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文档简介

第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2、周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.常用结论1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=eq\f(1,fx),则T=2a(a>0).3.函数对称性常用结论(1)f(a-x)=f(a+x)⇔f(-x)=f(2a+x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)的图象关于直线x=eq\f(a+b,2)对称.f(a+x)=-f(b-x)⇔f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2),0))对称.1、已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称,g(2)=4,则k=122A.−21 B.−22 C.−23 D.−242、已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1,则k=122A.−3 B.−2 C.0 D.13、设SKIPIF1<0是定义域为R的奇函数,且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04、设函数SKIPIF1<0的定义域为R,SKIPIF1<0为奇函数,SKIPIF1<0为偶函数,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<05、设函数SKIPIF1<0,则下列函数中为奇函数的是(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<06、已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为偶函数,SKIPIF1<0为奇函数,则(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07、设函数SKIPIF1<0,则f(x)(

)A.是偶函数,且在SKIPIF1<0单调递增 B.是奇函数,且在SKIPIF1<0单调递减C.是偶函数,且在SKIPIF1<0单调递增 D.是奇函数,且在SKIPIF1<0单调递减8、设函数SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(

)A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减9、若定义在SKIPIF1<0的奇函数f(x)在SKIPIF1<0单调递减,且f(2)=0,则满足SKIPIF1<0的x的取值范围是(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<01、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为ABSKIPIF1<0CD2、已知是奇函数,且当时,.若,则__________.3、已知函数SKIPIF1<0是奇函数,则SKIPIF1<0的值为___________.4、已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数,则SKIPIF1<0______.考向一奇偶性的定义与判断例1、判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=eq\r(1-x2)+eq\r(x2-1);(2)f(x)=eq\r(3-2x)+eq\r(2x-3);(3)f(x)=3x-3-x;(4)f(x)=eq\f(\r(4-x2),|x+3|-3);(5)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+x,x>0,,x2-x,x<0.))变式1、判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xlg(x+eq\r(x2+1));(2)f(x)=(1-x)eq\r(\f(1+x,1-x));(3)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x2+2x+1,x>0,,x2+2x-1,x<0;))(4)f(x)=eq\f(\r(4-x2),|x+3|-3).方法总结:1.判断函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否关于原点对称.若函数定义域关于原点不对称,则此函数一定是非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,再化简解析式,根据f(-x)与f(x)的关系结合定义作出判断.2.在函数的定义域关于原点对称的条件下,要说明一个函数是奇(偶)函数,必须证明f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))对定义域中的任意x都成立;而要说明一个函数是非奇非偶函数,则只须举出一个反例就可以了.3.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.考向二函数的周期性及应用例2、已知定义在SKIPIF1<0上的函数满足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0图像关于SKIPIF1<0对称,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0________.变式1、函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,且在区间SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的值为.变式2、已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,;当时,;当时,,则f(6)=A.−2 B.−1 C.0 D.2变式3、若函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-x,x≤0,,fx-1-fx-2,x>0,))则f(2023)=________.方法总结:(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可,且周期为T.(2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.

(4)除f(x+T)=f(x)(T≠0)之外,其它一些隐含周期的条件:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0等考向三函数奇偶性与单调性、周期性的应用例3、(1)设是定义域为R的偶函数,且在单调递减,则A.(log3)>()>()B.(log3)>()>()C.()>()>(log3)D.()>()>(log3)(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断,有下列四个命题:甲:f(x)是奇函数;乙:f(x)的图象关于直线x=1对称;丙:f(x)在区间[-1,1]上单调递减;丁:函数f(x)的周期为2.如果只有一个假命题,则该命题是A.甲B.乙C.丙D.丁变式1、函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)当x>0时,f(x)>0恒成立,且f(4)=1,求不等式f(x-1)<2的解集.变式2、已知SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的奇函数,当SKIPIF1<0时,有SKIPIF1<0,且当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,下列命题正确的是()A.SKIPIF1<0 B.函数SKIPIF1<0在定义域上是周期为SKIPIF1<0的函数C.直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有SKIPIF1<0个交点 D.函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0方法总结:1.已知函数的奇偶性,反求参数的取值,有两种思路:一种思路是根据定义,由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)对定义域内的任意x恒成立,建立起关于参数的方程,解方程求出参数之值;另一种思路就是从特殊入手,得出参数所满足条件,再验证其充分性得出结果.2.函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系,奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反,掌握这一关系,对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题,有着极大的帮助,要予以足够的重视.1、已知函数SKIPIF1<0是R上的奇函数,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是自然对数的底数,则SKIPIF1<0(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02、设偶函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,且SKIPIF1<0,则不等式SKIPIF1<0的解集是(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03、已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的图象如图所示,则不等式SKIPIF1<0的解集为(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04、函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0是奇函数,SKIPIF1

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