2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册5函数

5.4函数y=Asin（GJX+力）的图象与性质

1、函数y=AsM（u）x+6）的图象及变换.................................1

2、函数y=AsM（u）x+6）图象与性质的应用（习题课）.....................8

1、函数y=A5加（3x+6）的图象及变换

1.若函数尸sin2x的图象向左平移亍个单位长度得到尸於）的图象，则

（）

A.fix）=cos2xB.f（x）=sin2x

C.fix）=~cos2xD./（x）=—sin2x

解析：选A依题意得2x.故选A.

2.函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得

到图象的解析式为y=cos3%,则幻的值为（）

A.2B.；

C.4D.1

解析：选B由题意可知得到图象的解析式为y=cos所以G=；.

3.将函数y=sinQ-£|的图象上所有点的横坐标缩短为原来的最纵坐标不

变），再将所得函数的图象向左平移尚■个单位长度，则最终所得函数图象对应的

解析式为（）

A.y=cos$B.y=sin2x

C.y=sin%D.y=cos2x

解析：选D函数y=sinQ—（j的图象上所有点的横坐标缩短为原来的;（纵

坐标不变），得到y=sin12x一总的图象，再将所得函数的图象向左平移方个单位

长度，得到y=sin12Q+g_）一卷=sin^2x+^=cos2%的图象.

4.已知函数/(x)=sin(3X+T-J(X£R,口＞0)的最小正周期为n,为了得到

函数7U)的图象，只需将函数g(x)=sinox的图象()

JI、

A.向左平移三个单位长度

B.向右平移£个单位长度

O

n、

C.向左平移彳个单位长度

JI、

D.向右平移了个单位长度

解析：选A由兀x)的最小正周期是n,得(0=2,即/(x)=sin(2x+9=

sin[2(x+£，，因此它的图象可由g(x)=sin2x的图象向左平移方个单位长度得

到.故选A.

5.如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”

函数.下列函数中与g(x)=ginQ+f能构成“和谐”函数的是()

A..*x)=sinQ+总

B._/U)=2sinQ一总

C.於)=心山修+总

D./0)=65E，+彳)+2

解析：选D将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到

函数«x)=q2sinQ+T，+2的图象，故选D.

JI

6.将丁=4112%的图象向左平移9个单位长度，得到的曲线对应的解析式为

工.商龙平秒T•个单位卡度(nA

斛析：y=sin2x»y=sin21x+亍〉

答案：y=sin(2x+W-)

7.将函数y=sin(2x—9的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标

(填“伸长”或“缩短”)为原来的倍，将会得到函数y=

3sin（2九一]）的图象.

解析：A=3>1,故将函数），=sin[2x—图象上所有点的横坐标保持不变，

纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y=3sin（2r—5的图象.

答案：伸长3

8.已知函数凡r）=Asin^x（A>0,勿>0）的最小正周期为n,将y=«x）的图象

上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y=

g（x）・若g（5）=啦，则的值为---------

解析：•.了(x)的最小正周期为TT,.•.§=!!,二3=2,.,./(x)=AsinIx.^y

干力的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的

函数为g（x）=AsinX.飞仁卜啦，.,.g（T=Asin]=坐4=啦，：.A=2,

2sin(2X用3ny[2

/(x)=2sin2x..二=2sin丁=2X4-=&r.

答案：也

9.已知函数），=/U）的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标

扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移■个单位，这样得到的曲

线和y=2sinx的图象相同，求函数y=/（x）的解析式.

解：y=2sinx的图象

向右平移点个单位（n、，，

—»y=2sin（x一句的图象

各点横生标缩小为原来的十

——-------3►y=2sin（2a—不）的图象

纵坐标不变\2/

各点城坐标缩小为燎来的:

横坐标不变，=彳而（2丁一豹的图象，

即/（x）=—/os2JC.

10.已知函数_/U）=2sin（2x—看），将函数«x）图象上点的横坐标伸长为原来

的4倍，再向右平移方个单位长度后得到函数g（x）的图象.

JI11JI

(1)画出函数g(x)在一可，三一上的大致图象；

、「n3Ji]

(2)求函数«x)在可上的单调递减区间.

解：(1)将函数.*x)的图象的横坐标伸长为原来的4倍，得到y=2sin(gx一段)

的图象，

再向右平移g-个单位长度后，得到g(x)=2singQ一曰一由=2sin俣一日的

图象，列表如下：

1nnn3n

2X-T一工0Tn

n2n5TT8n11n

X

33333

g(x)-2020-2

n5nn5n4n

彳寸7+左n攵n/£Z),令t攵=0,打工-WxW踪一，令tk=l,彳寸

JVAJV_zJ

<1111

X、6，

故函数zu)在2：上的单调递减区间为蓝，号■和'F，萼'•

11.为了得到函数g(x)=cos(3x—至)的图象，只需将函数/(x)=sin(2x+w)图

象上所有的点()

A.横坐标缩短到原来的12

B.横坐标伸长到原来的楙倍

c.横坐标缩短到原来的2东再向右平移五n个单位长度

D.横坐标伸长到原来的］倍，再向右平移五个单位长度

解析：选A由题可得式x）=sin（2r+V}5足"+'—/■）=3（2%—总，

2

故只需将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的丞即可得到函数g（x）=

cos（3x—的图象.故选A.

12.（多选）已知曲线Ci：y=sinx,C2：y=sin（2x+~y）,下列说法中正确的

是（）

A.把G向左平移方个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得

至UCi

B.把G向左平移号个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的3倍，得

至Uc2

C.把G上所有点的横坐标变为原来的1点而再向左平移丁JI个单位长度，得

至1J。2

D.把。上所有点的横坐标变为原来的微1倍，再向左平移式JI个单位长度，得

2o

至UC2

解析：选BD由函数y=sinx的图象向左平移/个单位长度，得到y=

sin，+g"）,再将所有点的横坐标变为原来的3倍，得到）＞=$指（2彳+3，故A错

误，B正确.

由函数），=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的g倍，得到y=sin2x,

再向左平移关■个单位长度，得到y=sin2（x+£j=sin（2x+f,故C错误，D正

确.

13.给出下列六种图象变换的方法：

①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的去

②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；

n

③图象向右平移了个单位长度；

JT

④图象向左平移了个单位长度；

2Ji

⑤图象向右平移亍个单位长度；

2n

⑥图象向左平移亍个单位长度.

请用上述变换中的两种变换，将函数y=sinx的图象变换为函数y=

sin年+多的图象，那么这两种变换正确的标号是.(按变换先后顺序填

上一种你认为正确的标号即可)

解析：y=sinx的图象一④~＞丫=5布，+1_)的图象一②~\y=sin(3x+*的图象，

或y=sinx的图象一②--y=sin楙的图象一⑥■n'=sinQ(x+4_)]=sin(5+lj的图

象.

答案：④②或②⑥

14.设/(x)=4sin12x―—+4.

(1)求7U)在[o,旬JT上的最大值和最小值；

(2)把y=/(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再

2JI

把得到的图象向左平移亍个单位长度，得到函数〉=8仪)的图象，求g(x)的单调

减区间.

,「n-],nFn2n

斛：⑴当xG0,爹时，2x—亍6—y,-y.

当x=0时，函数/(x)有最小值，

.*x)min=*0)=4sin1—3+正=一#;

当时，函数y(x)有最大值，

/U)max=彳*)=4sin(2X号-3+小=4+/.

(2)把)，=/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到

y=4sinQ——+小的图象，再把得到的图象向左平移9个单位长度，得到y=

4sin[x+g，的图象，

所以8(%)=45皿1+胃+市.

,nn3nn7n

由2ATT+"yWx+*yW2AnkGZ,得2ATT+不WXW2ATT+-^~,kG

Z.

所以g(x)的单调减区间是2攵n+£,24n+平'(ZWZ).

15.已知函数/(x)=2sin3x,其中常数①>0.

(1)若y=/(x)在一了，q一上单调递增，求。的取值范围；

(2)令0=2,将函数y=*x)的图象向左平移看个单位长度，再向上平移1个

单位长度，得到函数y=g(x)的图象，区间［a,b］(a,beR且a〈b)满足：y=g(x)

在［a,回上至少含有30个对称中心，在所有满足上述条件的出，切中，求b-a

的最小值.

解：(1)因为w>0,

'nn

一彳3》一干3

根据题意有«=>0<w<7，

2nn4

所以①的取值范围是(o,1.

(2)由/(x)=2sin2x可得，g(x)=2sin^2^r4—+1=2sin(2x+g-1+1,

(nA1n»7

g(x)=0=>sinl2x4-yl=-2^=^n­彳或x=&n-五n,&GZ,

即g(x)的对称中心间隔依次为■和耳"，

故若y=g(x)在［a,切上至少含有30个对称中心，

则b—a的最小值为14X^j-+15X-y=^—.

2、函数y=AsE（3x+6）图象与性质的应用（习题课）

（JI111

1.已知3>0,函数7（x）=cos[3%十句图象的一条对称轴方程为％=§",一

个对称中心为&o）,则①有（）

A.最小值2B.最大值2

C.最小值1D.最大值1

解析：选A由题意知白一故n,322.

31Z4Ci）

2.下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）

A.y=sin卜+方

B.y=sin（2x-V

C.y=cos^4x-

D.y=cos（2x一总

解析：选D设、=加缶（3+9）,显然A=l,又图象过点（一£,°），用，J

3•（-总+。=。，n一（n'

所以j解得3=2,。=于所以函数解析式为y=sin〔2x+w

=cos^2x—~

3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的

人流量满足函数FQ）=50+4sin与r20）,则人流量增加的时间段是（）

A.[0,5]B.[5,10]

C.[10,15]D.[15,20]

解析：选C由2An—+，，攵GZ,知函数/⑺的单调递增区

间为[4Zn—n,4kn+n],女£乙当&=1时，/G[3n,5n].因为[10,15]U[3

n,5n],故选C.

（JT、Jt

4.（2021•姜堰二中月考）已知函数«r）=sin（tux+s“3>0,x=一彳

为函数段）零点，直线尸亍为函数外）的对称轴，且本）在伍知上单调，则

s可能等于（）

A.11B.9

C.8D.6

解析：选B因为X=—5•为函数.八%）零点，所以6oX（—3+夕=女11,kez,

又因为直线x=-^•为函数段）的对称轴，所以"x/+s=〃n+-^~,"GZ,所以

co=2（n—k）+l,又«x）在[衣，行）上单调，则每一同，即3W12,当

11nnn,

tz）=11时，一一^―+s=Zn,kGZ,因为所以e=一彳，此时.*x）在

[蔻，筌]上不单调，不满足题意；当（0=9时，一誓+9=%TT，左GZ,因为MIW,,

所以0=；,此时人工）在（白，上单调，满足题意，故。的值为9,则切不可

能等于11,6,8,故选B.

5.（多选）对于函数段）=cos[“x—至），下列选项正确的是（）

A.尸危）的图象是由於）=COSTU的图象向右平移?■个单位长度而得到的

B.y=/（x）的图象过点[1,—2^

C.尸危）的图象关于点信0）对称

D.>=於）的图象关于直线》=一，2对称

解析：选CDy（九）=COSFix的图象向右平移;个单位长度，所得函数的解

析式为Xx)=COS

当X=1时，yu）=cos（TT—gj=­T，故选项B错误;

当x=^时，年）=3（平一g，=0,y=/（x）的图象关于点岛，0）对称，故选

项C正确;

当x=一|时，彳一|）=以^—斗一?=-1,所以尸危）的图象关于直线x

3

答案：$

7.如图所示为函数,*x）=2sin（a）x+s）（3>0,"yWOWm］的部分图象，其中

A,B两点之间的距离为5,那么/U）=________.

解析：由HB|=5得\Jg2+42=5,解得了=6.

,2nn

由T=\一■,3>0得

⑷3

又当x=0时，.*x）=l,即2sindx0+，=l,

1n5n(n,5n

/.sin0=2>又，0=%~,.；/U)=2sinlyx4-^-

n,5n7n

因此，Xl)=2sin|T+~6=2sm—=2X-1.

答案：-1

8.若函数外）①>0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

JTrJI

了，且该函数的图象关于点（xo，0）成中心对称，xoW0,了，则xo=.

解析：由/U）=sin13》+看）（①〉0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为三=

n2n

不知T=----=n得（o=2,又图象关于点5）,0）成中心对称，得

3

nn,5n

=0,2%o+w=&n(&WZ),而x()£0,-y,则怎)=不三.

5JT

答案：记

9.如图为函数/（x）=Asin（a）x+9）（A>0,3>0,的一个周期内的图

-1O

⑴求函数/U）的解析式；

⑵求函数人x）在4》一1,2]的值域.

解：（1）由题图，知A=2,T=7-（-l）=8,

所以①所以"x）=2sin[N-x+s）

将点（一1,0）代入，得0=2sin[--^-+J.

,nTT

因为刷<»~,所以8=彳，

所以/W=2sin仔•工+高.

,nn3

（2）因一1WXW2,则0或平+]W111,

所以0Wsin（i"x+jWl.所以0W2sin（7x+wJW2.

所以函数/U）的值域为[0,2].

10.已知函数«x）=3sin（5+，（0e[o,的图象的一条对称轴是直线x

⑴求°的值；

⑵求函数y=Ax）的单调增区间和对称中心.

解：（1）'."=T'是函数1A%）的图象的一条对称轴,

/.sinl2X—+(p\=±\,

3n

.•干+s=kn+k，ZG乙,••()<0VF，0=

oZZ~S~-

(2)由(1)知g=挈~,.*.y=3sin|3n

,.n13n

由题意得，

2Zn—kZW.Zx+donW2Rn+kZk£Z,

7nn

即4kn一丁4W4ATT+不ZGZ,

，函数«x）的单调增区间为4Zn一午"，4ATT+/（keZ）.

,13n3n

由（一丁（％）

3Zx+~OV=ZnAGZK^x=2kn4eZ,

故该函数的对称中心为12A：r[—考"，0）（%eZ）.

11.智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围

的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音.已知某噪音

的声波曲线y=2sin（x+s）（0W0<y）,经过点（不，S）则通过听感主动降噪芯片

生成相等的反向波曲线为（）

A.y=2sinQ+VB.y=-2sin（x+总

C.y=2sinxD.y=-2sinx

解析：选B因为/U）过点（蓝，小），所以2sin（l"+，=小，又因为。<夕；当,

所以夕=/,所以«x）=2sinQ+~^]所以反向波曲线为fi,x）=-2sinQ+~^，

12.（多选涵数/（x）=Asin（（yx+夕）（其中A>0,3〉0,|的部分图象如

图所示，则（）

A.函数“X）的最小正周期是2m

B.函数./)的图象关于点舁，0)对称

JI

C.函数«r)的图象关于直线尤=7对称

几

D.将函数/U)的图象向右平移不个单位后，所得的函数图象关于y轴对称

解析：选CD由函数图象可知：A=2,(7=碧一]一总=手，所以丁=

2n

n,又T=\7且ty>0,所以co=2,又=-2,

nnnn

所以一日"+夕=—E+2Zn,k£Z,解得夕=一不+2kn,k£Z,又期忘了，则夕

=一不，所以/(x)=2sin(2x一不)

对于A,函数«r)的最小正周期是n,故A不正确；

对于B,当产=亍时，2x-y=—-y=-^-,所以点序-,0)不是函数人。

的对称中心，故B不正确；

,nn2nnn-

对于C,当x=3■时，2%一不=丁一不=彳，故C正确；

对于D,函数式x)的图象向右平移着个单位后，得.*x)=2sin[2(x一总一卷=

2sin(2x-gj=-2cos2x,所得函数为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，故

D正确.

(nA7nn

13.已知函数,/(x)=asinl2x+-yJ+l(a>0)的定义域为R,若当一开了&W—正

时，加)的最大值为2,则

(1)。=；

(2)该函数的对称中心的坐标为.

--7nn,5nnn

斛析：(1)当一-jyWxW一五时，则一忘不，

所以当2%+1-=["时，/)有最大值为3+l.

又因为犬x)的最大值为2,所以5+1=2,解得a=2.

.(,n八一女nn

⑵由(1)知於)=2sin〔2x+wJ+l,令2x+*y=An,kGZ,解彳寸工=方~—7,

kGZ,

所以函数义x）=2sin（2尤+/J+1的对称中心的横坐标为与一kGZ.

又因为函数式x）=2sin[2