2019暑假初一升初二数学教材讲义

暑

期

七

升

八

衔

接

班

讲

义

目录

第一讲与三角形有关的线段...................................

3

第二讲与三角形有关的角....................................

8

第三讲全等三角形及其判定(SSS).............................

11

第四讲全等三角形的判定(SAS,AAS,ASA).....................

17

第五讲直角三角形全等的判定(HL)及三角形全等的判定的综合练习…

23

第六讲角平分线的性质................................27

第七讲单元测试

第八讲轴对称.............................................

33

第九讲画轴对称图形........................................

39

第十讲等腰三角形...........................................

44

第十一讲等边三角形............................................

48

第十二讲本章复习............................................

52

第十三讲同底数嘉的乘法和黑的乘方..............................

54

第十四讲积的乘方和整式的乘法..................................

58

第十五讲结业考试

第一讲与三角形有关的线段

知识点1、三角形的概念

0不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边

的公共端点是三角形的顶点。

0三角形的表示方法

三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”

三角形ABC用符号表示为AABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示，顶点B所

对的边AC可用b表示，顶点A所对的边BC可用a表示.

知识点2、三角形的三边关系

【探究】任意画一个AABC,假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以

选择?各条路线的长一样吗?为什么？

0三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b>c,b+c>a,a+c>b

拓展：a+b>c,根据不等式的性质得c-b<a,即两边之差小于第三边。

即a-b<c<a+b(三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差)

【练习1]一个三角形的两边长分别为3cm和7cm,则此三角形的第三边的长可能是()

A.3cmB.4cmC.7cmD.11cm

【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)3,5,8；(2)5,6,10；(3)5,6,7.(4)5,6,12

【辨析】有三条线段a、b、c,a+b>c,扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？

为什么？

【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和

【例1】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是

多少？（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？

【练习】

1.指出下列每组线段能否组成三角形图形

（1）a=5,b=4,c=3（2）a=7,b=2,c=4

（3）a=6,b=6,c=12（4）a=5,b=5,c=6

2.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm,求它的周长。

3.已知等腰三角形的底边长为8cm,一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另

一部分长2cm,求这个三角形的腰长。

4、三角形三边为3,5,3-4a,则a的范围是。

5、三角形两边长分别为25cm和10cm,第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为

6、等腰三角形的周长为14,其中一边长为3,则腰长为

7、一个三角形周长为27cm,三边长比为2：3：4,则最长边比最短边长.

8、等腰三角形两边为5cm和12cm,则周长为。

9、已知：等腰三角形的底边长为6cm,那么其腰长的范围是o

10、已知：一个三角形两边分别为4和7,则第三边上的中线的范围是。

11、下列条件中能组成三角形的是（）

A、5cm,7cm,13cmB,3cm,5cm,9cm

C、6cm,9cm,14cmD>5cm,6cm,11cm

12、等腰三角形的周长为16,且边长为整数，则腰与底边分别为（）

A、5,6B、6,4C、7,2D、以上三种情况都有可能

13、一个三角形两边分别为3和7,第三边为偶数，第三边长为（）

A、4,6B、4,6,8C、6,8D、6,8,10

14^△ABC中，a=6x,b=8x,c=28,则x的取值范围是（）

A、2<x<14B、x>2C、x<14D、7<x<14

15、已知等腰三角形一边长为24cm,腰长是底边的2倍。

求这个三角形的周长。

16、如图,求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD

知识点3三角形的三条重要线段

0三角形的高

（1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫

BDC

做三角形的高(简称三角形的高)

(2)高的叙述方法

AD是4ABC的高

AD1BC,垂足为D

点D在BC上,且NBDA=NCDA=90度

【练习】

画出①、②、③三个AABC各边的高，并说明是哪条边的高.

BC边上的高是BC边上的高是BC边上的高是

AC边上的高是AC边上的高是AC边上的高是

［辨析］高与垂线有区别吗？_____________________________________________

［探究］画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果AABC是直角三角形、钝角三

角形，上面的结论还成立吗？试着画一画

［结论］________________________________________

0三角形的中线

(1)定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

【探究2】如图，AD为三角形ABC的中线，4ABD和4ACD的面积相比有何关系？

4

【例2】如图，已知aABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=yAB,AD=4

厘米，4ABD的周长是12厘米，求AABC各边的长。

0三角形的角平分线

(1)定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角

形的角平分线。

［辨析］三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

画出AABC各角的角平分线，并说明是哪角的角平分线.

c

(1)BD=______=-________；(2)BC=2_______=2

2

⑶NBAE==-:(4)ZBAC=2=2；(5)==90

'2-

知识点4三角形的稳定性

三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具

有稳定性。

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

【试一试】

1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比的周长大6cm,则AB与AC的差为.

2、如图，D为AABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且AABC的面积等于aDEC面积

的2倍，则BE的长为（）

3,若点P是△ABC内一点，试说明AB+AOPB+PC

【课后作业】

LAD是aABC的高，可表示为,AE是AABC的角平分线，可表示为,BF是4ABC

的中线，可表示为.

2.如图2,AD是△ABC的角平分线，则/=Z=-Z；E在AC上，且AE=CE,

2

则BE是AABC的：CF是AABC的高，贝ijN=Z=90°,

CF____AB.

3.如图3,AD是AABC的中线,AE是AABC的角平分线,若BD=2cm,则BC=;若/8人。=60",则

ZCAE=.

4.如图4,以AD为高的三角形共有.

图2

5.三角形的一•条高是一条.....................（

A.直线B.垂线C.垂线段D.射线

6.下列说法中，正确的是.......................（）

A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部

C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部

7.下列图形具有稳定性的是.......................（）

A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形

8.如图8,AD±BC于D,CE1AB于E,AD、CE交于点0,0FJ.CE,则下列说法中

正确的是..........................................（）

A.0E为AABD中AB边上的高B.0D为aBCE中BC边上的高

C.AE为△AOC中0C边上的高1）.OF为△AOC中AC边上的高

9.某同学把一块三角形玻璃打碎成如图7-1-7所示的三块，现在要到玻璃店去

配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是...............（）

A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去

10.已知BD是4ABC的中线，AC长为5cm,AABD与4BDC的周长差为3cm.AB长为

3cm,求BC的长.

<>

11.如图11,在4ABC中，ZACB=90>CD是AB边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,

求⑴^ABC的面积；（2）CD的长.

12.如图12,D是AABC中BC边上一点，DE〃AC交AB于点E,若NEDA=NEAD,试说明，AD是4ABC

的角平分线.

图12

第二讲与三角形有关的角

知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°。

【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真

命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角落量出NBCD的度数，可得到NA+NB+N

ACB=180°o

想一想，还可以怎样拼？

①剪下NA,按图(2)拼在一起,可得到NA+NB+NACB=180°。

图2

②把和NC剪下按图(3)拼在一•起，可得到NA+NB+NACB=180°。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于180"的方法吗？

证明：己知△ABC,求证：ZA+ZB+ZC=18Oo,,

【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30。方向，B岛在A岛的北偏东100。方向，C岛在B岛的北偏西

55。方向，从C岛看A、B两岛的视角NACB是多少度？

【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度？

结论：直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形可以用符号"RtZV'表示，直角三角形ABC可以写成

RtAABC.

由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。

知识点2、三角形的外角

0定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

［自我探究］画出图中三角形ABC的外角

1、判断图中N1是不是AABC的外角:

15

C(5)

2、如图，(l)Nl、N2都是AABC的外角吗?

(2)Z\ABC共有多少个外角？

请在图中标出AABC的其它外角.

3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,你能就此图说明NACD与NA、Z

B的关系吗？

VCE//AB,AZA=,=Z2

又ZACD=+

:.ZACD=+

结论1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

结论2三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)

【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角

和就是三个外角的和。

外角的作用：

1、己知外角和与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个

2、可证一个角等于另两个角的和

3、证明两个角不相等的关系。

［课后练习］

1.填空：求出下列各图中N1的度数.

(1)如图，Zl=；(2)如图，Zl=—一；(3)如图，Zl=

(4)如图,Zl=；(5)如图，Zl=;(6)如图,

2、判断正误：

(1)三角形的一个外角等于两个内角的和.

(2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角，等于它的另一个不相邻的内角.

(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角.

2.已知：如图，Zl=30°,Z2=50°,N3=45°,

则(1)/4=°;(2)Z5=

3.己知：如图N1=40°,Z2=Z3,则

(DZ4=°;(2)Z2=

4.如图，AB〃CD,ZB=55",ZC=40°,则第2题图

(1)ZD=°;(2)Z1=第3题图

5.如图，ZBAE,ZCBF,

ZACD是AABC的三个外角，

它们的和是多少？

解：因为NBAE=N_+N_第4题图

第5题图

ZCBF=Z_+Z—,

ZACD=,

所以NBAE+NCBF+NACD

=(Z_+Z)+()+()

=2(Z1+_________)=2X180°=360°.

6.已知：如图，在AABC中，AD是BC边上的高,

ZBAC=80°,ZC=40°,则NBAD=°第6题

7.已知：如图，BD是AABC的角平分线，

ZA=100",ZC=30°,则NADB=°.

8.*如图,AD、BE分别是AABC的高和

角平分线，ZBAC=100°,ZC=30°,则Nl=—

9、如图所示，D,E分别AC,AB边上的点，DB

交于点F,贝l」NA+NB+NC+NEFB=第8题

10.4ABC中，ZB=ZA+10°,ZC=ZB+20°,

求AABC各内角的度数

11、如图所示，已知N1=N2,NBAC=70度，求NDEF的度数。

9

B

第三讲全等三角形

［观察与探案］

1,观察下列图形，都有什么共同特征？你还能举出其他例子吗？

□定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2、右图中的二个图形是全等形吗？

［思考］二个图形满足什么条件时就能完全重合呢？

结论：_________________________________

3、判断下列说法是否正确：

①五角星都是全等形；（）⑤周长相等的长方形是全等形；（）

②面积相等的三角形是全等形;）⑥周长相等的正方形是全等形；（）

③全等的两个图形面积相等（）⑦全等的两个三角形的大小和形状完全相同；（）

4、拿出纸片，对折以后用剪刀剪出两个三角形，观察发现：这两个三角形、相同，能

够,因此，我们把的两个三角形叫做全等三角形。

0定义：能够完全重:合的两个三角形叫做全等三角形

AABC<(SAI)I-：I;

“全等”用“名”表示，读作“全等于"，如图中的两个三角形全等,

记作：ZkABC&ADEF］

5、按要求填空

△ABC中，AB边的对角是________,AC边的对角是_______,NB的对边

是___是/A的对边；AB与BC的夹角是_AC

与BC的夹角是,NB是_____和_____的夹角。

［问题］:你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该

怎样做它们才能重合呢？

［发现］:两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把重合到一起（或

重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应

角、对应边。

0表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形

的对应关系。

［思考］两个三角形全等，它们的对应边有什么关系？对应角呢？

［发现］全等三角形的性质：全等三角形的对应边，对应甭

0用几何语言表示全等三角形的性质

如图：

VAABC^ADEFNAABCiaADEFP

，AB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形对应边相等）

ZA=ZD,ZB=ZE,NC=NF（全等三角形对应角相等）广片—一

［思考］图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完

转前后的图形全等。

［思考］通过刚才的操作，你能说说每对三角形的对应顶点，对应角，对应边吗？

0根据位置元素来推理

a.有公共边的，公共边是对应边；

b.有公共角的，公共角是对应角；

c.有对顶角的，对顶角是对应角；

d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边;

e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角;

［练一练］

图形记作对应边对应角

AE

oBcb

,_________B

DV

A\X7D

BC

【例I】如图，△ABC&ZXAEF,AB=AE,ZB=ZE,则对于以下结论，①AC=AF

②NFAB=NEAB③EF=BC④/EAB=NFAC,其中正确的个数是（）

A、1B、2C、3

【例2】如图，AABDgAEBC

1、请找出对应边和对应角。

2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.

【例3］如图RTAABE^RTAECD,点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED②AEJ_DE③

BC=AB+CD,④AB〃DC中成立的是()

C①③④D①②③④

【课后习题】

之知际遍1;全等形知识点3：全等三角形的性质

!■如图，有6个条形方格图，图中由实线围成的图形中,7.若AABC与aDEF全等，点A和点E,点B和点D

全等形有：（1）与;（2）与.分别是对应点，则下列结论错误的是（）

A.BC=EFB.ZB=ZD

⑶J⑸C.ZC=ZFD.AC=EF

8.如图，△ABCJArnAcm,AB=5cm,BC=

8cm,则AD6

（第1题）A.7cmB.5cm

2.下列四组图形中，是全等图形的一组是（）

Oo□□

AB

9,如图,AABC也△AEF,AB=AE,/B=/E,则对于

CD结论:①AC=AF；②/FAB=/EAB；③EF=BC；

3.下列说法中正确的有（）@ZEAB=ZFAC,其中正确结论的个数是（）

①用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等形;A.1个B.2个C3个D.4个

②我国国旗上的4颗小五角星是全等形।③所有的正10-如图,D、E分别是aABC的边AC、BC上的点，若

方形是全等形;④全等形的面积一定相等.△ADB逐AEDB经AEDC,则/C的度数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个A.15°B.20°C.25°D.30°

4.下列说法，

①两个图形全等，它们的形状相同；

②两个图形全等，它们的大小相同；

③面积相等的两个图形全等I

④周长相等的两个图形全等.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

1L如图,将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重

速度海彩全等三角形及对应元素

合，点C落在C'处,折痕为EF.若AB=1,BC=2,

5•如图，沿直线AC对折，aABC与aADC重合，则则4ABE和△BCF的周长之和为（）

△ABC&,AB的对应边是,A.3B.4C.6D.8

ZBCA的对应角是.

LittAi不能准确确定全等三角形的对应关系

12.如图，已知△ABE&Z\ACD，N1=N2,/B=NC,

指出其他的对应边和对应角.

6.如图，将AABC沿BC所在的直线平移到△A'B'C'的

位置，则4ABC△A'B'C',图中NA与（第12g）

2B与，/ACB与是对应角.

三角形全等的判定（一）边边边

0［思考与探究］

1、问题：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可

以割取符合规格的三角形玻璃？

⑴⑵

2、是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？

A.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

B.给出两个条件画三角形时•，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列

条件做一做.

①三角形一内角为30°,一条边为3cm.

②三角形两内角分别为30°和50°.

③三角形两条边分别为4cm、6cm.

［发现］给出一个或二个条件时，两个三角形不能保证全等

［思考］如果给出三个条件时，两个三角形会全等吗？这些条件可以怎样分类？

条件分类：三条边相等，_

0［操作］1、已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm,10cm.你能画出这个三角形吗？把你画

的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

［尺规作图］

先任意画出一个△ABC,再画一个AA'B'C',使A'B'=AB,B'C=BC,CA'=CA.把画出的AA'

B'C'剪下来，放在AABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）

画一个AA，B'C',使A'Bz=AB,,AzCz=AC,C=BC：

1.画线段取B，C=BC；

2.分别以B，、C'为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点V；

3.连接线段A，B‘、A'C'.

上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？

（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.

（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.

【例1】如图所示，AABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD名Z\ACD

【例2】如图，已知AC=AD,BC=BD,求证AB是NDAC的平分线.

【课后作业】

3知识点1彳判定两三角形全等的基本事实:“边边边”④NB〒/E.其中错误的是（）

1.如图，下列三角形中，与AABC全等的是（）A.①②B.②③C.③④D.只有④

hAn7心

（第1题）ABCD

（第6题）（第7题）

2.如图，已知AC=FE,BC=DE,点----7c

A,D,B,F在一条直线上，要利用三知识点31应用“边边边”的尺规作图

“SSS”证明aABC色ZXFDE,还可J人二8.求作一个三角形,使它三边的长分别为3cm,4cm,

5cm；并根据你作出的图形特征指出它是什么三角

以添加的一个条件是（）（第2题）

A.AD=FBB.DE=BD形.（不说理由，不写作法，保留作图痕迹）

C.BF=DBD.以上都不对

3.满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（）

A.有一边相等的两个等边三角形

B.有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形

C,周长相等的两个三角形

9.（2015•玉林防城港）根据图中尺规作图的痕迹，先

D.斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形

判断得出结论:__________，然后证明你的结论.

4.如图，在aABC和aFED中,AC=FD,BC=ED,要

（不要求写已知、求证）

利用“SSS”来判定4ABC和aFED全等时，下面的

4个条件中：①AE=FB；②AB=FE,③AE=BE；

④BF=BE,可利用的是（）

A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④

oIDA

*H

.（第9题）

弄错对应边导致出错

（第4题）（第5题）10.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD,求证:ZVIBD四

5.（2015•宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作…A

△ABP,使之与aABC全等，从Pi,P2,P,,P,四个

点中找出符合条件的点P,则点P有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

BEDC

］知识点2彳全等三角形判定“边边边”的简单应用

（第10题）

6.如图，AB=DE,AC=DF,BC=EF,则/D等

于（）

A.30°B.50°C.60°D.100°

7.如图，已知AE=AD,AB=AC,EC=DB,下列结论：

①NC=NB；②ND=NE；③NEAD=/BAC；

第四讲全等三角形的判定（SAS,AAS,ASA）

知识点1、边角边定理

［探究1通过前面的操作，我们知道当满足三个角相等时，两个三角形不一定全等，当满足三条边相等

时，两个三角形全等，如果满足二条边和一角对应相等时，两个三角形全等吗？

［操作11

1、画NA0B=30度。

2、在射线0A上取0D=6厘米

3、以点A为圆心，以4厘米为半径作弧交射线0B于E,连结DE

和同伴画的三角形比较，两个三角形全等吗？

［思考］在以上的操作中，满足了哪些条件呢？

［操作2］

1、画NA0B=30度。

2、在射线0A上取0D=6厘米

3、在身线QB上取OE=4厘米，连结DE

和同伴画的三角形比较，两个三角形现在全等吗？

［思考］在以上的操作中，又满足了哪些条件呢？通过以上操作，你认为二个三角形满足什么条件时，就

全等呢？

知识点2、“边角边”定理

0两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）.

【例1】如图所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和

B的点，连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE

的长就是A、B的距离，为什么？

【例2】（1）如图3,已知AD〃BC,AD=CB,要用边角边公理证明AABC之ZXCDA,需要三个条件，这

三个条件中，已具有两个条件，一是AD=CB（已知），二是；还需要一个条件

（这个条件可以证得吗？）.

（2）如图4,已知AB=AC,AD=AE,Z1=Z2,要用边角边公理证明AABD冬ACE,需要满足的

三个条件中，己具有两个条件：（这个条件可以证得吗？）.

［例3］已知：如图，AD是BC上的中线，且DF=DE.求证：BE〃CF.

【例4】如图，已知：AB=AC,BD=CD,E为AD上一点，求证：ZBED=ZCED

【课后作业】

、知iR点判定两三角形全等的基本事实：边角边的是（）

1.如图，a",c分别表示AABC的三边长，则下面与A.BD=CE.^ABD=^ACE

△ABC一定全等的三角形是（）C./BAD=N^.ZBAC=^DAE

BA

2.（2015•莆田）如图，AE〃DF,AE=DF,要使（第6题）（第7题）

△EAC9Z\FDB,需要添加下列选项中的（）

之知识点2全等三角形判定“边角边”的简单应用

A.AB=CDB.EC=BF

7.如图，表示两根长度相同的木条，若。是

的中点，经测址AB=9cm,则容器的内径

人石'为（）

A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm

8.（2015•青海）如图，点B,F,C,人

E在同一直线上,BF=CE,AB〃

6/、_______7E

DE,请添加一个条件，使△ABC色c/

3.（2015•贵阳）如图，点E,F在AC上，AD=BC,△DEF,这个添加的条件可以是Y

DF=BE,要使AADFgZiCBE,还需要添加的一个.（只需写一个,不添加（第8题）

条件是（）辅助线）

A.ZA=ZCB.ZD=ZB9.（2014•云南）如图，在△ABC和AABD中，AC与

C.AD//BCD.DF//BEBD相交于点E,AD=BC,^DAB=Z.CBA.求证:

4.如图，已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定AC=BD.

△ABC组Z\AED的是（DC

A.BC=EDB，ZBAD=ZEAC

C./B=NED.ZBAC=ZEAD

（第9题）

;易错点误用“SSA”导致出错

10.如图，在4ABC中，AB=AC,D,E分别是AB,AC

（第4题）（第5题）的中点，且CD=BE,Z\ADC与aAEB全等吗？请

5.（2015•宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝说明理由.

形”，如图,四边形ABCD是一个筝形，其中AD=

CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下

结论：

①AC1BD；②AO=CO=}AC；③AABD9

△CBD,其中正确的结论有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.如图，已知AB=AC,AD=AE,若要得到

△ACE”,必须添加一个条件，则下列所添条件不成立

全等三角形的判定（二）

知识点3、“角边角定理（ASA）”

［回顾］三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？—

三角形中已知两角一边有几种可能？一

［问题］如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一

样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？

［做一做］三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这

些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

0两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“或A”）.

［思考］在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两

角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

【例1】如图，在AABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,ZXABC与4DEF全等吗？能利用角边

角条件证明你的结论吗？.n

AD

BCEF

0两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.

【例2】如下图，D在AB上,E在AC上,AB=AC,ZB=ZC.求证：AD=AE.

【例3】如图，ZA=ZD,Z1=Z2,AC,BD相交于0,求证：①AB=CD®0A=0D

12

BC

【例4】如图：D是AABC的边AB上一点，DE交AC于点E,交CF于点F,

DE=FE,FC〃AB,求证：AE=CE

【例5】己知，如图，ZA=NO,N1=N2,AF=CO,求证：AB=DE

【课后作业】

3知识点正判定两三角形全等的基本事实：角边角6.（2015・海南）如图，下列条件中，不能证明

1.如图，已知AABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个

三角形中一定和AABC全等的图形是（）A.AB=DC

B.AB=DC9ZABC=ZDCB

C.BO=CO9ZA=ZD

D.AB=DCtZDBC=ZACB

7.（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD

上，其中NBAE=NBCE=NACD=90°,且BC=

CE.求证:ZiABC与4DEC全等.

2.如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,

现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省

事的方法是（.）

A.带⑴和⑵去B.只带（2）去

C.只带（3）去D.都带去（第7题）

8.（2015•云南）如图，NB=ND,请添加一个条件

（不得添加辅助线），使得△ABC8AADC,并说明

（第2题）（第3题）

理由.

3.（中考•安顺）如图，已知AE=CF，NAFD=NCEB,

那么添加下列一个条件后，仍无法判定AADF^

△CBE的是（）

A.ZA=ZCB.AD=CBC.BE=DFD.AD//BC

4.（2015•宁波）如图，平行四边才....-P

形ABCD中，E,F是对角