函数的奇偶性期末复习讲义高一上学期数学人教A版

3.2.2函数的奇偶性1、函数奇偶性的概念：偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数。奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数。非奇非偶函数：既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数。2、具有奇偶性的函数特点：①其定义域关于原点对称：在奇函数和偶函数的定义中，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中，也就是说，一个函数不管是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称，否则这个函数不满足奇函数或偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数。②存在既是奇函数又是偶函数的函数：如，因为它满足。③若奇函数在原点处有定义：则有（）。④函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数，即为非奇非偶函数。3、等价转化：①；或。②；或。4、函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势。奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质。5、奇、偶函数的图像特征（几何意义）：①奇函数的图像特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。②偶函数的图像特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数。③奇、偶函数的单调性：奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。上述结论可简记为“奇同偶异”。偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数。6、常见函数的奇偶性：①一次函数：当时是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数。②反比例函数：奇函数。③二次函数：当时是偶函数；当时为非奇非偶函数。7、奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性：设的定义域分别是，若，则有下列结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数8、图像关于点成中心对称图像：函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数。函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数。一般结论：在定义域内恒满足的条件的图像的对称中心点点点9、图像关于直线成轴对称图形：函数的图像关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数。函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数。在定义域内恒满足的条件的图像的对称轴直线直线直线10、函数的奇偶性的判断方法：（1）定义法：①求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；②结合函数的定义域，化简函数的解析式；③求，可根据与之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性。（2）图象法：①画出函数的图象；②判断函数图象关于原点或轴是否对称；③如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数。（3）性质法：①偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商（分母不为0）为偶函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。11、分段函数奇偶性的判断：判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。分段函数不是几个函数，而是一个函数。因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意的是与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。12、利用函数的奇偶性求函数解析式：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称。所以当函数具有奇偶性时，已知函数在轴一侧的解析式，就可得到在轴另一侧的解析式，具体做法如下：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设在哪个区间内；②要利用已知区间的解析式进行代入；③利用的奇偶性写出或，从而解出；④若函数的定义域内含0且为奇函数，则必有。（2）若做选择题或填空题还可以采用如下办法：①直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的和分别换成“”和“”；若图象关于轴对称，只需把原函数中的变为“”即可。②特殊点对称法。13、函数的奇偶性与单调性的综合应用：（1）函数的奇偶性与其单调性的关系：①若函数是奇函数，那么在区间（，）（）和（，）上具有“相同”的单调性。②若函数是偶函数，那么在区间（，）（）和（，）上具有“相反”的单调性。（2）利用函数的奇偶性和单调性我们可以解决以下两种问题：①比较大小：奇函数、偶函数单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大。对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断。②解抽象不等式：一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。（3）两个重要结论：①若为奇函数且在处有定义，则必有。②若为偶函数，则必有。14、判断函数奇偶性的常见错误：（1）忽视函数的定义域致错。（2）没有搞清楚分段函数奇偶性概念致错。（3）忽视对参数的讨论致错。15、常见奇偶性函数模型：容奇函数：=1\*GB3①函数或函数。=2\*GB3②函数。=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数。注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数。偶函数：=1\*GB3①函数。=2\*GB3②函数。=3\*GB3③函数类型的一切函数。【题型1】判断函数的奇偶性1．下列函数是偶函数的是（）A．y＝x B．y＝2x2﹣3 C．y=x D．y＝x2，x∈2．下列函数是奇函数的是（）A．y＝2x2﹣3 B．y=x C．y＝x，x∈[0，1] D．y＝3．判断下列函数是否具有奇偶性：（1）f（x）＝x+x3+x5；（2）f（x）＝x2，x∈（﹣1，3）；（3）f（x）＝﹣x2；（4）f（x）＝5x+2；（5）f（x）＝（x+1）（x﹣1）．4．判断下列函数是否具有奇偶性：（1）f（x）=1x；（2）h（x）＝x3+1；（3）f（x）=x（4）f（x）＝x2（x2+2）；（5）g（x）＝x（x+1）；（6）k（x）=3-x5．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=3x2x2+3；（2）f（（3）f（x）＝（x﹣1）1+x1-x；（4）f（x）=6．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=4-x2|x-2|；（2）f（x）（3）f(x)=1-x2|x+2|+|x-3|；（4）f（x7．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x-1x；（2）f(x)=x(2-x)，x＞0-x(2+x)，x＜0；（3）f（8．设函数f(x)=xA．f（x+1）+1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x﹣1）﹣1【题型2】奇、偶函数的运算性质1．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（2x）+2|g（x）|是偶函数 B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数 C．2|f（x）|+g（2x）是偶函数 D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数2．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数3．设偶函数f（x）的定义域为R，函数g（x）=xA．|f（x）|g（x）是奇函数 B．f（x）g（x）是偶函数 C．f（x）|g（x）|是奇函数 D．|f（x）g（x）|是奇函数4．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，下列函数中是奇函数的是（）A．y＝f（|x|） B．y＝|f（x）| C．y＝xf（x） D．y＝3f（x）﹣4x5．若f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（）考察复合函数的奇偶性A．y＝f（2x+2﹣x） B．y＝f（2x﹣x） C．y＝f（2x﹣2﹣x） D．y＝f（2x+x）（多选）6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）A．y＝f（﹣x） B．y＝f（x）+x3 C．y=f(x)x （多选）7．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（）A．y＝x+f（x） B．y＝xf（x） C．y＝x2+f（x） D．y＝x2f（x）【题型3】定义域关于原点对称1．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．-13 B．13 C．-2．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么f（x）的最大值是（）A．0 B．13 C．4273．已知f（x）＝ax2+bx+1是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么y＝f（x）的最大值是（）A．1 B．13 C．43 4．已知f（x）＝（x﹣1）（ax+b）是偶函数，且其定义域为[2a﹣3，a]，则a+b＝（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知f（x）＝ax3+bx2+cx是定义在[a﹣1，2a]上的奇函数，则a+b＝（）A．-13 B．13 C．16．若f（x）＝ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣6+a，a]的奇函数，则a+b＝．【题型4】奇偶函数图象的对称性1．函数f（x）=1A．y轴对称 B．直线y＝x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝﹣x对称2．函数f(x)=eA．y轴对称 B．直线y＝﹣x C．坐标原点对称 D．直线y＝x3．函数f（x）=3-A．原点对称 B．轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称4．函数f（x）＝2x+2﹣x（x∈R）的图象关于（）A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称5．函数f（x）＝3x与f(x)=(1A．坐标原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称【题型5】已知函数的奇偶性求参数1．已知函数f（x）＝4x（x﹣1）+ax+|x|是偶函数，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知函数f（x）＝2x2+ax+2，若f（x+1）是偶函数，则a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43．已知函数f(x)=ax-1x2+1是定义在A．1 B．﹣1 C．0 D．24．已知f(x)=exeA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．已知函数f（x）＝ax2+|x+a+1|为偶函数，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．∅ B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．若函数f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定义域上的奇函数，则实数a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．27．若函数f（x）＝2x+a•2﹣x﹣x为R上的奇函数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．若f（x）＝（x+a+1）（x2+a﹣1）为奇函数，则a＝（）A．1或﹣1 B．1 C．0 D．﹣19．已知f（x）＝2﹣x+a•2x为奇函数，则f（1）的值为（）A．-32 B．1 C．3210．已知函数f(x)=a+23xA．54 B．1 C．98【题型6】利用函数的奇偶性求函数值1．设f（x）为定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝ex﹣1，则f（﹣1）+f（1）＝（）A．e﹣1 B．﹣2e﹣2 C．2e﹣1 D．2e﹣22．设f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则使f（x）＞0的x取值范围是（）A．{x|x＞1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}3．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x3+x+1，则f（1）＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．34．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x+3x+a，则f（2）的值为（）A．234 B．274 C．-275．设f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex﹣1，则f（﹣1）+f（0）＝（）A．-1e-1 B．﹣e﹣1 C．-1【题型7】利用函数的奇偶性求函数解析式011．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x+2，则当x＜0时，f（x）＝（）A．﹣x﹣2 B．﹣x+2 C．x﹣2 D．x+22．函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=x-1，则当x＜0时，f（A．-x+1 B．--x-1 C．3．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2+x，则当x＜0时，f（x）＝（）A．x2+x B．﹣x2+x C．x2﹣x D．﹣x2﹣x4．函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣15．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x﹣3，则当x＜0时，f（x）＝（）A．﹣x2﹣2x+3 B．x2+2x﹣3 C．﹣x2+2x+3 D．x2﹣2x﹣3【题型8】利用函数的奇偶性求函数解析式021．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，满足2f（x）+g（x）＝3x，求f（x）的解析式．2．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且满足f（x）+g（x）＝x2+x+1，求f（x）和g（x）的表达式．3．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=2x-2．求f（x）与g（4．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）﹣g（x）=1x+1，求f（x）、g（5．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）＝x2+x﹣2，x∈R．（1）求f（x）和g（x）的表达式；（2）若对于任意的x∈[2，3]，不等式f（x）﹣k•g（x）+7≥0恒成立，求k的最大值．【题型9】奇偶性与单调性的综合1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝log2x B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+1 D．y=|2．下列函数是奇函数且在[1，+∞）上单调递增的是（）A．y=1x B．y＝x2 C．y=x+23．定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）4．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0）上是减函数，且f（2）＝0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）5．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）＝0，则使得f（x﹣1）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（2，+∞） C．（﹣1，3） D．（﹣2，2）6．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=x+4x-5．则关于x的不等式fA．（﹣∞，﹣4）⋃（﹣1，0）⋃（0，1）⋃（4，+∞） B．（﹣∞，﹣4）⋃（﹣1，0）⋃（1，4） C．（﹣4，﹣1）⋃（1，4） D．（﹣4，﹣1）⋃（0，1）⋃（4，+∞）7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为增函数，且f（3）＝0那么不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，0）∪（3，+∞） C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）8．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）＝0，则xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）9．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）＝0，则不等式f(x)xA．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）10．已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且满足f（2）＝0，则不等式f(x)-f(-x)xA．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）【题型10】单调性和奇偶性综合求不等式范围问题1．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，在区间（﹣1，0]上单调递增．若实数a满足f（a﹣1）+f（a）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，12） B．（12，+∞） C．[0，12） 2．已知定义在R上的奇函数f（x），且为减函数，又知f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，则a的取值范围为（）A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（0，1） D．（0，2）3．已知函数f（x）＝g（x）﹣3x3﹣5x+4，g（x）为定义在R上的奇函数且单调递减．若f（a）+f（a﹣4）＜8，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜2 C．a＞1 D．a＞24．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，则关于x的不等式f（x2﹣1）+f（﹣2x﹣2）＜x2﹣2x﹣3的解集为（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）5．已知函数f（x）＝x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为（）A．（﹣1，3） B．（﹣2，1） C．(0，23)【题型11】抽象函数的奇偶性判断1．已知函数y＝f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立，（1）求证：函数y＝f（x）是奇函数；（2）判断函数y＝f（x）是R上的增函数还是减函数，并证明你的结论．2．定义在R上的函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）若g（x）＝f（x）﹣1，证明：g（x）是奇函数．（2）若f（1）＝2，解不等式f（m2﹣4m﹣9）＜4．3．（1）已知函数f（x），x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）＝2f（x1）•f（x2），求证：f（x）为偶函数；（2）设函数f（x）定义在（﹣l，l）上，证明：f（x）+f（﹣x）是偶函数，f（x）﹣f（﹣x）是奇函数．4．设函数y＝f（x）（x∈R，且x≠0）对任意非零实数x1，x2，恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）．（1）求f（﹣1）及f（1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．5．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1），都有f（x）+f（y）＝f（x+y1+xy（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）若当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数；（3）f（1﹣a）+f（1﹣3a）＜0，求实数a的取值范围．【题型12】奇函数+常数模型1．已知函数f（x）＝ax3+bsinx+2022，若f（m）＝2021，则f（﹣m）＝（）A．﹣2021 B．2022 C．2023 D．﹣20232．已知f(x)=ax3+bsinx+cx+2，且A．m B．﹣m C．4﹣m D．8﹣m3．已知函数f（x）＝ax3+bx﹣3，若f（﹣2）＝10，求f（2）4．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）＝10，求f（2）的值．5．已知f（x）＝x2011+ax2013-bx-8，f6．若定义在R上的函数f（x）、g（x）均为奇函数，设F（x）＝af（x）+bg（x）+1．（1）若F（﹣2）＝10，求F（2）的值；（2）若F（x）在（0，+∞）上有最大值4，求F（x）在（﹣∞，0）上的最小值．【题型13】函数求值1．若函数f（x）满足f（x+1）＝f（3﹣x），且f（1）＝3，则f（3）＝（）A．3 B．﹣3 C．13 D．2．若奇函数f（x）（x∈R）满足f（3）＝1，f（x+3）＝f（x）+f（3），则f(3A．0 B．1 C．12 D．3．奇函数y＝f（x）满足f（3）＝1，且f（x﹣4）＝f（x）﹣f（3），则f（2）等于（）A．0 B．1 C．-12 4．若奇函数f（x）（x∈R），满足f（2）＝1，f（x+2）＝f（x）+f（2），则f（1）等于（）A．0 B．1 C．-12 5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（6）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【题型14】函数的周期性1．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且f（﹣1）＝2，则f（2017）的值是（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣22．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则，f（2016）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（10）+f（12）的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（x+1）＝﹣f（x），则f（2）+f（3）+f（5）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．45．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．﹣2 B．0 C．2 D．20206．定义在R上的偶函数f（x），对任意的实数x都有f（x+4）＝﹣f（x）+2，且f（﹣3）＝3，则f（2015）＝（）A．﹣1 B．3 C．2015 D．﹣40287．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）＝13，若f（1）＝2，则f（2015）＝（）A．0 B．2 C．132 当堂检测一．选择题（共12小题）1．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f(-5A．-12 B．-14 C．2．已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2） C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）3．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3+x2+1，则f（1）+g（1）＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣3x，则函数g（x）＝f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2-7，1，3} D．{﹣2-6．若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（）A．f（x）•f（﹣x）＞0 B．f（x）•f（﹣x）＜0 C．f（x）＜f（﹣x） D．f（x）＞f（﹣x）7．已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣26 B．﹣18 C．﹣10 D．108．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．39．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+110．设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（-13）=13，则A．-53 B．-13 C．11．设函数f（x）=1-xA．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+112．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（92A．-94 B．-32 C．二．填空题（共8小题）13．已知函数f（x）＝ax2+2x是奇函数，则实数a＝．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝．15．y＝f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）＝．16．若函数f（x）=x2+2x(x≥0)g(x)(x＜0)为奇函数，则f（17．已知函数f（x）＝ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b＝．18．已知函数f(x)=1x3+ax3-bx-519．设函数f（x）的定义域为R，f（x）为偶函数，f（x+1）为奇函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝a•2x+b，若f（0）+f（1）＝﹣4，则f(7220．若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（-52）+f（1）＝三．解答题（共8小题）21．已知奇函数f（x）＝ax2+bx+2x（a，b∈R），且（1）求f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明：f（x）在（0，2）上单调递减．22．已知函数f(x)=3（1）证明函数f（x）为奇函数；（2）解关于t的不等式：f（3t﹣1）+f（2﹣t）＜0．23．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣1]上单调递增，求实数m的取值范围．24．已知函数f(x)=mx+n1+x（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且1a+2b=8，若存在a，b25．已知函数f（x）=2x+m（1）求实数m，n的值；（2）解关于x的不等式f（2x2﹣6x）+f（3a﹣ax）＜f（0）．26．已知f(x)=mx+nx2+1(m，n∈R)（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）g（x）＝1，试用单调性的定义证明函数g（x）在（0，1）上单调递减．27．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．（1）求函数f（x）（x∈R）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）．28．已知函数f(x)=x2+bx+1ax(a＞0)（1）求函数f（x）的解析式；课后作业一、单选题1．已知函数fx是定义域为R的奇函数，且fx=f4−x，当−2≤x<0时，fxA．－2 B．2 C．27 D．－2．已知偶函数fx在区间0,+∞上单调递增，则满足f2x−1<f1A．1,+∞ B．−∞,1 C．−3．设f(x)=−x3+(a−2)x2+x是定义在A．4 B．5 C．6 D．74．设fx是周期为3的奇函数，当−1≤x<0时，fx=2x2A．−12 B．−14 C．5．已知函数fx是奇函数，gx是偶函数，且fx+gxA．6x−4xx2−4 B．6x+4xx6．设函数f(x)=1−2x1+x，则下列函数中为奇函数的是（A．y=f(x−1)−2 B．y=f(x−1)+2 C．y=f(x+1)−2 D．y=f(x+1)+27．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A．y=1x B．y=−x+1x C．y=−x8．已知偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx=A．12,3C．32,+∞9．若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（

）A．[−1,1]∪[3,+∞) B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞) D．[−1,0]∪[1,3]10．函数y=−4|x|x2A． B．C． D．11．若定义在R上的奇函数fx在−∞,0单调递减，且f3=0，则满足xfA．0∪4,+∞C．−1,0∪2,5 12．已知f(x+1)是定义在R上的偶函数，且对任意的1≤x1<x2，都有x1−A．(−∞,−1) C．(−1,1) D．(−13．已知定义域为R的奇函数fx在−∞,0单调递减，且f2=0，则满足xfA．−∞,−2∪C．−2,0∪0,2 14．设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2,3]时，f(x)=x，则x∈−2,0时，f(x)的解析式为f(x)=（

A．x+4 B．2−xC．3−|x+1| D．2−15．设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+bA．−94 B．−32 C．16．定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy，当A．fB．fxC．fx在区间−4,4上有最大值D．f2x+1+f二、多选题17．已知函数y=fx+1的图象关于直线x=1对称，且对：∀x∈R有fx+f−x=2.当x∈A．fx=fx+8 C．f2022=1 D．18．已知x∈R，函数fx=xA．y=fx为奇函数 B．y=fx在C．y=fx的单调递减区间为1，2 D．三、填空题19．若函数fx是定义在R上的偶函数，fx+1是奇函数，f0=1四、解答题20．已知定义在R上的奇函数fx满足f(x+3)=(1)求实数a的值；(2)当x∈(−2,2)时，用定义证明函数fx(3)当x∈(−2,2)时，解不等式fx+221．已知fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(1)求fx(2)若fm+1<f2m−122．已知函数fx=x+b（1）确定fx（2）用定义证明：fx在区间−1,1（3）解不等式ft−123．已知函数f(x)=−2x(1)求实数a的值；(2)判断函数fx24．已知函数fx(1)求b的值；(2)解关于x的不等式f1+25．定义在−1,1上的函数fx满足：对任意的x，y∈−1,1，都有：(1)求证：函数fx(2)若当x∈−1,0时，有fx>0，求证：f(3)若f12=−1，fx≤t226．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，对任意x，y恒有g(x−y)=g(x)f(y)−f(x)g(y)，且(1)求f(0)的值；(2)判断g(x)的奇偶性，并证明．27．已知函数fx的定义域为R，且fx−(1)求fx(2)已知a≠0，对任意的x∈R，x+1≤ax2+bx+c≤f28．已知函数fx=px+qx2+1（(1)求函数fx(2)判断fx在−1,1(3)解关于x的不等式fx−129．已知函数fx=ax+b1+x(1)求fx(2)判断函数fx在−1,1(3)求使f2m+1+fm30．定义在R上的函数fx满足对任意x，y∈R，恒有fx+y=fx+f(1)证明：fx(2)试判断fx(3)若∀t∈R，不等式ft−t231．设a为实数，函数f(x)=2x(1)当a=0时，判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值．32．已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.(1)证明函数y=f(x)是奇函数；(2)证明函数y=f(x)是R上的减函数；(3)若f(x2−2)+f(x)<03.2.2函数的奇偶性1、函数奇偶性的概念：偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数。奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数。非奇非偶函数：既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数。2、具有奇偶性的函数特点：①其定义域关于原点对称：在奇函数和偶函数的定义中，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中，也就是说，一个函数不管是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称，否则这个函数不满足奇函数或偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数。②存在既是奇函数又是偶函数的函数：如，因为它满足。③若奇函数在原点处有定义：则有（）。④函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数，即为非奇非偶函数。3、等价转化：①；或。②；或。4、函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势。奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质。5、奇、偶函数的图像特征（几何意义）：①奇函数的图像特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。②偶函数的图像特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数。③奇、偶函数的单调性：奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。上述结论可简记为“奇同偶异”。偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数。6、常见函数的奇偶性：①一次函数：当时是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数。②反比例函数：奇函数。③二次函数：当时是偶函数；当时为非奇非偶函数。7、奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性：设的定义域分别是，若，则有下列结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数8、图像关于点成中心对称图像：函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数。函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数。一般结论：在定义域内恒满足的条件的图像的对称中心点点点9、图像关于直线成轴对称图形：函数的图像关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数。函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数。在定义域内恒满足的条件的图像的对称轴直线直线直线10、函数的奇偶性的判断方法：（1）定义法：①求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；②结合函数的定义域，化简函数的解析式；③求，可根据与之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性。（2）图象法：①画出函数的图象；②判断函数图象关于原点或轴是否对称；③如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数。（3）性质法：①偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商（分母不为0）为偶函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。11、分段函数奇偶性的判断：判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。分段函数不是几个函数，而是一个函数。因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意的是与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。12、利用函数的奇偶性求函数解析式：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称。所以当函数具有奇偶性时，已知函数在轴一侧的解析式，就可得到在轴另一侧的解析式，具体做法如下：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设在哪个区间内；②要利用已知区间的解析式进行代入；③利用的奇偶性写出或，从而解出；④若函数的定义域内含0且为奇函数，则必有。（2）若做选择题或填空题还可以采用如下办法：①直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的和分别换成“”和“”；若图象关于轴对称，只需把原函数中的变为“”即可。②特殊点对称法。13、函数的奇偶性与单调性的综合应用：（1）函数的奇偶性与其单调性的关系：①若函数是奇函数，那么在区间（，）（）和（，）上具有“相同”的单调性。②若函数是偶函数，那么在区间（，）（）和（，）上具有“相反”的单调性。（2）利用函数的奇偶性和单调性我们可以解决以下两种问题：①比较大小：奇函数、偶函数单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大。对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断。②解抽象不等式：一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。（3）两个重要结论：①若为奇函数且在处有定义，则必有。②若为偶函数，则必有。14、判断函数奇偶性的常见错误：（1）忽视函数的定义域致错。（2）没有搞清楚分段函数奇偶性概念致错。（3）忽视对参数的讨论致错。15、常见奇偶性函数模型：容奇函数：=1\*GB3①函数或函数。=2\*GB3②函数。=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数。注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数。偶函数：=1\*GB3①函数。=2\*GB3②函数。=3\*GB3③函数类型的一切函数。【题型1】判断函数的奇偶性1．下列函数是偶函数的是（）A．y＝x B．y＝2x2﹣3 C．y=x D．y＝x2，x∈【解答】解：y＝x为奇函数，不符合题意；y＝2x2﹣3为偶函数，符合题意；y=x为非奇非偶函数；y＝x2故选：B．2．下列函数是奇函数的是（）A．y＝2x2﹣3 B．y=x C．y＝x，x∈[0，1] D．y＝【解答】解：A中函数为偶函数；B，C中函数的定义域不关于原点对称，都为非奇非偶函数．故选：D．3．判断下列函数是否具有奇偶性：（1）f（x）＝x+x3+x5；（2）f（x）＝x2，x∈（﹣1，3）；（3）f（x）＝﹣x2；（4）f（x）＝5x+2；（5）f（x）＝（x+1）（x﹣1）．【解答】解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，故函数为奇函数；（2）f（x）＝x2，x∈（﹣1，3）的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（3）f（x）＝﹣x2的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝f（x）恒成立，故函数为偶函数；（4）f（x）＝5x+2的定义域为R，关于原点对称，但f（﹣x）＝f（x）与f（﹣x）＝﹣f（x）均不恒成立，故函数f（x）＝5x+2为非奇非偶函数；（5）f（x）＝x2﹣1的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝f（x）恒成立，故函数为偶函数．4．判断下列函数是否具有奇偶性：（1）f（x）=1x；（2）h（x）＝x3+1；（3）f（x）=x（4）f（x）＝x2（x2+2）；（5）g（x）＝x（x+1）；（6）k（x）=3-x【解答】解：（1）因为f(x)=1x，定义域关于原点对称，f（﹣x）=-1x=-f（x（2）则h（﹣1）≠﹣h（1）且h（﹣1）≠h（1），即函数为非奇非偶函数．（3）因为定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），定义域不关于原点对称，所以f（x）为非奇非偶函数，（4）因为定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2[（﹣x）2+2）]＝x2（x2+2）＝f（x），所以f（x）为偶函数，（5）g（1）＝2，g（﹣1）＝0；则g（﹣1）≠﹣g（1）且g（﹣1）≠g（1），即函数为非奇非偶函数．（6）k（x）=3-x2x，可得3﹣x2≥0且x≠0，解得-3又k（﹣x）=3-x2-x=-k（x5．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=3x2x2+3；（2）f（（3）f（x）＝（x﹣1）1+x1-x；（4）f（x）=【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数；（2）3-x2≥0x2-3≥0，∴x2＝3，x＝±3，∴f（（3）解1+x1-x≥0得，﹣1≤x＜1，∴f（x）的定义域不关于原点对称，∴f（（4）解1﹣x2≥0得，﹣1≤x≤1，∴f(x)=1-x2x，∴f（﹣x）＝﹣f（x），6．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=4-x2|x-2|；（2）f（x）（3）f(x)=1-x2|x+2|+|x-3|；（4）f（x【解答】解：（1）根据题意，f（x）=4-x2|x-2|，则有则函数f（x）的定义域为[﹣2，2）不关于原点对称，故函数f（x）是非奇非偶函数．（2）函数f（x）的定义域为{﹣1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0，又∵f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝f（x），∴f（x）既是奇函数又是偶函数．（3）由题意可得函数的定义域为：﹣1≤x≤1∴f（x）=1-x2x+2+3-x=1-x25，∵f(-x)=1-(（4）因为f（x）定义域关于原点对称，x＞0时，f（﹣x）＝﹣x+1＝f（x）；x＜0时，f（﹣x）＝x+1＝f（x），所以为偶函数．7．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x-1x；（2）f(x)=x(2-x)，x＞0-x(2+x)，x＜0；（3）f（【解答】解：（1）f（x）＝x-1x，根据题意，f（x）的定义域为{x|x∈R，且有f（﹣x）＝﹣x-1-x=-x+1x=-（x-1x）＝﹣（2）定义域关于原点对称，当x＞0时，f（−x）＝−（−x）（2−x）＝x（2−x）＝f（x），当x＜0时，f（−x）＝−x（2+x）＝f（x），综上所述，函数为偶函数．（3）f（x）=-x2+x+1，x＞0x2+x-1，x≤0又f（﹣1）＝﹣1，f（1）＝1，则f（﹣1）≠f（1），则f（x）为非奇非偶函数．8．设函数f(x)=xA．f（x+1）+1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x﹣1）﹣1【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x+1）+1=x+1x+2+1，其定义域为{x对于B，f（x﹣1）+1=x-1x+1＝2-1x，不满足f（﹣x对于C，f（x+1）﹣1=x+1x+2-1，其定义域为{x对于D，f（x﹣1）﹣1=x-1x-1=-1x，其定义域为{x|x≠0}，满足f（﹣x故选：D．【题型2】奇、偶函数的运算性质1．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（2x）+2|g（x）|是偶函数 B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数 C．2|f（x）|+g（2x）是偶函数 D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|2g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则2|f（x）|+g（2x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选：A．2．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）＝|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|＝|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．3．设偶函数f（x）的定义域为R，函数g（x）=xA．|f（x）|g（x）是奇函数 B．f（x）g（x）是偶函数 C．f（x）|g（x）|是奇函数 D．|f（x）g（x）|是奇函数【解答】解：f（x）是偶函数f（x），函数g（x）=x∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，故选：A．4．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，下列函数中是奇函数的是（）A．y＝f（|x|） B．y＝|f（x）| C．y＝xf（x） D．y＝3f（x）﹣4x【解答】解：f（|﹣x|）＝f（|x|），偶函数；|f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|，偶函数；（﹣x）f（﹣x）＝xf（x），偶函数；3f（﹣x）﹣4（﹣x）＝﹣3f（x）+4x＝﹣（3f（x）﹣4x），奇函数；故选：D．5．若f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（）考察复合函数的奇偶性A．y＝f（2x+2﹣x） B．y＝f（2x﹣x） C．y＝f（2x﹣2﹣x） D．y＝f（2x+x）【解答】解：依题意，f（﹣x）＝﹣f（x），A选项，对于函数y＝f（2x+2﹣x），f（2﹣x+2x）＝f（2x+2﹣x），所以函数y＝f（2x+2﹣x）不是奇函数．B选项，对于函数y＝f（2x﹣x），f（2﹣x+x）≠﹣f（2x﹣x），所以函数y＝f（2x﹣x）不是奇函数．C选项，对于函数y＝f（2x﹣2﹣x），f（2﹣x﹣2x）＝﹣f（2x﹣2﹣x），所以函数y＝f（2x﹣2﹣x）是奇函数．D选项，对于函数y＝f（2x+x），f（2﹣x﹣x）≠﹣f（2x+x），所以函数y＝f（2x+x）不是奇函数．故选：C．（多选）6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）A．y＝f（﹣x） B．y＝f（x）+x3 C．y=f(x)x 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，设F（x）＝f（﹣x），其定义域为R，则有F（﹣x）＝f[﹣（﹣x）]＝f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣F（﹣x），函数y＝f（﹣x）为奇函数，对于B，设F（x）＝f（x）+x3，其定义域为R，则有F（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）3＝﹣[f（x）+x3]＝﹣F（x），函数y＝f（x）+x3为奇函数，对于C，设F（x）=f(x)x，其定义域为{x|x≠0}，则有F（﹣x）=f(-x)-x对于D，y=x3f（故选：AB．（多选）7．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（）A．y＝x+f（x） B．y＝xf（x） C．y＝x2+f（x） D．y＝x2f（x）【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），对于A，y＝x+f（x），设g（x）＝x+f（x），有g（﹣x）＝（﹣x）+f（﹣x）＝﹣[x+f（x）]＝﹣g（x），函数y＝x+f（x）为奇函数，对于B，y＝xf（x），设g（x）＝xf（x），有g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），函数y＝xf（x）为偶函数，对于C，y＝x2﹣f（x），设g（x）＝x2﹣f（x），有g（﹣x）＝（﹣x）2﹣f（﹣x）＝x2+f（x），函数y＝x2﹣f（x）既不是奇函数也不是偶函数，对于D，y＝x2f（x），设g（x）＝x2f（x），有g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x），函数y＝x2f（x）为奇函数，故选：AD．【题型3】定义域关于原点对称1．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．-13 B．13 C．-【解答】解：对于函数知f（x）＝ax2+bx，依题意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．又a﹣1＝﹣2a，∴a=13，∴a+b故选：B．2．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么f（x）的最大值是（）A．0 B．13 C．427【解答】解：根据题意，f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，则有a﹣1+2a＝0，解可得a=1同时其对称轴x=-b2a=则f（x）=x又由x∈[-23，则f（x）的最大值是f（23）＝f（-23故选：C．3．已知f（x）＝ax2+bx+1是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么y＝f（x）的最大值是（）A．1 B．13 C．43 【解答】解：因为函数f（x）在[a﹣1，2a]为的偶函数，所以a﹣1+2a＝0且b＝0，解得a=13，所以f（x）=13x所以当x=-23或x=23时，函数f（故选：D．4．已知f（x）＝（x﹣1）（ax+b）是偶函数，且其定义域为[2a﹣3，a]，则a+b＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴定义域关于原点对称，则2a﹣3+a＝0，得a＝1，则f（x）＝（x﹣1）（x+b），则函数f（x）的零点1，﹣b关于原点对称，则﹣b＝﹣1，得b＝1，则a+b＝1+1＝2，故选：A．5．已知f（x）＝ax3+bx2+cx是定义在[a﹣1，2a]上的奇函数，则a+b＝（）A．-13 B．13 C．1【解答】解：∵奇函数f（x）＝ax3+bx2+cx的定义域[a﹣1，2a]关于原点对称，故a﹣1+2a＝0，解得：a=13，又∵奇函数满足f（﹣x）＝﹣f（即﹣ax3+bx2﹣cx＝﹣（ax3+bx2+cx）＝﹣ax3﹣bx2﹣cx，∴b＝0，∴a+b=1故选：B．6．若f（x）＝ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣6+a，a]的奇函数，则a+b＝4．【解答】解：f（x）＝ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣6+a，a]的奇函数，所以﹣6+a＝﹣a，解得a＝3，又0∈[﹣3，3]，∴f（0）＝0，则1﹣b＝0，解得b＝1，则a+b＝4．【题型4】奇偶函数图象的对称性1．函数f（x）=1A．y轴对称 B．直线y＝x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝﹣x对称【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠0}；f(-x)=-1∴该函数为奇函数；∴函数f（x）的图象关于坐标原点对称．故选：C．2．函数f(x)=eA．y轴对称 B．直线y＝﹣x C．坐标原点对称 D．直线y＝x【解答】解：函数f（x）的定义域是实数集合，关于原点对称，f（﹣x）=e-2x-1e∴函数f（x）图象关于原点对称，故选：C．3．函数f（x）=3-A．原点对称 B．轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称【解答】解：根据题意，f（x）=3-x2x，有f（﹣则有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象关于原点对称，故选：A．4．函数f（x）＝2x+2﹣x（x∈R）的图象关于（）A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称【解答】解：根据题意，f（x）＝2x+2﹣x，其定义域为R，则f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），∴f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，故选：C．5．函数f（x）＝3x与f(x)=(1A．坐标原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称【解答】解：∵3与13互为倒数，∴f（x）＝3x与f(x)=(13故选：C．【题型5】已知函数的奇偶性求参数1．已知函数f（x）＝4x（x﹣1）+ax+|x|是偶函数，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由函数f（x）＝4x（x﹣1）+ax+|x|＝4x2+（a﹣4）x+|x|，因为函数f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），即4（﹣x）2+（a﹣4）（﹣x）+|﹣x|＝4x2+（a﹣4）x+|x|，所以a﹣4＝0，解得a＝4．故选：D．2．已知函数f（x）＝2x2+ax+2，若f（x+1）是偶函数，则a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：函数f（x）＝2x2+ax+2，则有f（x+1）＝2（x+1）2+a（x+1）+2＝2x2+（a+4）x+a+4．因为f（x+1）是偶函数，所以a+4＝0，解得a＝﹣4．故选：A．3．已知函数f(x)=ax-1x2+1是定义在A．1 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：根据题意，函数f(x)=ax-1x2+1是定义在R上的偶函数，则f（x）＝即ax-1x2+1=-ax-1故选：C．4．已知f(x)=exeA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：f（x）是偶函数，则有f（﹣1）＝f（1），即eea+1=e-1e-a+1，∴e又a＝2时，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，则a＝2．故选：A．5．已知函数f（x）＝ax2+|x+a+1|为偶函数，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．∅ B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：函数f（x）＝ax2+|x+a+1|为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），即ax2+|﹣x+a+1|＝ax2+|x+a+1|，则a+1＝0，即a＝﹣1，f（x）＝﹣x2+|x|，f（x）＞0，即﹣x2+|x|＞0，可得|x|2﹣|x|＜0，即|x|（|x|﹣1）＜0，即0＜|x|＜1，解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故选：B．6．若函数f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定义域上的奇函数，则实数a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：若函数f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定义域上的奇函数，则f（0）＝2a＝0，即a＝0，此时f（x）＝x（2x+2﹣x）为奇函数，符合题意．故选：A．7．若函数f（x）＝2x+a•2﹣x﹣x为R上的奇函数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝2x+a•2﹣x﹣x为R上的奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0恒成立，即（2x+a•2﹣x﹣x）+（2﹣x+a•2x+x）＝（a+1）（2x+2﹣x）＝0恒成立，必有a+1＝0，即a＝﹣1，故选：A．8．若f（x）＝（x+a+1）（x2+a﹣1）为奇函数，则a＝（）A．1或﹣1 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：根据题意，而f（x）＝x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），则f（﹣x）＝﹣x3﹣（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），则f（﹣x）＝﹣f（x），即x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1）＝﹣x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），则有a+1=0a2-1=0，分析可得a9．已知f（x）＝2﹣x+a•2x为奇函数，则f（1）的值为（）A．-32 B．1 C．32【解答】解：f（x）＝2﹣x+a•2x为奇函数，则f（0）＝1+a＝0，则a＝﹣1，则f（1）=12-故选：A．10．已知函数f(x)=a+23xA．54 B．1 C．98【解答】解：∵f(x)=a+2∴f（1）+f（﹣1）＝a+1+a+213∴a＝1，∴f（x）=3∴f（2）=10故选：A．【题型6】利用函数的奇偶性求函数值1．设f（x）为定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝ex﹣1，则f（﹣1）+f（1）＝（）A．e﹣1 B．﹣2e﹣2 C．2e﹣1 D．2e﹣2【解答】解：因为f（x）为定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝ex﹣1，则f（﹣1）+f（1）＝2f（1）＝2（e﹣1）．故选：D．2．设f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则使f（x）＞0的x取值范围是（）A．{x|x＞1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}【解答】解：根据题意，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）在[0，+∞）上为增函数且f（1）＝1﹣1＝0，又由f（x）为偶函数，则f（x）＞0即f（x）＞f（1），则有|x|＞1，解可得：x＞1或x＜﹣1，即x取值范围是{x|x＜﹣1或x＞1}；故选：C．3．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x3+x+1，则f（1）＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x3+x+1，所以f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣[（﹣1）3+（﹣1）+1]＝1．故选：A．4．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x+3x+a，则f（2）的值为（）A．234 B．274 C．-27【解答】解：因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即20+3×0+a＝0，解得a＝﹣1，所以当x≤0时，f（x）＝2x+3x﹣1，所以f（﹣2）＝2﹣2+3×（﹣2）﹣1=1又f（x）为奇函数，所以f(2)=-f(-2)=27故选：B．5．设f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex﹣1，则f（﹣1）+f（0）＝（）A．-1e-1 B．﹣e﹣1 C．-1【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），令x＝0，可得f（0）＝﹣f（0），即f（0）＝0，又当x＞0时，f（x）＝ex﹣1，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（e﹣1）＝﹣e+1，所以f（﹣1）+f（0）＝﹣e+1．故选：D．【题型7】利用函数的奇偶性求函数解析式011．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x+2，则当x＜0时，f（x）＝（）A．﹣x﹣2 B．﹣x+2 C．x﹣2 D．x+2【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），设x＜0时，﹣x＞0，当x＞0时，f（x）＝x+2，可得f（﹣x）＝﹣x+2，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝x﹣2．故选：C．2．函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=x-1，则当x＜0时，f（A．-x+1 B．--x-1 C．【解答】解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则有f（﹣x）=-x又由f（x）为R上的奇函数，则有f（x）＝﹣f（﹣x）=--x故选：D．3．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2+x，则当x＜0时，f（x）＝（）A．x2+x B．﹣x2+x C．x2﹣x D．﹣x2﹣x【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝x2﹣x，又f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x）＝﹣x2+x，（x＜0）．故选：B．4．函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣1【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数；∴设x＜0，则﹣x＞0；∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+1＝f（x）；∴f（x）＝x+1．故选：C．5．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x﹣3，则当x＜0时，f（x）＝（）A．﹣x2﹣2x+3 B．x2+2x﹣3 C．﹣x2+2x+3 D．x2﹣2x﹣3【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3＝x2+2x﹣3，又因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x﹣3．故选：B．【题型8】利用函数的奇偶性求函数解析式021．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，满足2f（x）+g（x）＝3x，求f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，2f（x）+g（x）＝3x，①又由f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则2f（﹣x）+g（﹣x）＝g（x）﹣2f（x）＝﹣3x，②，①﹣②可得：4f（x）＝6x，变形可得f（x）=3x故f（x）=3x2．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且满足f（x）+g（x）＝x2+x+1，求f（x）和g（x）的表达式．【解答】解：根据题意，∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），且f（x）+g（x）＝x2+x+1①，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）+1，即﹣f（x）+g（x）＝x2﹣x+1②；由①、②解得f（x）＝x，g（x）＝x2+1．3．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=2x-2．求f（x）与g（【解答】解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），f（﹣x）＝f（x），令x取﹣x，代入f（x）+g（x）=2x-2可得f（﹣x）+g（﹣x）=-2即f（x）﹣g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x）=-22+x由①②解得，f（x）=4x2-4，g（4．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）﹣g（x）=1x+1，求f（x）、g（【解答】解：根据题意，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）．则f(x)-g(x)=1x+1，f(-x)-g(-x)=1-x+1，即f(x)-g(x)=两式相加，得g（x）=1故f（x）=xx2-1，g（5．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）＝x2+x﹣2，x∈R．（1）求f（x）和g（x）的表达式；（2）若对于任意的x∈[2，3]，不等式f（x）﹣k•g（x）+7≥0恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）因为f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，f（x）+g（x）＝x2+x﹣2①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）﹣2，即f（x）﹣g（x）＝x2﹣x﹣2②，联立①②，解得：f（x）＝x2﹣2，g（x）＝x，（2）因为f（x）＝x2﹣2，g（x）＝x，由f（x）﹣k⋅g（x）+7≥0对于任意的x∈[2，3]恒成立，可得x2﹣2﹣kx+7≥0对于任意的x∈[2，3]恒成立，即x2﹣kx+5≥0对于任意的x∈[2，3]恒成立，所以k≤x+5x对于任意的x∈[2，3]恒成立，所以k≤(x+5x因为x+5x≥2x⋅5x=2所以k的最大值为25【题型9】奇偶性与单调性的综合1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝log2x B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+1 D．y=|【解答】解：y＝log2x的定义域是（0，+∞），是非奇非偶函数，A选项错误；y＝|x|+1是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，B选项正确；y＝﹣x2+1是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，C选项错误；y=|1x|故选：B．2．下列函数是奇函数且在[1，+∞）上单调递增的是（）A．y=1x B．y＝x2 C．y=x+2【解答】解：A：y=1B：y＝x2为偶函数，不符合题意；C：y=x+2D：y＝x-1故选：D．3．定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【解答】解：∵x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，∴函数在[0，+∞）上单调递增，∵函数是奇函数，∴函数在R上单调递增，∵﹣2＜1＜3，∴f（﹣2）＜f（1）＜f（3）．故选：C．4．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0）上是减函数，且f（2）＝0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0）上