2024版新高考新教材版高考总复习数学1-9

2024版新高考新教材版.高考总复习数学第九章平

面解析几何

9.1直线与圆

考点1直线的方程

1.(2014四川文,9,5分)设meR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),

则PAI+IPB的取值范围是()

A.[V5,2V5]B.[V1O,25/5]

C.[V1O,4V5]D.[2V5,4V5]

答案B直线x+my=0过定点.■\(0,0),直线11«-广(11+3=0过定点13(1,3).

①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直，此时P(0.3),/.

PA|+|PB|=4.

②当M片0时,直线x+my=O的斜率为二,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.;」xm=T,.•.两条直线互相垂直,即点

mm

P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时，PA|+PB有最小值08.当点P不与点A,

点B重合时,APAB为直角三角形,且IPA|2+PB12=IAB|2=10.由不等式性质知IPA|+1PB|W

Z

2J|P4|+|PB|^2^..JPA|+1PBIe[Vio,2V5].

综合①②得IPA+1PBIe[Vio,2V5].

评析本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质，解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.

2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出

发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QRSHAABC的重心,则AP等于()

84

A.2B.1C.-D.—

33

答案D以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方

程为x+y-4=0.

设l>(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P,的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点

已的坐标为(-t,0),根据反射定理可知PR就是光线RQ所在直线.由匕、匕两点坐标可得直线PE的方程为

y=^(xn),SAABC的重心为G,易知.因为重心G6，9在光线RQ上,所以有+君C+)即

3t--4t-0.

444

所以t=o或t=",因为0<t<4,所以t=-,即AP=§,故选I).

3.(2012浙江理,3,5分)设码&则k=1"是"直线l」:ax+2yT=0与直线L：x+(a+l)y+4=0平行”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A由L〃h,得费=岛，解得a=l或a=-2,代入检验符合,即"a=l"是"L〃L"的充分不必要条件,

故选A.

评析本题考查两直线平行和充要条件的判断,考查运算求解能力.

4.(2011浙江文，12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.

答案1

解析依题意m^O,所以由(-A)xg=-1,得m=l.

评析本题考查两条直线垂直的充要条件,属容易题.注意与平行的区别.

考点2圆的方程

L(2015课标n理,7,5分)过三点人(1,3)述(4,2),(：(1,-7)的圆交丫轴于比1^两点,则|扉|=()

A.2&B.8C.4&D.10

答案C设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b-=-2.再由IPA|=|PB|,得a=l.则

P(1,-2),PA|=J(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P的方程为(x-l)“(y+2)J25.令x=0,得y=-2±2&，贝U

|MN|=!(-2+276)-(-2-2V6)I=4加.

2.(2015课标II文,7,5分)已知三点A(l,0),B(0,<3),C(2,V3)，则4ABC外接圆的圆心至嫄点的距离为

)

答案B在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知AABC是边长为2的正三角形，其外接圆的圆心为

1)(1,钓.因此101)1小+(第=1等.辘B-

3.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=iB.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+l)2+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y-l)2=2

答案D由题意得圆的半径为血,故该圆的方程为(x-l)2+(y-l)2=2,故选D.

4.(2022全国乙，理14,文15,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程

为.

答案Cr-2)2+(y-1)2=51或/+产4工-6)=0或f+:y2Tx-y>-0或x—2y—募=0

解析选取(0,0),(4,0),(4,2)时,不妨设这三点分别为O,A,B,则线段QA的垂直平分线的方程为42,

线段AB的垂直平分线的方程为尸1,所以经过这三点的圆的圆心坐标为(2,1),记为C,圆的半径

r-\CO\=y/22+I2=V5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

(F=0,

选取(0,0),(4,0),(・1,1)时，设所求圆的方程为f+V+DT+Ey+FRCD+EMQO),则16+4D+F=0,

[1+1-D+E+F=O,

(D=-4,

解得E=-6,所以所求圆的方程为小+9-4r6产0.

(F=0.

选取(0,0),(-1,1),(4,2)吐设所求圆的方程为9+丫2+6+&+辰0(02+£2_4£>0),则

8

(F=0,lD=-3一

1-4

1+1-D+E+F=O,解得＜E=_3

(16+4+4。+2E+F=0,

\F=0.

所以所求圆的方程为/+泻％-yy=0.

选取(4,0),(-1,1),(4,2)时，设所求圆的方程为/+y2+Qx+E)，+F=o(D2+区4F>0),则

n16

°=一g，

E=-2,所以所求圆的方程为9+产刍-2y-y=0.

(F=一竺.

5.(2022全国甲文，14,5分)设点M在直线2x+yA=0上，点(3,0)和(0,1)均在OM上,则OM的方程

为

答案(x-l)2+(y+l)2=5

2Q+b-1=0,

解析解法一:设oM的方程为(x-a)2+()，而2=3(rX)),贝(3-a)2+(0-b)2=产,解得|b=-1,

1(0-a)2+(1—b)2=r2,r=V5,

所以OM的方程为G-l)2+(y+i)2=5.

解法二：易得过(3,0)和(0,1)的直线方程为升产1,即x+3y-3=0.

以⑶0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为3.r-y-4=0,联立；二;二;'解得［二所以圆

心为(1,-1),则所求圆的半径，=,(1-3产+(-1_0)2=V5,所以OM的方程为31尸+(}+1)2=5.

6.(2016天津文，⑵5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,遥)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0

的距离为4早V5,则圆C的方程为.

答案(x-2)”=9

解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),

12al

由题意可得底解得所以圆C的方程为(x-2)2+y,;=9.

方法总结待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组，

并求出各系数的值:③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进

行求解.

评析本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法，考查方程思想方法的应

用，注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.

7.(2。】5课标I理,14,5分)一个圆经过椭圆而七二1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准

方程为.

答案(.

解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为

2x-y-3=0.令y=0,得x=之所以圆心坐标为仔,0),则半径曰］］.故该圆的标准方程为(x-4+/号.

Z\Z/ZZ\Z/4

评析本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.

8.(2014陕西理,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称，则圆C的标准方程

为.

答案x2+(y-l)2=l

解析根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心，又半径r=l,所以圆C的标准方程为

x2+(y-l)2=l.

考点3直线与圆、圆与圆的位置关系

1.(2023课标1,6试点(0,—2)与圆V+y2-4x-l=0相切的两条直线的夹角为a，则sina=()

AlB而CMDV6

444

【答案】B

【解析】方法一：因为d+-4x-1=0,即(X-2)2+丁=5,可得圆心C(2,0),半径r=百，

过点P(O,—2)作圆C的切线，切点、为A,B,

因为|PC|="2+(—2『=2V2，则伊川=J\PCf-r2=6，

可得sinNAPC=£=如j。/G_V6

一,cos/-A.PC=—=—，

2V242及4

。./A/4D厂OV10瓜V15

则sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x-----x——=------，

444

:0s2ZAPC-sin2ZAPC=-[乎）=-；<0,

cosZAPB=cos2ZAPC=<

即/APB为钝角，

所以sina-sin（71-NAPB）=sinZAPB=-；

4

0的圆心C(2,0),半径

过点P（0,—2）作圆C的切线，切点为A5,连接AB，

可得|PC|=,22+（-2）2=7ly[2，则|PA|=|P5|=yj\PCf一/=百，

22

因为2PA•.PBcosZAPB=C4+CB|-2C4|-CBcosZACB

且NACB=7t—NAF5,则3+3-6cosZAPB=5+5-lOcos（兀一ZAPB）,

；ZAPB-解得COSZAPB=—L<0,

即3-cosZAP5=5+5cos

4

即/APB为钝角，则cosa=cos（兀一NAPB）=-cos/APB=；，

且。为锐角，所以sina=庐嬴几*

4

方法三：圆灯+丁-4》一1=0的圆心。（2,0）,半径r=J5，

若切线斜率不存在，则切线方程为y=0,则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为丁="一2,即"一y-2=0,

则।，整理得%2+8左+1=0，且△=64—4=60>0

Vv+i

设两切线斜率分别为K,则匕+女2=-8,女*2=1，

可得"_七|=J（匕+&）2-4秘2=2V15，

~|匕一幺|ersinaZ-T,sina

所以tanauL5——^=<15,即------=<15,可得cosa=-

1+火水2cosaV15

则sin?a+cos2a-sin2a+"=1,

15

则解得

且a0,-1，sina>0,sina=^5-

4

故选：B.

2.（2023全国乙文，11）已知实数忆y满足x2+y2-4x-2y-4=o,则尤一y的最大值是（）

A1430

儿1H---------B.4C-1+3夜D.7

2

【答案】C

【解析】法一：令x-y=k,则x=A:+y,代入原式化简得2y?+（2%—6）y+Z?—4左一4=0,

因为存在实数y，则△*（）,即（2%—6）2—4乂2（上2一44一4）20,

化简得人2一2人一17«0,解得1一304氏41+3夜，故x—V的最大值是3五+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=Q,整理得（x-2『+（y-l『=9,

令x=3cos（9+2，y=3sin8+l,其中（9e[0,27r],

则x-y=3cos。一3sin8+1=3A/2COS[8+；]+1,

兀7C97rjr7JT

6e[0,24I，所以S+，则。+1=2兀，即。=7-时，％一丁取得最大值30+1,

法三：由彳2+,2_4彳_2,_4=0可得(x—2)2+(y_l)2=9,

12-1-A：I

设x-y=k,则圆心到直线x-y=A的距离d=-万一＜3,解得1-3&＜氏41+3淄

故选：c.

3.（2023全国乙理，12）已知，。的半径为1,直线PA与。相切于点A,直线PB与：，。交于B,C

两点，。为BC的中点，若|PO|=J5,则9."的最大值为（）

,1+V2R1+2忘

22

c.1+V2D.2+72

【答案】A

【解析】如图所示，|。4|=1,|。耳=J5,则由题意可知:NAPO=45，

由勾股定理可得=yjop2-OAr=1

则：PAPD=\PA\-\P£)|cosa+—=lxV2COS6ZCOS6Z+—

【4

=5/2COS(旦。S”①Sina

=cos2"sin­匕啜」sin2a」-立sin(2a/]

2222L4j

冗冗八7C71

0<a<—,则一—<2a-----<—

4444

-7T

当点A。位于直线PO同侧时，设AOPC=a,0<a<-

4t

71n

则PA.P£)=1PAI，I2°Icosa1x72cosacosa---

44

=5/2cos(2—COS6Z+—sin。

I22

21+cos2al1V2.吟

=cos"a+smacosa=-------+—sinLa=—+——sin2a+一

222214)

71717TTT

0<a<~,则土<2«+生<2

4442

*'•当2a+1=2时，PA.PD有最大值1-

综上可得，的最大值为巨yi.

故选：A.

4.(2022北京,3,4分)若直线2x+y-l=0是圆(x-tz)2+y2=l的一条对称轴，则e

A.iB.-iC.lD.-l

22

答案A由题意可知圆心(4,0)在直线2¥+y-l=0上,故2a+0-l=0,解得.故选A.

5.(多选)(2021新高考511,5分)已知点P在圆5-5)2+。_5)2=16上，点A(4,0),5(0,2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点。到直线A8的距离大于2

C.当NPBA最小时，|PB|=3企

D.当NP8A最大时,伊用二3四

答案ACD由题意可知直线AB的方程为?+即x+2y-4=0,

则圆心⑸5)到直线AB的距离M省詈!=亨>4,

VI2+225

；・直线AB与圆(x-5)2+(>-5)2=16相离，

.•.点P到直线AB的距离的取值范围为[竽一4,竽+4}

•.•噂4e(0,1),i^+4e(8,9),

工选项A正确，选项B错误.

过点B作圆的两条切线，切点分别为Pi,2,如图，当点P在切点Pi的位置时，NPBA最小，当点P在切点Pi

的位置时，NPBA最大，易知|P山|=|%B|,圆心⑸5)到点B的距离为旧，圆的半径为4,所以

\PtB\=\PiB\=y/34-16=旧=3近,故选项C,D均正确.故选ACD.

方法点拨：1.当直线与圆C相离时，圆上的点P到直线的距离的取值范围为M-r,"+r],其中r为半径，"为圆

12

心到直线的距离2从圆外一点Q(w,yo)向圆x+y+DX+Ey+F=0(D+EMQO)引切线,切点为4,则

\QA\=^x1+y^+Dx0+Ey0+F.

6.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+l=0且与圆x2+y==5相切的直线的方程是()

A.2x+y+5=0或2x+y-5=0

B.2x+y+V5=0或2x+y-V5=0

C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+V5=0或2x-y-Vs=0

答案A切线平行于直线2x+y+l=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(cK1),结合题意可得"二返，解得c=±5.

故选A.

7.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3尸+(y-2)?=l相切,则反射光线所

在直线的斜率为()

A］或18.［或《

C.3或3D.—或一：

答案D由题意可知反射光线所在直线过点⑵-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即

kx-y-2k-3=0.

3fe22fe3

,.反射光线所在直线与圆相切,,J----l解得k=［或k=2

同=li34

评析本题主要考查直绩口圆的位置关系.

8.(2015重庆理,8,5分)已知直线1。+@丫-1=0匕£2是圆C:x2+yMx-2y+l=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C

的T切线,切点为B,则|AB|=()

A.2B.4让C.6D.2>/10

答案C圆(:的标准方程为(x-2)*yT尸=21圆心为C(2,1),半径r=2,由直线I是圆C的对称轴,知直线I

过点C,所以2+ax1-1=0,a=-l，所以A(-4,-l),于是|AC|2=40,所以|AB|=而二声=屈"二J=6.故选C.

9.(2014课标11文12,5分)设点玳刈,1),若在圆04+丫2=1上存在点凡使得/(»=45°,则右的取值范围是

()

A.1,1］1得

C.［-72,近］D.-皇，孝

答案A过M作圆。的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆0上存在点N,使N0MN=45°,则N0MB2

Z0MN=45°,所以NAMB，90。,所以T这x°W1,故选A.

评析本题考查直线与圆的位置关系，体现了数形结合的思想方法.

10.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()

A.-2B.-4C.-6D.-8

答案B将圆的方程化为标准方程为(x+1尸+(yT)2=2-a,所以圆心为(T,1),半径r=42-a,圆心到直线

x+y+2=0的距离d』T?+2]=.,故「2-才=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.

V2

11.(2014安徽文,6,5分)过点P(-W,T)的直线1与圆x>y2=l有公共点,则直线1的倾斜角的取值范围是

()

dC.[o,=]D.[o,=]

答案I)过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.

显然,直线PA的倾斜角为0,又0P=J(-a2+(_I)2=2,p=V3,0A=l,因此NOPA=g由对称性知，直线PB

AO

的倾斜角为今若直线I与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是[o(]故选I).

12.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+yJ2ay=0(a>0)截直线x+y=O所得线段的长度是26.则圆M与圆

N:(x-l)2+(y-l)2=l的位置关系是()

A.内切B.相交

C.外切D.相离

答案B由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=O所得线段的长度为20,所以圆心

M到直线x+y=O的距离d=裳=〃F(a>0).解得a=2,又知圆、的圆心为(1,1),半径r=l,所以【MN\=近,则

R-r<>/2<R+r,所以两圆的位置关系为相交，故选B.

思路分析利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a的方程,从而求出圆M的圆心及半径,根据两圆圆

心11巨及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.

13.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=l和两点A(-m,O),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得

NAPB=90°,则m的最大值为()

A.7B.6C.5D.4

答案B若NAPB=90。,则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为xz+y"=m；由题意知圆C:(x-3)、(y-4)2=l

与圆0:X，+产Hi，有公共点,所以|OCWm+1,易知0C|=5,所以4WmW6,故m的最大值为6.选B.

22

14.(2013重庆理,7,5分)已知圆&：(x-2)2+(y-3)2=l,圆C2:(x-3)+(y-4)=9,M,N分别是圆G,C。上的动点,P

为x轴上的动点，则小\1|+忸用的最小值为()

A.5近-4B.V17-1C.6-2近D.-717

设P是x轴上任意一点，则,PM的最小值为PG-1,同理可得IPN的最小值为PC/-3,则;PM+IPN的最小值

为IPGI+1PG|-4.作。关于x轴的对称点C\(2,-3),连接C,C2,与x轴交于点P,连接PC,根据三角形两边之

和大于第三边可知PC,।+|PC』的最小值为IC'C|,则PM|+1PN的最小值为5V2-4.选A.

评析本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识，同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段

长的和转化成两点间的距离是本题的关键.

15.(2016课标11,4,5分)圆x,+yJ2x-8y+13=0的圆心到直线ax+yT=0的距离为1,则a=()

43/—

A.fB.C.v3D.2

答案A圆的方程可化为(x-l)2+(y-4)?=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-l=0的距离为喘皂11,

Va2+1

4

解得a=-§.故选A.

思路分析将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,

解方程即可求得a的值.

16.(2016北京,5,5分)圆(x+l)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()

A.1B.20.5/2D.2近

答案C由题知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离

d车上胆二e故选(、

Jl2+(-l)2

易错警示在应用点到直线的距离公式d-小粤此时,一定要将直线方程化成一般形式,正确写出

A,B,C的值,此处符号易出现错误.

17.（2023课标II,15）已知直线/：1-/孙+1=0与UC：（x—l）2+y2=4交于A,5两点，写出

8

满足“ABC面积为一”的，"的一个值

5

【答案】2（2,—2,1,一,中任意一个皆可以）

22

【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|=2,4-储,

所以S^ABC=3Xdx2y14—=w,解得：d=生£•或d=名叵，

,|1+1|224行j2275

由d=7）=i；,所以］_==----或/==-----,解得：加=±2或

y/l+m2W+〃/yjl+m25yjl+jn25

m=±-.

2

18.（2016课标1.15,5分）设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点，若AB=2则圆C的面

积为.

答案4n

解析把圆C的方程化为x2+（y-a）J2+a1则圆心为（0,a）,半径片向圆心到直线x-y+2a=0的距离

d卷由r三十+（殍）:得/+2与3,解得£=2,则/=4,所以圆的面积S=n?=4n.

19.（2016课标HI,15,5分）已知直线l:x-V3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作1的垂线与x

轴交于C,D两点.则|CD|=.

答案4

解析圆心(0,0)到直线x-V3y+6=0的距离d=vm=3>ABI=2V12-32=2^3,过C作CE±BD于E,因为直

|CE|_|/1B|_2冉一4

线1的倾斜角为30。,所以［CD|=

cos300cos30°苧

20.（2016课标111理，16,5分）已知直线1：1^+丫+3111-旧=0与圆*2+寸=12交于人,1｝两点,过八,8分别作1的垂

线与x轴交于C,D两点.若|AB=2百,则CDI=

答案4

解析由题意可知直线1过定点(-3,V3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,百),由于

AB|=2A/3,r=2旧,所以圆心到直线AB的距离为d=V(2V3)2-(V3)2=3,又由点到直线的距离公式可得

电3,解得所以直线1的斜率k=-m=f,即直线1的倾斜角为30°.如图，过点C作CH±BD,垂

Vm2+133

足为H,所以|CH|=2百，在RtZ\CHD中,NHCD=3O。,所以Cl)|=-^-=4.

cos30°

解后反思涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.

21.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2mT=0(meR)相切的所

有圆中,半径最大的圆的标准方程为.

答案(x-l)2+y2=2

解析由mx-y-2m-l=0可得m(x-2)=y+l,由m《R知该直线过定点(2,T),从而点(1,0)与直线wx-y-2mT=0

的距离的最大值为J(2-1)2+(-1-0户近,故所求圆的标准方程为(x-l)：'+y2=2.

22.(2014重庆理，13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为。的圆(x-l)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且4ABC为

等边三角形,则实数a=.

答案4±V15

解析易知aABC是边长为2的等边三角形，故圆心C(La)到直线AB的距离为百,即早等0,解得a=4

Va2+1

±V15.经检验均符合题意，则a=4±V15.

评析本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要求较高.

23.(2022新高考〃，15,5分)设点A(-2,3),8(0,加，若直线AB关于产a对称的直线与圆(x+3)2+()>+2)2=l有

公共点,则a的取值范围是.

答案［羽

解析设直线AB关于产a对称的直线为,心产等一二k-等.

显然点B(0,a)在直线I上，J.直线/的方程为y~x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.1•/与圆有公共点，

二圆心(-3,-2)到直线/的距离dWr,

即i与3+警二22卫<］即6a211°+3co.

V(a-3)2+4—

解得岸a与.•.实数a的取值范围为停,I］.

24.(2022全国甲理，14,5分)若双曲线产今=1(，">°)的渐近线与圆/+产4.计3=0相切，则m=.

答案与

解析易得双曲线的渐近线方程为｝=4("，>0),

圆的方程可化为N+(尸2)2=I,其半径/-I,

•.•渐近线与圆相切".圆心(0,2)到渐近线的距离等于r,...—=于1".浮W，又,”>0,."=容

阳33

25.(2022新高考/,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程.

答案x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)

解析:两圆Ci:x2+y2=\,Ci：(#3)2+0-4)2=16的圆心分别为Ci(0,0),。2(3,4),n=l,n=4,/.

|℃2|=5=门+2则两圆外切，如图所示均与直线Zi：x=-1相切，两圆圆心连线GC2所在直线的方程为尸%记

为/,1\与/交于点P(-1,一由两圆另一外公切线〃过点P,设/2：y+-=^(x+l),由，2与圆。:炉+卢1相切，

得盘=1，求出弓，则直线h的方程为7x-24y-25=0,由内公切线人与，垂直，设h的方程为产季+加，由h

与圆Ci:2+)1M相切得〒㈣=f=i,《或［.当用=［时,尸--5与圆ci不相切,不符合题意,舍去.故

44444

，"=右则直线h的方程为3x+4y-5=0.

综上，可知三条切线方程分别为x=-\,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.

综上，可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4.y-5=0,7x-24y-25=0.

26.(2021全国甲理,20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线/:%=)交C于P,Q两点,

且。P_LOQ.已知点M(2,0),且OM与/相切.

(1)求C,OM的方程;

⑵设Ai,4,A3是C上的三个点,直线AIA2,A&均与。M相切.判断直线A2A3与。例的位置关系，并说明理

由.

解析⑴由题意可设抛物线C的方程为）2=2px（p>0）,则P,Q的坐标为（1,,

•：OPYOQ,：.0POQ=\-2p=0,

：.p弓，二抛物线C的方程为）2=x.

YOM的圆心为（2,0）,OM与直线41相切，...O”的半径为1,

二0M的方程为（x-2）2+y2=l.

（2）直线A2A3与OM相切.理由如下：

设Ai（Xo,"），A2（*,yi）,A3（yf，"），:直线A1A2,A1A3均与。M相切，，演

由Ai,4的坐标可得直线AiAi的方程为广加=笺台（%・羽），整理，得x-1）y+yoy1=0,由于直线4/2与OM

y。-英

相切，...M到直线A1A2的距离总/:为%1],整理得（据⑴讨+2yoy1+3-评=0,①

v1+（yo+yi）

同理可得，（犬-1）犬+2yoy24-3-诏=0,②

观察①②,得y\,yi是关于上的一元二次方程（诏-1）3+2和x+3-弁=0的两根,

2yo

71+”=一羽t'

(*)

3-M

5y2ypi

同理，得直线4见的方程为x-（.yi+j2）y+yiy2=0,

把（*）代入,得公，"斌।=，洸-羽|

则点M（2,0）到直线A2A3的距离d'=」2+乃为1|2(-1)+3

>/1+81+%)2]%-1)2+(-2%)2

।国+“=喏t1....直线A2A3与OM相切.

拓诉展+u

解后反思本题第（1）问较为基础,熟练掌握抛物线和圆的标准方程是关键;第（2）问涉及的条件较多，其中

直线44与圆相切,是最重要的一个条件，由此条件可求出直线44的方程,进而直线AIA3,A2A3的方程就

可同理求得,可大大简化运算过程,而由①②归纳出》,户是方程（据“）/+2）仙+3-据=0的两根,则需要有较

深的数学功底和知识储备,需要同学们平时不断积累.

27.（2015课标I文,20,12分）已知过点A（0,1）且斜率为k的直线1与圆C:（x-2）”（y-3尸=1交于M,N两点

⑴求k的取值范围；

⑵若丽•而=12,其中（）为坐标原点,求IMNI.

解析⑴由题设，可知直线1的方程为y=kx+l.

因为1与C交于两点,所以咤型<1.

解得4三-VM7k〈竺44-厂V7.

所以k的取值范围为(竽，芋).(5分)

⑵设M(x”y),N(x“y2).

将y=kx+l代入方程(x-2)，(y-3)2=L整理得

(l+k2)x-4(l+k)x+7=0.

所以Xi+X2,X,X=^2.(7分)

=：；：?2

OM•O/V=X]X2+yiy2

2

=(l+k)XiXj+k(xi+x2)+l

4k(1+k)

+8.

-l+F

由题设可彳理署―+8=12,解得k=l,

所以I的方程为y=x+L

故圆心C在1上,所以|MN|=2.(12分)

28.(2015广东理,20,14分)已知过原点的动直线1与圆C,:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

⑴求圆3的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹(；的方程；

⑶是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说

明理由.

解析(1)圆C的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)、yz=4,所以圆心坐标为(3,0).

(2)设A(xi,y),B(xz,y?)(xi,M(x0,y»),

则x产鬻,y产空.

由题意可知直线I的斜率必存在,设直线1的方程为y=tx.

将上述方程代入圆3的方程，化简得(1+钓x2-6x+5=0.

由题意,可得△=36-20(1+钓〉0(*),xi+x；尸会

所以x小备，代入直线1的方程,得y后券.

因为说吼号+了滂彳需=七=3乂.，

所以(与-5)+疥*

由(*)解得总又t>O,所以|<x«W3.

所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为(X-丁+y](|<x<3).

⑶由⑵知，曲线C是在区间(1,31上的一段圆弧.

如图,D(|，竽),E(|,-誓)F⑶0),直线L过定点G(4,0).

联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得(l+k2)xJ(3+8k2)x+16ky).

令判别式A=0,解得:k=士/由求根公式解得交点的横坐标为x„.,=ye(|,3],由图可知:要使直线1.与曲线C

只有一交点则ke[km,kaJU{kc“,kci},即keuf-p2l-

77I44J

29.(2014课标I文,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点l>的动直线1与圆C交于A,B两点,线段

AB的中点为M,0为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程；

⑵当0P=I0M时，求1的方程及aPOM的面积.

解析(D圆C的方程可化为/+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.

设M(x,y),则由=(X,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知丽•MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即

(x-l)2+(y-3)2=2.

由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(xT)z+(y-3尸=2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(l,3)为圆心,也为半径的圆.

由于|OP=10M|,故0在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON1PM.

[1R

因为ON的斜率为3,所以I的斜率为-右故I的方程为y=^x+1

XIOM]=|OI>|=2V2,0到I的距离为胃，，PM二等，所以△POM的面积为9

评析本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图形的几何性

质可简化运算.

30.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.

设圆C的半径为1,圆心在1上.

(1)若圆心(:也在直线y=x-l±,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

解析(D由题意知，圆心C是直线y=2x-4和y=x-l的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在.设过

A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,

由题意得,董丛1，解得k=。或(，

故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.

⑵因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)、[y-2(a-2)]!=l.

z2

设点M(x,y),因为MA=2M0,所以江炉+(y-3)2=2,/+y2,化简得x+y+2y-3=0,即^(y+DM,所以点M

在以【)(0,T)为圆心,2为半径的圆上.

由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点，则12-11WCDW2+1,即1《a2+(2a-3yW3.

由5aJ12a+8>0,得aGR;

12

由5a2T2a<0,得0<@《三.

所以点c的横坐标a的取值范围为"^].

评析本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查

运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.

第九章平面解析几何

9.1直线和圆

五年高考

考点1直线的方程

1.(2012浙江,3,5分，易)设@卧,则，=1”是“直线h:ax+2y-l=0与直线L:x+(a+l)y+4=0平行”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

2.(2020课标HI文,8,5分，中)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()

A.lB.V2C,V3D.2

答案B

考点2圆的方程

1.(2020北京,5,4分，易)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()

A.4B.5C.6D.7

答案A

2.(2018天津文,12,5分，易)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,)(2,0)的圆的方程为

答案x2+y2-2x=0

3.(2022全国甲文,14,5分，易)设点M在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在OM上，则OM的方程

为.

答案(x-l)2+(y+l)』5

4.(2022全国乙，文15,理14,5分，中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1*4,2)中的三点的一个圆的方程

为.

答案(x-2/+(y-1)2=51或x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-1x—竽y=0或x2