P和点Q表示的数分别是2和﹣12，则PQ＝14．【解答】解：（1）∵4﹣10＝﹣6，∴点B表示的数是﹣6，如图所示．（2）设运动的时间是t秒，则点P表示的数是﹣6+2t，根据题意得4﹣（﹣6+2t）＝2或﹣6+2t﹣4＝2，解得t＝4或t＝6，答：经过4秒或6秒，点P与点A的距离是2个单位长度．（3）根据题意，点Q表示的数是4﹣4t，∴4﹣4t﹣（﹣6）＝6或﹣6﹣（4﹣4t）＝6，解得t＝1或t＝4，∴经过1秒或4秒，点Q与点B的距离是6个单位长度，当t＝1时，﹣6+2t＝﹣6+2×1＝﹣4，4﹣4t＝4﹣4×1＝0，∴PQ＝0﹣（﹣4）＝4；当t＝4时，﹣6+2t＝﹣6+2×4＝2，4﹣4t＝4﹣4×4＝﹣12，∴PQ＝2﹣（﹣12）＝14，答：此时点P与点Q的距离是4个单位长度或14个单位长度．【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示点P和点Q所对应的数是解题的关键．3．已知数轴上有A、B两个点．（1）如图1，若AB＝a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且ACCB则AC＝，CB＝，MC＝（用含a的代数式表示）；（2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20．①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB＝3BN．②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值．【分析】（1）根据题意计算即可；（2）根据题意列方程即可得到结论；由点P、Q的运动规律找出点P、Q表示的数，分三种情况考虑，根据两点间的距离公式结合PQ＝18即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB＝a，C为线段AB上的一点，且ACCB∴AC=33+4AB=37a，CB=∵M是AB的中点，∴MC=12AB−37故答案为：37a，47a，1（2）①∵若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20，∴AB＝BC＝30，设x秒时，C在B右边时，恰好满足MB＝3BN，∵BM=12（8x+4x+30），BN=12（30﹣4∴当MB＝3BN时，12（8x+4x+30）＝3×12（30﹣4x解得：x＝2，∴2秒时恰好满足MB＝3BN；②点P表示的数为20﹣t，点Q表示的数为20﹣3（t﹣30），Ⅰ、当点P移动18秒时，点Q没动，此时，PQ两点间的距离恰为18个单位；Ⅱ、点Q在点P的右侧，∴20﹣3（t﹣30）﹣（20﹣t）＝18，解得：t＝36，Ⅲ、当点Q在点P的左侧，∴20﹣t﹣[20﹣3（t﹣30）]＝18，解得：t＝54；综上所述：当t为18秒、36秒和54秒时，P、Q两点相距18个单位长度．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键，本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，细心仔细是得分的关键．4．（2023秋•南开区期末）已知数轴上点O表示的数是0，A，B两点表示的数分别是a，b，且满足|a+6|+|b﹣15|＝0．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒，点P运动到点B时停止．（Ⅰ）填空：①a＝，b＝．②点P表示的数为（用含有t的式子表示）；③当t的值为时，点P停止运动．（Ⅱ）当点P在线段AO上运动时，若M为PA的中点，N为PO的中点，试判断在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化．如果发生变化，请说明理由，如果不发生变化，请求出线段MN的值．（Ⅲ）当点P运动到点O时，动点Q开始从点A出发，以每秒32个单位长度的速度在A，B两点之间往返运动．动点P仍按照原来的速度运动，直至点P停止运动，点Q也停止运动．当P，Q两点之间的距离为54时，直接写出的【分析】（Ⅰ）①根据非负数的性质求解；②根据向右运动用加法列式表示；③根据“时间＝路程÷速度”计算；（Ⅱ）根据两点之间的距离公式求解；（Ⅲ）根据两点之间的距离公式求解．【解答】解：（Ⅰ）①由题意得：a＝﹣6，b＝15，故答案为：﹣6，15；②点P表示的数为：﹣6+t，故答案为：﹣6+t；③t＝15﹣（﹣6）＝21，故答案为：21；（Ⅱ）线段MN的长度不发生变化，为3；理由：M表示的数为：−6+(−6+t)2=−6+12t，N表示的数为：−6+t∴MN＝|（﹣6+12t（Ⅲ）当6≤t≤20时，|t−32（t﹣6）|解得：t＝15.5或t＝20.5（不合题意，舍去），当20＜t≤21，|15−32（t﹣20）﹣（﹣6+t）|解得：t＝20.9或t＝19.9（不合题意，舍去），所以当t＝15.5或20.9时，P、Q相距54【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．5．（2023秋•下城区校级期中）已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足（c﹣4）2+|a+b|＝0．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB．（1）a＝，b＝，c＝；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为1秒，则点B对应为，AB＝，BC＝（结果用含t的代数式表示）这种情况下，BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B变为以每秒n（n＞0）个单位长度的速度向右运动，当t＝2时，AC＝3BC，求n的值．【分析】（1）b是最小的正整数，a，b，c满足（c﹣4）2+|a+b|＝0，可得a、b、c；（2）分别写出a、b、c对应的点的代数式，可得AB、BC，以BC﹣AB是否为常数判断BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变；（3）t＝2，可得A、C两点的坐标，以及B点坐标的代数式，根据AC＝3BC列式子，可得n的值．【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1，∵（c﹣4）2+|a+b|＝0，∴c﹣4＝0，a+b＝0，解得：c＝4，a＝﹣1，故答案为：﹣1，1，4；（2）点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，∴运动t秒后，点B对应的点为（1+2t），点A对应的点为（﹣1﹣t），点C对应的点为（4+5t），∴AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝2+3t，BC＝4+5t﹣（1+2t）＝3+3t，BC﹣AB＝|3+3t﹣（2+3t）|＝1，∴这种情况下，BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变，BC﹣AB＝1，故答案为：1+2t，2+3t，3+3t；（3）t＝2，点A对应的点为﹣3，点C对应的点为14，点B变为以每秒n（n＞0）个单位长度的速度向右运动，∴点B对应的点为（1+2n），∵AC＝3BC，∴14﹣（﹣3）＝3[14﹣（1+2n）]，解得：n=11【点评】本题考查了实数与数轴，关键是准确写出对应点坐标．6．（2023秋•雁塔区校级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC＝2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数﹣1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点，点D是线段BA内二倍分割点．（1）若M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为9．MN的内二倍分割点表示的数是；NM的内二倍分割点表示的数是．（2）数轴上，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为10．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．①线段BP的长为；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．【分析】（1）画数轴分析，可求；（2）①点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒，求得线段BP的长，②分情况讨论．【解答】解：（1）由题意得，MN＝12，MB＝2NB，点B是线段MN的内二倍分割点，即MN的内二倍分割点表示的数是5，NA＝2MA，点A是线段NM的内二倍分割点，即NM的内二倍分割点表示的数是1，故答案为：5，1；（2）①∵点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒，∴线段BP的长为2t，故答案为：2t，②当P是AB的内二倍分割点时，AP＝2BP，AB﹣BP＝2BP，30﹣2t＝2×2t，解得：t＝5，当P是BA的内二倍分割点时，BP＝2AP，BP＝2（AB﹣BP），2t＝2（30﹣2t），解得：t＝10，当A是BP的内二倍分割点时，BA＝2PA，BA＝2（PB﹣BA），30＝2（2t﹣30），解得：t＝22.5，当A是PB的内二倍分割点时，PA＝2BA，（PB﹣BA）＝2BA，2t﹣30＝2×30，解得：t＝45，∴t为5、10、22.5或45时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．【点评】本题考查了实数与数轴的应用、解一元一