新高考一轮复习导学案第70讲 圆锥曲线中的定值问题（微专题）（解析版）

第70讲圆锥曲线中的定值问题题型一圆锥曲线中面积为定值问题例1、（2022·山东青岛·高三期末）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，证明：SKIPIF1<0的面积为定值.【解析】(1)由椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，将SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0②，①②联立解得SKIPIF1<0，②故椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.(2)证明：设SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，即SKIPIF1<0，由原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，可知SKIPIF1<0故可得此时有SKIPIF1<0，该点在椭圆上，则SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，则此时SKIPIF1<0;当直线SKIPIF1<0斜率存在时，不妨设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，则联立SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，且需满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以y1由原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心知，x0=−(x1+x2),y故SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，代入到SKIPIF1<0中，化简得：(8km1+4k又原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，故SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的3倍，所以d=3|m|1+而|P=1+=1+k2因此S△=63综合上述可知：SKIPIF1<0的面积为定值.变式1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一动点，若线段SKIPIF1<0的垂直平分线与线段SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0．(1)求点SKIPIF1<0的轨迹方程；(2)已知SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0的轨迹上三个点（SKIPIF1<0不在坐标轴上），且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)由已知有SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，其中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的轨迹方程SKIPIF1<0(2)由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，∴SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．变式2、（2021·湖北武汉市高三模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线所成的锐角为60°，且点P（2，3）为E上一点．（1）求E的标准方程；（2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：△AOB面积为定值．【分析】（1）由题得SKIPIF1<0．再分类讨论即得E的标准方程；（2）设直线方程为SKIPIF1<0，联立双曲线方程得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，化简△AOB面积即得解.【解析】（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，E的标准方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，无解．当SKIPIF1<0时，E的标准方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故E的标准方程为SKIPIF1<0．（2）直线斜率显然存在，设直线方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立得：SKIPIF1<0．由题意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0联立，解得SKIPIF1<0；与SKIPIF1<0联立，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面积为定值SKIPIF1<0．题型二圆锥曲线中线段为定值问题例2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右顶点，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于不同于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】（1）由已知可设，双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.【详解】（1）设双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为双曲线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的焦点，所以SKIPIF1<0.因为焦点到渐近线的距离为2，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0（2）证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，且均满足SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，与已知矛盾；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0②当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，联立方程组SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，SKIPIF1<0为该圆的圆心,SKIPIF1<0为该圆的半径，故存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.变式1、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程：（2）点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足．证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）由题意可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故椭圆方程为：SKIPIF1<0.(2)［方法一］：通性通法设点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，代入椭圆方程消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0,代入整理可得：SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，整理化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直线过定点直线过定点SKIPIF1<0.当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.此时直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合，则由题设知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的斜边，故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，则SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.变式2、（2023·浙江温州·统考三模）已知抛物线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于两点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（不同于SKIPIF1<0点），直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0两点.(1)设SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0是定值；(2)求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）由SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的两个交点，显然直线SKIPIF1<0不垂直y轴，点SKIPIF1<0，故设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为定值.（2）由（1）知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得点SKIPIF1<0的横坐标SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得点SKIPIF1<0的横坐标SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.变式3、（2022·江苏如东·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为e，且点(e，3)，(SKIPIF1<0，b)都在双曲线C上.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF1//BF2.证明：SKIPIF1<0为定值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）将点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入双曲线方程，解出SKIPIF1<0，得到答案.（2）设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得出SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0中由余弦定理可得处SKIPIF1<0，同理得出SKIPIF1<0的长，从而可得答案.(1)由点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以双曲线的方程为：SKIPIF1<0(2)由AF1//BF2，设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，如图，连接SKIPIF1<0由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中由余弦定理可得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为定值.题型三圆锥曲线中斜率为定值问题例3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个点在椭圆SKIPIF1<0，椭圆外一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为坐标原点）.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)证明：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率之积为定值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析【分析】（1）设SKIPIF1<0，根据向量关系用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入椭圆方程即可求解；（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入斜率公式即可求解.【详解】（1）设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是定值.变式1、（2022·新疆·三模）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)设不过点SKIPIF1<0的直线l与C相交于A，B两点，直线TA，TB分别与x轴交于M，N两点，且SKIPIF1<0．求证直线l的斜率是定值，并求出该定值．【解析】(1)解：由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆C的方程为SKIPIF1<0；(2)解：当直线l的斜率不存在时，设直线SKIPIF1<0，设l与C相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0分别与x轴相交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，与已知矛盾，故直线l斜率存在，设直线SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，不合题意，故舍去．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即直线l的斜率是定值．变式2、（2022·江苏海安·高三期末）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的两条渐近线互相垂直，且过点SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为双曲线的左顶点，直线SKIPIF1<0过坐标原点且斜率不为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0轴上一点SKIPIF1<0（异于点SKIPIF1<0），且与直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不在坐标轴上）两点，若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之积为定值，求点SKIPIF1<0的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程求出SKIPIF1<0的值即可求解；（2）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所表示的点SKIPIF1<0的坐标，同理可得利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所表示的点SKIPIF1<0的坐标，将SKIPIF1<0整理为关于SKIPIF1<0的方程，由对于任意的SKIPIF1<0恒成立列出等价条件即可求解.(1)由SKIPIF1<0可得渐近线方程为：SKIPIF1<0，因为两条渐近线互相垂直，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0轴上一点SKIPIF1<0（异于点SKIPIF1<0），且与直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0，SK