新高考一轮复习导学案第32讲 正弦定理、余弦定理的应用（解析版）

第31讲正弦定理、余弦定理的应用1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1、（2023年高考真题新高考Ⅱ卷）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，若D为BC中点，且SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求b，c．【解析】（1）（方法一）由SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0（方法二）D为BC中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0过A作SKIPIF1<0，垂足为E，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由中线定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.1、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为____________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m【答案】：D【解析】：由正弦定理得，则AB＝50eq\r(2)(m)．2、已知△ABC的面积S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A.135°B.45°C.60°D.120°【答案】B【解析】因为S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)＝eq\f(1,2)absinC，所以a2＋b2－c2＝2absinC，所以c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理，得sinC＝cosC，所以C＝45°.3、一块形状近似为三角形的草坪，若其中两角的正切值分别为eq\f(1,4)与eq\f(3,5)，且最长的边为eq\r(17)m，则最短的边为()A.eq\r(3)mB.2eq\r(3)mC.eq\r(2)mD.5m【答案】C【解析】记草坪为△ABC，tanA＝eq\f(1,4)，tanB＝eq\f(3,5).因为C＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(\f(1,4)＋\f(3,5),1－\f(1,4)×\f(3,5))＝－1.又因为0＜C＜π，所以C＝eq\f(3π,4)，所以边AB最长，即AB＝eq\r(17)m．又因为tanA＜tanB，A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以角A最小，BC边为最短边．由且A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得sinA＝eq\f(\r(17),17).又由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得BC＝AB·eq\f(sinA,sinC)＝eq\r(2)(m).4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，sinB＝SKIPIF1<0，S△ABC＝SKIPIF1<0，则b的值为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，故a＝SKIPIF1<0c，①由S△ABC＝SKIPIF1<0acsinB＝SKIPIF1<0且sinB＝SKIPIF1<0得SKIPIF1<0ac＝5，②联立①，②得a＝5，且c＝2.由sinB＝SKIPIF1<0且B为锐角知cosB＝SKIPIF1<0，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×SKIPIF1<0＝14，b＝SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.考向一利用正弦、余弦定理解决实际问题例1、（2022年江苏省镇江市高三模拟试卷）云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12SKIPIF1<0，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，精确到1SKIPIF1<0）A.42SKIPIF1<0 B.45SKIPIF1<0 C.51SKIPIF1<0 D.57SKIPIF1<0【答案】D【解析】【详解】因为SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D.变式1、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m.若从离地高4m的C处观赏它，若要视角SKIPIF1<0最大，则离墙的距离为（）A.SKIPIF1<0 B.3m C.4m D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】设离墙的距离为为SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的表达式，结合基本不等式求得SKIPIF1<0取得最大值时SKIPIF1<0的值.【详解】设离墙的距离为为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.由于SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0.故选：D变式2、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10eq\r(3)m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长．【解析】：(1)设AB的高度为h．在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h．在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，所以OB＝eq\r(3)h，EB＝eq\f(\r(3),3)h．由题意得eq\r(3)h－eq\f(\r(3)h,3)＝10eq\r(3)，解得h＝15．故烟囱AB的高度为15m．(2)在△OBC中，cos∠COB＝eq\f(OC2＋OB2－BC2,2OC·OB)＝eq\f(300＋225×3－225,2×10\r(3)×15\r(3))＝eq\f(5,6)．所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×eq\f(5,6)＝100．故CE的长为10m．方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考向二利用正弦、余弦定理解决范围问题例2、（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知锐角三角形SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且SKIPIF1<0．（1）求角C的值；（2）求a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【小问1详解】选择条件①．∵SKIPIF1<0，∴由正弦定理，得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．选择条件②．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．则由余弦定理，得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．选择条件③．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由正弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．则由余弦定理，得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【小问2详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0为锐角三角形，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即a的取值范围为SKIPIF1<0．变式1、（2022年福建省福州四校联盟高三模拟试卷）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，SKIPIF1<0，M，N为公路上的两个景点，测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角SKIPIF1<0.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.（1）求M，N两地间的直线距离；（2）求观光线路SKIPIF1<0长的取值范围.【解析】【小问1详解】由余弦定理得SKIPIF1<0.【小问2详解】设SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0长的取值范围是SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）.变式2、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】：（1）SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．利用正弦定理得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,两边同平方得：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．变式3、（2022·江苏宿迁·高三期末）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且__________.（1）求角SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】：（1）选择①：条件即SKIPIF1<0，由正弦定理可知，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；选择②：条件即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.选择③：条件即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理可知，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是锐角三角形得，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.方法总结：一边一对角问题求最值或范围问题，有两种处理方法：(1)利用正弦定理转化成角的函数．(2)利用余弦定理转化成边的函数．考向三利用正弦、余弦定理解决多边形的问题例3、（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0．【解析】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0可知，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的长为7变式1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点间的距离，现在旁边取两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0测得SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点在同一平面上，则SKIPIF1<0两点的距离为______米.【解析】如图所示：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0两点的距离为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0变式2、（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，CD＝SKIPIF1<0．（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．【解析】（1）由题意，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1），可知SKIPIF1<0，由正弦定理有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，四边形ABCD的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.变式3、（2022·湖北·高三期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足SKIPIF1<0．（1）求角A；（2）如图，若SKIPIF1<0，点D是SKIPIF1<0外一点，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求平面四边形SKIPIF1<0面积的最大值及相应的SKIPIF1<0值．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，由正弦定理知，SKIPIF1<0，由余弦定理知，SKIPIF1<0.（2）由（1）以及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0是等边三角形．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．余弦定理可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故四边形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，S取得最大值为SKIPIF1<0，故平面四边形SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<01、（2022·湖北襄阳·高三期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.2、（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A．20m B．10m C．SKIPIF1<0m D．SKIPIF1<0m【答案】B【解析】如图示，AB表示旗杆，由题意可知：SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0舍去），故选：B.3、（2022年福建省龙岩市高三模拟试卷）如图，SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】在SKIPIF1<0中，根据正弦定理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D．4、（2022年湖北省黄冈市高三模拟试卷）在锐角三角形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为锐角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选:C．5、（2022年福建省福州延安中学高三模拟试卷）给出以下三个条件：①SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0