2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-§2 对数的运算

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第四章对数运算与对数函数

§2对数的运算

基础过关练

题组一对数的运算性质

1.(2022陕西宝鸡联考浒算以下两个式子①2log36-log34,②81咆3的结果依次为

()

A.3,27B.3,9

C.2,27D.2,9

2.(多选)(2020北京人大附中期中改编)已知ab>0,给出下面四个等式，其中不正

确的有()

A.lg(ab)=lga+lgb

B.lg^=lga-lgb

段研如=喘

DJg(ab)=^

A.3aB.|a

C.aD.^

4.阅读下列材料，然后解答问题:对于任意实数x,符号冈表示"不超过x的最大整

数”.在数轴上，当x是整数时,冈就是x;当x不是整数时,冈是点x左侧的第一个

整数点.这个函数叫作"取整函数"，也叫高斯函数.如卜2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2.

则叫的值为()

[log2^]+[log2|]+[log21]+[log2l]+[Iog22]+[log23]+[14]

A.-2B.-lC.lD.2

5.(lg5)2+lg2-lg50=.

2

6.（2020江苏七校联盟联考浒算:①晦'+"2、砥18:

7.（2020山西太原期中）（1）已知Iogx8:6,求x的值；

（2）已知Iog3（x2-10）=l+log3x,求x的值.

题组二换底公式

8.（2021山东潍坊期末）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了

简化计算发明了对数;1637年法国数学家笛卡儿开始使用指数运算;1770年瑞士

数学家欧拉发现了指数与对数的关系指出:对数源于指数，对数的发明先于指数.

若2x=5,lg2*0.301,则x的值约为（）

A.2.301B.2.322

C.2.507D.2.699

9.（2020上海理工大学附属中学模拟）若In2=a,ln3=＞则log418=（）

Aa+3b°Q+3b

A・BB・H

「Q+2bRQ+2b

10.侈选）（2020安徽黄山一中月考）下列运算错误的是（）

A.21ogil0+logi0.25=2

55

O

B.log427-log258-log95=-

C.log225-log3^-log5|=16

D.lg2+lg50=10

11.若Iog23・log325・log5m=2厕m=_.

12.(2022江西井冈山中学段测)若4a=5b=100,则26+§=.

题组三对数运算的综合应用

13.(2020北师大附中期中)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，

f(x)=ex+b(b为常数)厕f(-ln2)等于()

A.4B.lC.-lD.-3

2

14.若a=log53,b=log2.515c=log2ol2,贝!!()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

2

15.已知a,b,c是^ABC的三边长,且关于x的一元二次方程X2-2x+lg(c-b2)-2lg

a+l=0有两个相等的实数根，则△ABC的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

16.(2020海南临高中学期末)已知x>0,y>0,lg2><+lg8y=lg2厕的最小值

是•

17.(2020陕西西安临潼校际联考改编)已知函数f(n)=log(n+i)(n+2)(n£Z+),定

义使f(l>f⑵・f⑶•…・f(k)为整数的k(k£N+)叫作企盼数，则在区间［1,202使内的

企盼数共有个.

18.若a,b是方程2(lgx)2-lgx4+l=0的两个实数根，求lg(ab)・(logab+logba)的

值.

19.（2020重庆一中期中）已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.

⑴求p的值；

(2)求证:

zx2y

20.已知一元二次函数f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值为3,求实数a的值.

答案与分层梯度式解析

第四章对数运算与对数函数

§2对数的运算

基础过关练

1.C①2log36-log34=log336-log34=log3(36-4)=log39=2.

②8脸3=2310g23=2^227=27.故选C.

2.ABP当a<0,b<0时,lg(ab)=lg(-a)+lg(-b),

lg*lg(-a)-lg(-b),故A,B中等式不正确；

当ab>0时铲。我(》2=峨,故C中等式正确;

当ab=l时JogablO无意义，故D中等式不正确.

故选ABD.

3.AlgQ)3-lgQ3=3(lgx-lg2)-3(lgy-lg2)=3(lgx-lgy)=3a,故选A.

4.答案B

信原提取①VXWR,冈表示"不超过x的最大整数"；②在数轴上，当x是整数

时，冈二x，当x不是整数时,冈是点x左侧的第一个整数点.

数学建模以取整函数即高斯函数为背景，将对数运算与高斯函数相结合,建立数

学模型从而得到最终结果.

解析[iog2i]+[iog2i]+[iog2i]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]=-2-2-

l+0+l+l+2=-l.

5.答案1

解析(lg5)2+lg2-lg50=(lg5)2+lg2-(lg5+lg10)=(lg5)2+lg21g5+lg

2=lg5-(lg5+lg2)+

lg2=lg5+lg2=1.

6咨案1

解析原式=1-2随63+(1睢3)2+1唯虹1。86(6*3)

1。取4

_1-2砥3+(1睢3)2+1-(砥3)2—2(1-砥3)

1唯4210g62

_log66-log63_log62_1

lo2lo2

g6g6•

7.解析⑴因为Iogx8=6,所以x6=8,

_111

所以X=86=(23)6=22=V2.

(2)因为Iog3(x2-10)=l+log3x,

所以Iog3(x2-10)=log3(3x),

fx2-10>0,

所以卜>。，解得x=5.

x2-10=3x,

8.Bx=log25=g=^«^«2.322.

9.P|Og418=l^p=l^^=^.

Jln221n22a

10.ABP对于A】2logi10+1Ogi0.25=logilO2+iogi0.25=logi(10^x0.25)=iogi25="

555555

2,故A中运算错误；

对于B,log427-log25&log95暗爵髭嗤・翳晶]故B中运算错误；

对于C,log225-log3*log5,log252-log324|og53-2二普•富•鬻=16,故C中运算

正确;

对于D,lg2+lg50=lg100=2,故D中运算错误.

故选ABD.

11.答案2

解析•.・Iog23-log325-log5md愕愕谭蕾式鬻=2,

/.lgm=lg2,/.m=2.

方法技巧

对数式恒等变形的常用策略:一看底数，底数不同时用换底公式化不同底为同

底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑对数恒等

式及特殊值.

12.答案2

解析由已知得2=1。94100卜=1。95100,所以

i+^=logioo4+2logioo5=logioolOO=l,!i!!J2c)=2.

13。•「f(x)在R上是奇函数MOKeO+bR,

・•.b=-L经检睑符合题意..X-ln2)=-f(ln2)=-(eln2-l)=-l.

14ca=logs3常,b=log”1.5=翳麟工=1吵。12盗二部根据不等式性

质:当a>b>m>0时，篙>震>台鬻所以c>a>b,故选C.

15.8由题意知A=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lga+l]=0,化简得21ga-lg(c2-

b2)=0,所以lg品=0,所以品=1,所以a2+b2=c4故SBC是直角三角形.

16.答案4

解析lg2x+lg8y=xlg2+3ylg2=lg2,

.,.x+3y=l,

•W+廿G+H(x+3y)=2+?+/4,当且仅当x=H4时取等号•

个+上的最小值为4.

17.答案9

解析令g(k)=fQ)-f(2)・f⑶•…・f(k),

・••f(k)=log(k+i)(k+2)=繇，

•、g(k)嗤趴.•舒二畸以og2(k+2),/.k+2=2t,t£N+.

\kG[l,2022]/.k+2G[3,2024],

即2t£[3,2024].

••・22=4,……,21。=1024,2ii=2048,

.,.t可取2,3,…,1。.

・•・在区间[1,2022]内的企盼数共有9个.

18.解析原方程可变形为2(lgx)2-4lgx+l=0,

•.ab是方程2(lgx)2-lgx^+l=0的两个实数根，

/.lga+lgb=2,lgalgb=1,

.,.lg(ab)-(logab+logba)

=(lga+lgb)器+共

=(lga+lgb)•库蜉

7

=(lga+lgb)•鲤噌谓理

=2x^l=12.

19.解喘设3x=4y=6z=t,t>l,

则x=Iog3t,y=Iog4t,z=loget.

(l)-/2x=pyz

/.2log3t=plog4t=p-g.

•「log3tH0,

/.p=2log34=4log32.