新高考一轮复习导学案第60讲 两条直线的位置关系（解析版）

第60讲两条直线的位置关系知识梳理1.斜率存在的两条直线平行与垂直若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；l1与l2重合⇔k1＝k2，b1＝b2．2.直线的一般式方程中的平行与垂直条件若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A1，B1不同时为0，A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．3.两直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．(1)相交⇔方程组有一组解；(2)平行⇔方程组无解；(3)重合⇔方程组有无数组解．4.已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离为d＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．5.设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则点P到直线l的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(Ax0＋By0＋C)),\r(A2＋B2))．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1－C2)),\r(A2＋B2))．7.五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．【2020年新课标3卷文科】点(0，﹣1)到直线SKIPIF1<0距离的最大值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直时，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离最大，即可求得结果.【详解】由SKIPIF1<0可知直线过定点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直时，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离最大，即为SKIPIF1<0.故选：B.1、(2022·广东模拟)已知a∈R，则直线l1：x＋ay－1＝0与直线l2：(1－a)x＋2ay－1＝0平行的充要条件是()A.a≠0B.a＝0C.a＝－1D.a＝0或a＝－1【答案】C【解析】由题设，得a(1－a)－2a＝0，解得a＝0或a＝－1.当a＝0时，l1：x＝1，l2：x＝1，两条直线重合；当a＝－1时，l1：y＝x－1，l2：y＝x－eq\f(1,2)，则l1∥l2.综上可得a＝－1.2、(2022·潍坊二模)已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a的值为()A.eq\f(1,3)B.－eq\f(1,3)C.3D.－3【答案】A【解析】因为l1⊥l2，所以eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1，解得a＝eq\f(1,3).3、已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．【答案】eq\r(2)－1【解析】由题意，得eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，所以|a＋1|＝eq\r(2).又a>0，所以a＝eq\r(2)－1.4、若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．【答案】eq\f(2,3)【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝－10，,y＝x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－9，,y＝－8，))即直线2x－y＝－10与y＝x＋1相交于点(－9，－8).又因为直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，所以－8＝－9a－2，解得a＝eq\f(2,3).考向一两条直线的位置关系例1、(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为()A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2(2)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0垂直，则a等于()A．1 B．eq\f(1,3)C．0 D．0或eq\f(1,3)【答案】：(1)C(2)B【解析】：(1)若a≠0，则由l1∥l2⇒eq\f(a＋1,1)＝eq\f(－a,2a)，故2a＋2＝－1，即a＝－eq\f(3,2)；若a＝0，l1∥l2，故选C．(2)由l1与l2垂直可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,－2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1，解得a＝eq\f(1,3)，故选B．变式1、已知直线l1：ax＋2y＋3＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)当l1∥l2时，求实数a的值；(2)当l1⊥l2时，求实数a的值．【解析】(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a(a－1)－1×2＝0，,a(a2－1)－1×3≠0，))解得a＝－1或a＝2，所以当l1∥l2时，a的值为－1或2.(2)由题意，得a＋2(a－1)＝0，解得a＝eq\f(2,3).变式2、（1）（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷）“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】充分性：当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0即为：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，所以两直线平行.故充分性满足；必要性：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0即为：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，所以两直线平行，不重合；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0即为：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，所以两直线平行，不重合；所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故必要性不满足.故“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行”的充分不必要条件.故选：A（2）（2023·广东揭阳·统考模拟预测）“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，但“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，因此，“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行”的必要不充分条件.故选：B.方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．考向二两条直线的交点问题例2、已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq\f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是__________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))【解析】如图，已知直线y＝－eq\f(1,2)x＋2与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).直线y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.因为kPA＝－eq\f(1,6)，kPB＝eq\f(1,2)，所以－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).变式1、三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是()A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1【答案】C【解析】)由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若l1，l2的交点(1,1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5，且k≠－10，故选C.变式2、求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解析】：方法一先解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，再由l3的斜率eq\f(3,5)求出l的斜率为－eq\f(5,3)，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0．方法二由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0．方法三由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0．其斜率为－eq\f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq\f(5,3)，解得λ＝eq\f(1,5)，代入直线系方程得l的方程为5x＋3y－1＝0方法总结：(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.考向三两直线及点到直线的距离问题例3、已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．(3)是否存在过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)过点P的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2k－1)),\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP＝－1.∴kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直线的点斜式方程得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，最大距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－5)),\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，过P点不存在与原点距离超过eq\r(5)的直线，∴不存在过P点且与原点距离为6的直线．变式1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【详解】因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由平行线间的距离公式可得SKIPIF1<0.故选：C.变式2、(1)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为.【答案】2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.【解析】设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(,1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(,1＋k2))，所以k＝2或k＝－eq\f(2,3)，所以所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.(2)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(,13),13)，则eq\f(c＋2,a)的值为.【答案】±1【解析】由题意得eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，所以a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，所以eq\f(2\r(,13),13)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(c,2)＋1,\r(,13))))，解得c＝2或c＝－6，所以eq\f(c＋2,a)＝－1或eq\f(c＋2,a)＝1.变式3、已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与直线l2：x－2y＝0的交点P.(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l距离的最大值．【解析】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以P(2，1).当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.由点A(5，0)到直线l的距离为3，得eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，此时直线l的方程为4x－3y－5＝0.综上所述，直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由(1)，得交点P(2，1)，如图，过点P任意作一条直线l，设d为点A到直线l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，所以dmax＝PA＝eq\r((5－2)2＋(0－1)2)＝eq\r(10).方法总结：1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．考向四直线的对称性例4、已知直线l：x＋2y－2＝0.(1)求直线l关于点A(1，1)对称的直线方程；(2)求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程．【解析】(1)设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.在直线l上取点B(0，1)，则点B(0，1)关于点A(1，1)的对称点C(2，1)必在所求的直线上，所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,x＋2y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))即交点为P(2，0).在直线l1上取点M(0，－2)，点M关于直线l的对称点设为N(a，b)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋2·\f(b－2,2)－2＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·\f(b＋2,a)＝－1，))得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(14,5)))，所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.变式1、已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，若∠ACB的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，则BC边所在的直线方程为______________；【答案】12x－31y－31＝0【解析】设点A关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x′，y′)，则联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(x′－1,2)－3×\f(y′＋5,2)＋6＝0，,\f(y′－5,x′＋1)＝－\f(3,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x′－3y′－5＝0，,3x′＋2y′－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(31,13)，,y′＝－\f(1,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,13)，－\f(1,13))).由题意，得点A′在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝eq\f(－\f(1,13)－(－1),\f(31,13)－0)x－1，整理，得12x－31y－31＝0.变式2、如图，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．【答案】2eq\r(10)【解析】由题意，得直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，点P(2，0)关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为CD＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).变式3、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【解析】：(1)设A′(x，y)，再由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′(－eq\f(33,13)，eq\f(4,13))．(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得M′(eq\f(6,13)，eq\f(30,13))．设m与l的交点为N，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0.))得N(4，3)．又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0．(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于点对称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的连线与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直线上找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程．通常情况下会用到两直线的交点．1、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为eq3x－4y＋c\s\do(1)＝0，eq3x－4y＋c\s\do(2)＝0，则|eqc\s\do(1)－c\s\do(2)|＝A．eq2\r(,3)B．eq2\r(,5)C．2D．4【答案】B【解析】由题意可得，菱形两组对边间的距离相等，则EQ\F(|1－3|,\R(,1\S(2)＋2\S(2)))＝EQ\F(|c\S\DO(1)－c\S\DO(2)|,\R(,3\S(2)＋4\S(2)))，解得|eqc\s\do(1)－c\s\do(2)|＝eq2\r(,5)，故答案选B．2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0的最小值为（）ASKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.4 D.5【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图所示：设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0的最小值，且SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.3、（2020·山东高三开学考试）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】动直线过定点，动直线即过定点，且此两条直线垂直．∴点P在以AB为直径的圆上，，设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]，∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴∈[，2]，故选：D．4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）已知直线SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，过点A作直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点B，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】因为点B在直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，设点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则B点坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当B点坐标为SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；当B点坐标为SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：AC.5、