2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-1.3.1 等比数列及其通项公式

1.3等比数列

1.3.1等比数列及其通项公式

1.3.2等比数列与指数函数

基础过关练

题组一等比数列的概念

1.（多选）下列说法正确的有（）

A.等比数列中的项不能为0

B.等比数列的公比的取值范围是R

C.若一个常数列是等比数列，则其公比为1

D.22,416585…成等比数列

2.设an=（-l）n（n£N+）,则数列m11｝是（）

A.等比数列B.等差数列

C.递增数列D.递减数列

3.（2021湖北黄石第二中学一模）已知函数f（x）=logkx（k为常数,k〉0且kWl）.下列条

件中，能使数列｛an｝为等比数列的是（填序号）.

①数列｛f（an）｝是首项为2,公比为2的等比数列；

②数列，⑶）｝是首项为4,公差为2的等差数列；

③数列｛f（an）｝是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.

题组二等比数列的通项公式

4.已知等比数列｛an｝的公比q为正数，且a3a9=2哈a2=l,则ai=()

A.|B噂

22

C.V2D.2

5.已知数歹U｛an｝满足ai=l,an+i=2an(n£N+).若amW128,则正整数m的最大值是

()

A.7B.8

C.9D.10

6.(2022湖南长沙一中期中)在等比数列｛aQ中,ai=l,a2a3=8,则经”=()

A.8B.6C.4D.2

7.已知数歹U｛an｝,若ai=2,an+i+an=2n+l,则a2020=()

A.2017B.2018C.2019D.2020

8.已知数列｛an｝满足ai=l,nan+i=2(n+l)an,设bn斗.

(1)求bi,b2,b3；

(2)判断数列｛bn｝是不是等比数歹U,并说明理由；

(3)求｛aQ的通项公式.

题组三等比中项

9.等比数列｛aj中,ai[,q=2,则沏与a8的等比中项为（）

O

A.4B.-4C.±4D.±2

10.（2022湖南益阳期中）设数列｛an｝的每一项都不为零，且对任意n£N+满足

an+i=an,a2,若a3=3,则a2=（）

A.±3B.±V3

C.3D.V3

11.已知a,b,c成等差数列,a+l,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列，则b的值为（）

A.16B.15C.14D.12

题组四等比数列的性质及综合应用

12.（2021广东广州期末）在等比数列｛an｝中，若ai+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3，则

a7+a8+a9=（）

3

A.24B.j

C.73D.--27

48

13.（2022北京昌平期末）若｛aQ是无穷等比数列，则"0<a2<ai”是“｛an｝为递减数

列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

14.在等比数列｛aQ中,aia2a3=2,an-2an〃an=4,且aia2a3.....an=64,则数列｛an侑

项.

15.(2022湖南株洲月考)在等比数列｛aj中,as.是方程x2+llx+5=0的两根，则皿2

a13

的值为.

16.在等比数列｛an｝中,ai〉l,公比q>0.设bn=log2an,且bi+b3+b5=6,bib3b5=0.

(1)求证:数列｛bn｝是等差数列；

(2)求｛bn｝的前n项和Sn及｛an｝的通项公式.

能力提升练

题组一等比数列的通项公式

1.(多选)(2020浙江湖州期末)设数列｛an｝为等比数歹(J,则下列数列一定为等比数列

的是()

A.｛2an｝｝

a

C.｛2-｝D.｛log2|an|)

2.(2022湖南怀化一中月考)已知数列｛an｝满足砥=122=2丹+2=(1+

c°s?£)an+sin2/(n£N+),则ai9Tog2a20的值为.

3.(2021安徽六安期中)已知数列｛aQ中,ai=72吟3an+尸an-1,则满足不等式ai-ak<0

的k的值为.

2

4.(2021广东深圳、汕头、潮州、揭阳名校联考)从①前n项和Sn=n+p(pGR),②a6=l1

且2an+i=an+an+2这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答.

在数列｛an｝中,ai=l,淇中n£N+.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

⑵若ai,an,am构成等比数列淇中m,n£N+,且m〉n>l,求m的最小值.

5.设关于x的一元二次方程anx2-an+ix+l=0(n=l,2,3,…)有两实数根a和且满足

6a-2a0+6|3=3.

(1)试用an表示an+i；

(3)当ai=：时,求数列｛an｝的通项公式.

6

题组二等比数列的性质及综合应用

6.已知各项均为正数的等比数列⑶｝的公比为3,若aman=9及，则/5的最小值等于

()

A.l13C.7D.；3

242

7.(2021江苏宿迁桃州中学调研)已知等比数列⑸｝满足an>0,n=l,2,…，且

as•a2n-5=22n(n23),则当nel时,log2ai+log2a3+…+log2a2n-i=()

A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-l)2

8.(2021江苏南京师范大学附属中学期末)2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥

五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现地外天体采样返回,标志着

中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米，有人说:在理想状态下,

若将一张厚度约为01毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过从地球到达月球的距

离,那么至少对折的次数n是（1g2^0.3,lg3.8^0.6）（）

A.40B.41C.42D.43

9.（2022湖南常德期末）音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格

的数学方法确定的.我国明代数学家、音乐理论家朱载埼创立了十二平均律，他是

第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，

把八度分成十二个半音，使相邻两个半音的频率的比值为常数，如下表所示，其中

由他,…,ai3表示这些半音的频率，它们满足log2管旷小心,…,12）.若某一半音

与D#的频率的比值为冠，则该半音为（）

频率aia2H3a4H5a6a7

半音cc#DD#EFF#

频率asa9aioanai2ai3

c

半音GG#AA#B

（八度）

A.F*B.GC.G*D.A

10.（2021河南焦作期末）已知｛aQ是各项均为正数的等比数歹U,则下列结论中正确

的个数为（）

①a2a4=aia5；

②ai+a522a3；

③ai+a52a2+初;

④若a5>a3,则a4>a2.

A.lB.2C.3D.4

11.(2022河南郑州期中)在等比数列｛an｝中,ai=-16,初=-2.记

Tn=aia2.....an(n=1,2,•••,!!),则数列｛Tn｝()

A.有最大项和最小项

B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项

D.无最大项和最小项

12.已知｛aQ是等差数列，满足ai=2,a4=14,数列｛悦｝满足bi=l,b4=6,且｛an-bn｝是等比

数列.

(1)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(2)若对任意n£N+,都有bnWbk成立，求正整数k的值.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.AC

2.A

3.答案②

解析①中，f(an)=2n,即10gkan=2n,得仁小，

2几+1

•••%i=.=k2nw常数，，数列⑶｝不是等比数列；

ank

2n+2

②中，f(an)=4+(n-l)x2=2n+2,即logkan=2n+2,得an=k,MaLk,WO,

•.•皿=£；=k2，且k2为非零常数,数列⑶｝是以k4为首项、k2为公比的等比数

ank“十”

列；

22n(n+1)

③中，f(an)=2n+^^x2=n+n,BPlogkan=n+n,^#an=k,

,/皿=与2=卜如+1)W常数,I.数列｛an｝不是等比数列•

4.Bq>0,a3a9=2ci5-al,a6=V^a5,/.q=V2.a2=aiq=l,ai=?.

5.B由题意得皿=2,所以数列｛aQ是以1为首项、2为公比的等比数列，所以

%

an=aiqn-i=2~i.

若amW128,则2m4W128,所以m-1W7,解得m<8,

故正整数m的最大值是8.

6.A由题设知a2a3=。猾3=8,又,..ai=l,；.q=2,...至0=2±^=差=8,

。1+。2a]+tZ]q3

故选A.

7.C*.,an+i+an=2n+l,an+i-(n+l)=-(an-n),又WO,

•••数列｛an-n｝是以1为首项、-1为公比的等比数列,•••an-n=(-l)n-i,

.•.an=n+(-l)n-\，a2020=2020-1=2019.

8.解析(1)由条件可得a.尸竺趣a。.

n

令n=l,得a2=4ai=4.

令n=2,得a3=3a2=12.

从而bi=l,b2=2,b3=4.

(2)｛bn｝是等比数列理由如下:

由条件可得皿=也，即bn+l=2bn,

n+1n

又因为bi=lWO,

所以｛bn｝是首项为1、公比为2的等比数列.

(3)由⑵可得&=bn=l义2『1=2叫

n

所以an=n•2n-1.

9.C由题意得a4=aiq3=*x23=l,a8=aiq7=!x27=16,J初与as的等比中项为土WE=±4.

88

10.B令n=l,贝！Ja2=aia2,：a2W0,，ai=l.由an+i=an,a2得皿=a2,即｛aQ是首项为1、

an

公比为a2的等比数歹U,故胫=aia3=3,解得a2=±B.故选B.

11.D由题意得2b=a+c,b?=(a+l)•c,b2=a,(c+2),联立可得b=12.

12.B设等比数列⑸｝的公比为q,则a4+a5+a6=q3,(ai+az+a3),即6q3=-3,可得q3=-^,

因此,a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=(-；)x(-3)=；.故选B.

13.A充分性:因为｛aj为无穷等比数列,0<a2<ai,所以公比q满足0<q==l,所以

ai

an>an+i=anq,即｛a/为递减数列.必要性:若无穷等比数列为｝是递减数列，则它的第

一项和第二项可以为负，如-1,-2,…，所以不一定得到0<a2<ai.所以“0<a2<ai

842

是“｛an｝为递减数列”的充分不必要条件，故选A.

14.答案12

解析由题意及等比数列的性质得aia2a3an-2•an-ian=(aian>=8,即aian=2,则

aia2a3.....an=64=26=(aianA,故｛an｝有12项.

15.答案-亚

解析由根与系数的关系得a5+a2i=-ll,a5a21=5,则a7al9=a%=a5a21=5,且a5,azi同为

负值,ai3=-V5,

a13

16.解析(1)证明:因为bn=10g2an,

所以bn+l-bn=log2an+|-log2an=log2—=log2q为常数,

an

所以数列｛bn｝是公差为log2q的等差数列.

(2)设等差数列｛bn｝的公差为d,

因为bi+b3+b5=6,所以3b3=6,所以b3=2.

因为ai>l,

所以bi=log2al>0,

又因为bib3b5=0,所以b5=0,

所以曙生流制bi=%

d=-1,

因此£=4n+等《一1尸吟

由(1)可知d=log2q=-l,解得q=j

由bi=log2al=4,解得ai=16,

n_15n

所以an=aiq=2_(nGN+).

能力提升练

l.AB设数列｛an｝的首项为ai,公比为q.

对于A,2an=2aiqn」,所以数歹！J｛2an｝是公比为q的等比数列；

对于B,欣=0可止2=山@)市所以数列｛欣｝是公比为q2的等比数列；

n-1

对于。2心=2的产;所以当n22时,以工三=2。】产“产2不是一个非零常数所以

2an-12°iq

数列｛2久｝不是等比数列；

对于D,当n22时,上辿=皿吗,不是一个非零常数，所以数列｛log2|aj｝不是等比

log2MliI

数列.

故选AB.

2.答案100

解析当n为奇数时,an+2=an+L数列｛aQ隔项成等差数列.设n=2k-l,则a2k-i=k，故

ai9=l。当n为偶数时,an+2=2an,数列｛an｝隔项成等比数列.设n=2k,则a2k=2、故a2o=210.

故ai9•log2a20=10x10=100.

3.答案8

解析由3an+i=an-l得an+i+；W（a九+；）,因为ai+；=729,所以数歹“。八+'是首项为

729、公比为和等比数列，所以an+；=729xQ「,所以ad?..

当n22时,an-an4=（37f-；）（38f）=_2•375<0,所以数列｛aQ为递减数列.

若a-・ak<0,则有伊二°'

（38~k-->0,

即…：得2•3，<3k<2・38,又因为k£N+,所以k=8.

37-k--<0,

2

4.解析（1）选择条件①.

2

当n=l时，由Si=ai=l,得p=0,故Sn=n.

2

当n22时，有Sn-i=（n-l）,

所以an=Sn-Sn-i=2n-1（n^2）.

经检验,ai=l符合上式，所以an=2n-l（n£N+）.

选择条件②.

由2an+l=an+an+2,得an+1-Hn—an+2-Hn+l,

所以数列｛an｝是等差数歹!J,设其公差为d.

因为ai=l,a6=ai+5d=11,所以d=2.

所以an=ai+(n-1)d=2n-1(n£N+).

⑵因为ai,a»am构成等比数列，

所以a^=aiam,即(2n-l)2=lx(2m-l),

化简，得m=2n2-2n+l=2(7i-；)+；.

因为m,n£N+,且m>n>l,所以当n-2时,m取得最小值，最小值为5.

卜+6=皿，

5.解析(1)根据根与系数的关系，得《1%

\ap=-,

\an

代入6a-2a0+60=3,

得—=3,所以an+i=-an+-.

anan23

(2)证明:因为an+l三an+g

所以an+l-：=：(册-：).

22

若ang则方程anx-an+ix+l=0可化为*-京+1=0,即2x-2x+3=0,

止匕时A=(-2)2-4X2X3=-20<0,

所以anW；即an--^0.

33

所以数列｛%r：｝是以;为公比的等比数列.

(3)当aiW时,

632

所以

所以an=：+Q),n=l,2,3,….

m+n

6.C由题意得a2•3m-2.a2•3n3^9aj,

m+n=6,

.*.-+-=-(m+n)f-+-)=-(2+-+-+-)^-x(-+2)/,当且仅当m=2n=4时取等号.

m2n6\m2nJ62nm26\274

•••，三的最小值为3

m2n4

7.C因为｛an｝为等比数列，所以ai•a2n-l=a3,a2n-3=c=a5•a2n-5=22n,所以

nn2

log2ai+log2a3+…+log2a2n-l=log2（aia2n-lA=log2（22n）3=log22n=/故选Q

8.C设对折n次时，纸的厚度为加毫米,

由题意知，每次对折后，纸的厚度变为原来的2倍，则｛aQ是首项为0.1x2=02公比为

2的等比数歹U,

n1n

所以an=0.2x2-=0.1x2,

令an=O.lx2n238xl()4xio6,

即2n23.8x1()12,所以1g2n^lg3.8+12,

即0.3nN0.6+12,解得n2詈=42,

所以至少对折的次数n是42,故选C.

9.B依题意可知an>0(n=l,2「・,12,13).由于由翘,…,a”满足

1哨(%)12=101,2「:12),则(如广=20％=2之所以数列｛211｝(11=1,2「・,12,13)为等

\/\Qj/%

1

比数列，设其公比为q,则q=2区D#对应的频率为初,又因为所求半音与D#的频率的

o_111

比值为近=2三(204,故所求半音对应的频率为a4-(204=a8.故选B.

10.D设｛an｝的公比为q(q〉0).

对于①，根据等比数列的性质可知a2a4=aia5,①正确；

对于②,ai+a5=a3(p+q2)2a3x2J,Xq?=2a3,当且仅当q=l时，等号成立，②正确；

对于③，因为ai+a5-(az+a4)=a3+Q2-^-q)=^|(l-q)(l-q3