内蒙古赤峰市宁城县高三5月统一考试数学（理）试题

宁城县高三年级统一考试（2018.5.20）数学试题（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 已知全集为实数集R,集合,,则SKIPIF1<0错误！未找到引用源。（A）SKIPIF1<0错误！未找到引用源。（B）SKIPIF1<0错误！未找到引用源。（C）SKIPIF1<0错误！未找到引用源。 （D）SKIPIF1<0错误！未找到引用源。2．若复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则=（A）（B） （C）（D）3．若三个点SKIPIF1<0错误！未找到引用源。中恰有两个点在双曲线SKIPIF1<0错误！未找到引用源。上,则双曲线SKIPIF1<0错误！未找到引用源。的渐近线方程为SKIPIF1<0错误！未找到引用源。（A）（B）（C）（D）4．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（A）2日和5日（B）5日和6日（C）6日和11日（D）2日和11日5.若函数y=f(x)的图像与函数y=ln(x+1)的图像关于直线对称,则f(x)=(A)e1x(B)1ex(C)ex1(D)ex16.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（A）SKIPIF1<0错误！未找到引用源。（B）SKIPIF1<0错误！未找到引用源。（C）SKIPIF1<0错误！未找到引用源。（D）SKIPIF1<0错误！未找到引用源。7.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（A）120（B）84（C）56（D）288．已知曲线y=lnx+2和曲线y=ln(x+1)有相同的切线，则该切线的斜率为（A）（B）（C）（D）29．椭圆的焦点为，点在椭圆上，且，则的内切圆半径为 (A) (B) (C) (D)10．四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）11．已知是函数在区间内的两个零点,则=（A）（B）（C）（D）12．已知中，，点是的垂心,存在实数，使得,则,的值分别为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22～23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设，则的值为.14．已知实数满足条件，且的最小值为3，则常数______．15．如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．16.在平面四边形中，，，，，则的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知数列{an}与{bn}，若a1＝3且对任意正整数n满足an＋1－an＝2，数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.18．（本小题满分12分）某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量服从正态分布（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于度之间的户数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知直线与抛物线相切于点，与其准线相交于点．（Ⅰ）证明：以为直径的圆恒过抛物线C的焦点F；（Ⅱ）过作抛物线C的另一条切线，切点为B，求△PAB面积的最小值。21.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;（Ⅱ）若,求证:.请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线C2的参数方程为(β为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)已知射线l1：θ＝α(0<α<eq\f(π,2))，将射线l1顺时针旋转eq\f(π,6)得到射线l2：θ＝α－eq\f(π,6)，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|·|OQ|的最大值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）若，求实数的取值范围；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

宁城县高三年级统一考试（）数学试题（理科）参考答案一、选择题：CBACDABDDCBA二、填空题：13、0；14、2；15、；16、.三、17．解：(1)由题意知{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．所以an＝2n＋1.2分当n＝1时，b1＝S1＝4；当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n＋1)－[(n－1)2＋2(n－1)＋1]＝2n＋1，4分对b1＝4不成立．所以数列{bn}的通项公式为bn＝6分(2)由(1)知当n＝1时，T1＝＝.当n≥2时，＝＝，8分所以Tn＝＋[＋＋…＋]＝＋＝＋＝.10分当n＝1时仍成立，所以Tn＝.12分18．解：（1）由得2分…4分（2）（ⅰ）6分（ⅱ）因为，，.8分所以的分布列为10分所以.…………12分19．（Ⅰ）证：∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵∥，∴…………1分分别以，的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.…………2分则，，，，，设，∵，，解得，，，∴可得，…………………4分∵是的中点，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设是平面的法向量，则，∴…8分令，则，……………9分又是平面的法向量，……10分∴，…………11分∴二面角的余弦值为.………………12分注：其他解法相应给分.20．（Ⅰ）证法1：设A(x1,y1),则直线PA的斜率为∴直线的方程为注意到，化简得：2分令，得∴4分∴以为直径的圆恒过抛物线C的焦点F5分证法2：过A作y轴的平行线交抛物线的准线于D，∵直线与抛物线的相切于A，∴由抛物线的光学性质知∠FAP=∠DAP2分又AF=AD，AP=AP∴△FAP≌△DAP4分即∠AFP=90°，∴以为直径的圆恒过抛物线C的焦点F；5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）中结论得，∠BFP=90°，即A、F、B共线，6分设直线AB的方程为，代入得设，则7分由（Ⅰ）知在中，，因而．8分因为分别等于到抛物线准线的距离，所以．10分于是，11分当时，取得最小值．12分21．解（Ⅰ）当时，，1分令,2分∴在上单调递减,且∴当时,即∴当时,即综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是.4分(Ⅱ)证明：,即设，设，6分∵，∴在小于零恒成立，即在上单调递减∴,∴在上必存在一个使得即8分∴当时,,递增，当时,,递减.∴9分∵，∴令得∵,∴,∵,∴恒成立，即恒成立11分综上所述,当时,12分22．(1)曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝41分所以C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ2分曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，3分所以C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.4分(2)设点P的极坐标为(ρ1，α)，5分即ρ1＝4cosα，点Q的极坐标为(ρ2，(α－))，即ρ2＝4sin(α－)，6分则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin(α－)＝16cosα·(sinα－cosα)＝8sin(2α－)－4.∵α∈(0，)，∴2α－∈(－，)8分∴当2α－＝，即α＝时，|OP|·|OQ|取最大值4.10分（Ⅰ）∵，∴，