2.5指数与指数函数

2.5指数与指数函数课标要求精细考点素养达成1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并了解指数函数的单调性与特殊点指数幂的运算通过指数幂的运算,培养数学运算、逻辑推理、直观想象等数学素养指数函数的图象与性质通过掌握指数函数的图象与性质,培养直观想象的数学素养指数函数的应用通过对指数函数的应用,提升逻辑推理和数学运算素养1.(概念辨析)下列结论正确的有().①nan=(na)n=a(n∈N*);②分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘;③2a·2b=2ab;④设a>0,a2a·3a2=a76;⑤当A.0个 B.1个 C.2个 D.4个2.(对接教材)设a>0,且a≠1,如果函数f(x)=ax满足f(2)>f(3),那么a的取值范围是().A.0<a<1 B.1<a<2C.2<a≤3 D.a>33.(对接教材)计算:3(1+2)3+4.(易错自纠)下列各式正确的是().A.nan=a B.(a22a3)0=1C.3-3=6(-3)2 5.(真题演练)(2023·全国甲卷文)已知函数f(x)=e-(x-1)2.记a=f22,b=f32,c=fA.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b指数幂的运算典例1(1)计算:-278-23+0.002-1210(52(2)14-12·(4ab-1)3(0.1(3)若x12+x-12=3,(4)(2023·福建三模)英国物理学家、数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是θ1,环境温度是θ0,则经过tmin物体的温度θ将满足θ=θ0+(θ1θ0)ekt,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有90℃的物体,若放在10℃的空气中冷却,经过10min物体的温度为50℃,则若使物体的温度为20℃,需要冷却().A.17.5min B.25.5minC.30min D.32.5min1.进行指数幂的运算时,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用指数运算法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.训练1(1)化简:a43-8a13b4b23(2)已知f(x)=2x+2x,若f(a)=3,则f(2a)=.

指数函数的图象与性质典例2(1)函数f(x)=3|x|+1的大致图象是().A B C D(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则实数b的取值范围是.

(3)若函数y=axm+n3(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则m+n=.

1.画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,12.已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.3.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.4.有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数的图象,数形结合求解.训练2(1)函数y=ax1a(a>0且a≠1)的图象可能是()A BC D(2)若函数y=|3x1|在(∞,k]上单调递减,则实数k的取值范围是.

指数函数的应用典例3(1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系为().A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a(2)已知函数f(x)=2a·4x2x1,若关于x的方程f(x)=0有解,则实数a的取值范围为.

指数式的估值和大小比较(1)若底数相同,则可由指数函数的单调性直接判断;(2)若底数不同,指数相同,则可利用图象或作商法比较;(3)若底数和指数都不同,则常借助中间值(如1,0,1)来比较.训练3(1)设a=3525,b=2535,c=2525,则aA.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a(2)若函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[1,0],则a+b=.

典例4(1)若函数f(x)=x2-ax+a,x<0,(4-2a)x,x≥0A.[0,2) B.32,2 C.[1,2] D.[0,(2)若不等式(m2m)2x12x<1对一切x∈(∞,1]恒成立,则实数m的取值范围是

1.复合函数的单调性满足“同增异减”,特别要注意单调区间包含于定义域.分段函数的单调性首先满足各段单调,然后考虑分界点处函数值的关系.2.根据题意,利用奇偶性、单调性依次分析选项是否正确,即可得到答案.训练4(1)已知函数f(x)=e|xa|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是().A.(∞,1) B.(∞,1]C.(1,+∞) D.[1,+∞)(2)若关于x的不等式4ax1<3x4(a>0且a≠1)对于任意的x>2恒成立,则a的取值范围为.

构造函数比较大小典例若2a+log2a=4b+2log4b,则().a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b21.若给出的式子结构特征相同,则先构造函数,再利用函数的单调性比较大小.2.比较大小是高考考查的一个热点,这类试题大部分难度一般,但也有难度较大的.试题涉及构造函数,可通过作差,用函数的单调性比较大小.本题通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到两个式子间的大小关系,考查了数学运算、逻辑推理等核心素养.训练若2x2y<3x3y,则().A.ln(yx+1)>0 B.ln(yx+1)<0C.ln|xy|>0 D.ln|xy|<0一、单选题1.已知a>0,则a2a·3aA.a65 B.a56 C.2.若函数y=(a2)2ax是指数函数,则().A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠13.已知函数f(x)=12x,则不等式f(a24)>f(3a)的解集为(A.(4,1) B.(1,4) C.(1,4) D.(0,4)4.国家速滑馆又称“冰丝带”,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,是真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N=N0ekt(N0为最初污染物数量).如果前4小时消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为().A.3.6小时 B.3.8小时C.4小时 D.4.2小时二、多选题5.在同一平面直角坐标系中,指数函数y=ax(a>0且a≠1)和一次函数y=a(x+1)的图象关系可能是().A BC D6.已知函数f(x)=1−2x1+2x,A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数C.f(x)在R上是增函数 D.f(x)在R上是减函数三、填空题7.若函数f(x)=ax11(a>0且a≠1)的图象经过定点P,则点P的坐标是.

8.若指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,1]上的最大值为2,则a=.

四、解答题9.已知定义在R上的函数f(x)=2x12|x|,若f(x)=3210.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,a>0且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式1ax+1bxm≥0在x∈(∞,1]上恒成立,11.(多选)法国著名昆虫学家、文学家法布尔,在《昆虫记》里有这样的记载:“每当地心引力和扰性同时发生作用时,悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线(垂直于地面的直线)上的曲线时,人们便把这条曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状,这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条.”建立适当的平面直角坐标系,可以写出悬链线的函数解析式:f(x)=eax+e-ax2a,其中a为悬链线系数.当a=1时,f(x)=ex+e-x2称为双曲余弦函数,记为chx=ex+e-x2.类似的有双曲