2021年中考数学一轮复习：四边形综合之动点与相似-专项练习题汇编(含答案)

第第页2021年中考数学一轮复习：四边形综合之动点与相似专项练习题汇编1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．（1）请用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．2．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b（b＜a），点G在边BC上，点E在边AB的延长线上，DE交边BC于点H，联结FH、DF．（1）用a，b表示△DHF的面积，并化简；（2）如果点M是线段AE的中点，联结MC、MF、CF．①用a，b表示△MCF的面积，并化简；②比较△MFC的面积和△DHF的面积的大小．3．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD．（1）若BC＝AB，求出AD，CD，AB之间的数量关系；（2）若BC＝AB，当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD；（3）若mBC＝AB，∠A＝60°，BC＝2，直接写出AD的长度（用含m的代数式表示）．4．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．5．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6．动点P从点A出发，每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到B点停止运动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A匀速运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒（t＞0）．（1）点P在AB上运动时，PA＝，PB＝，点Q在AB上运动时，BQ＝，QA＝（用含t的代数式表示）；（2）求当t为何值时，AP＝BQ；（3）当P，Q两点在运动路线上相距3个单位长度时，请直接写出t的值．6．在矩形ABCD中，E为边CD上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点F处．（1）求证：△ABF∼△FCE；（2）若AD＝10，CD＝6，则tan∠EAF的值为；（3）若AD＝6，DE＝3，则AB的长为．7．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．8．解答下列各题（1）已知：如图1，直线AB、CD被直线AC所截，点E在AC上，且∠A＝∠D+∠CED，求证：AB∥CD；（2）如图2，在正方形ABCD中，AB＝8，BE＝6，DF＝4．①试判断△AEF的形状，并说明理由；②求△AEF的面积．9．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．10．在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E是边CD上一点，将△AED沿AE所在直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，当点F落在对角线AC上时，求CF的长；（2）如图2，当点F落在边BC上时，求CE的长；（3）如图3，当点E为CD的中点，且AF的延长线交BC于点G时，求CG的长．参考答案1．解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，∴AQ＝t，∵∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝20，∴AP＝AB﹣BP＝20﹣2t，∵PM⊥BC，∴∠PMB＝90°，∴PM＝＝t．故答案为：t，20﹣2t，t；（2）存在，理由如下：由（1）知：AQ＝PM，∵AC⊥BC，PM⊥BC，∴AQ∥PM，∴四边形AQMP是平行四边形，当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，即20﹣2t＝t，解得t＝，则存在t＝，使得平行四边形AQMP成为菱形．（3）当△PQM为直角三角形时，有三种可能：①当∠MPQ＝90°时，此时四边形CMPQ为矩形，在Rt△PAQ中，∠A＝60°，∴∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，∴AP＝2AQ，即20﹣2t＝2t，解得：t＝5；②当∠MQP＝90°时，由（2）知MQ∥AP，∴∠APQ＝∠MQP＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，∴AQ＝2AP，即t＝2（20﹣2t），解得：t＝8．③当∠PMQ＝90°时，此种情况不存在．综上所述：当t为5或8时，△PQM为直角三角形．2．解：（1）延长DC交EF延长线于Q，如图1所示：则四边形AEQD、四边形CGFQ都为长方形，∵正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，∴EF＝BE＝b，DQ＝a+b，∴S△DHF＝S△DEF﹣S△HEF＝EF•DQ﹣EF•BE＝b•（a+b）﹣b•b＝ab+b2﹣b2＝ab；（2）①延长DC交EF延长线于Q，如图2所示：则四边形AEQD、四边形CGFQ、四边形BCQE都为长方形，∵正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，∴AD＝CD＝a，EF＝BE＝CQ＝b，∴AE＝a+b，QF＝QE﹣EF＝BC﹣EF＝a﹣b，∵点M是线段AE的中点，∴AM＝EM＝AE＝，∵四边形ABCD是正方形，∴四边形AMCD是直角梯形，∴S△MCF＝S长方形AEQD﹣S△CQF﹣S△MEF﹣S梯形AMCD＝AD•AE﹣CQ•QF﹣EM•EF﹣（AM+CD）•AD＝a•（a+b）﹣b•（a﹣b）﹣וb﹣（+a）•a＝a2+ab﹣ab+b2﹣ab﹣b2﹣a2﹣ab＝a2+b2＝（a2+b2）；②∵S△MFC＝（a2+b2），S△DHF＝ab，∴S△MFC﹣S△DHF＝（a2+b2）﹣ab＝（a2﹣2ab+b2）＝（a﹣b）2，∵b＜a，∴（a﹣b）2＞0，∴S△MFC﹣S△DHF＞0，∴S△MFC＞S△DHF．3．解：（1）2AB2＝AD2+CD2．证明：连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵BC＝AB，∴AB2+BC2＝2AB2，∴AC2＝2AB2，∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∴AD2+CD2＝2AB2；（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（AAS），∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．（3）m+．延长DC，AB交于点E，∵∠D＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°，∵∠ABC＝90°BC＝2，∴∠CBE＝90°，∴CE＝4，∴BE＝＝＝2，∵AB＝mBC，∴AB＝2m，∴AE＝AB+BE＝2m+2，∴AD＝＝m+．4．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得或（舍去），∴AE＝．（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG为等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．5．解：（1）点P在AB上运动时，PA＝t，PB＝10﹣t．点Q在AB上运动时，BQ＝2t﹣6，QA＝16﹣2t．故答案是：t，10﹣t，2t﹣6，16﹣2t；（2）若Q在BC上运动，则t＝6﹣2t，解得t＝2，若Q在AB上运动，则t＝2t﹣6，解得t＝6，∴当t＝2s或t＝6s时，AP＝BQ；（3）若P、Q两点还未相遇，则t+2t+3＝16，解得t＝，若P、Q两点已经相遇，则t+2t﹣3＝16，解得t＝，∴当t＝s或t＝s时，P、Q两点相距的路程为3．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，∠EAF＝∠DAE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∴BF＝＝＝8，设DE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x，∵△ABF∽△FCE，∴，∴，解得x＝．∴DE＝，∴tan∠EAF＝tan∠DAE＝＝，故答案为：；（3）解：设CE＝y，则CD＝AB＝y+3，由折叠知，AD＝AF＝6，DE＝EF＝3，∵△FCE∽△ABF，∴，∴BF＝2y，CF＝，∴2y+＝6，解得y＝，∴AB＝CD＝DE+CE＝3+＝，故答案为：．7．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形；（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，∵∠ABH＝60°，∴，BH＝HC＝1，∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，∴EF＝＝，∵∠AEF＝∠B＝60°，∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠CEG＝∠BAE，∵∠B＝∠ACE＝60°，∴△BAE∽△CEG，∴，∴，∴y＝EG＝（0＜x＜2），（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，∴OA＝OC＝1，∵EG＝EO，∴∠EOG＝∠EGO，∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，∴∠EGO＝∠CEA，∴∠EOG＝∠CEA，∵∠ECA＝∠OCE，∴△COE∽△CEA，∴，∴CE2＝CO•CA，∴x2＝1×2，∴x＝（x＝﹣舍去），即x＝．8．解：（1）延长AC至F，如图1，∵∠FCD＝∠CED+∠D，∠A＝∠D+∠CED，∴∠FCD＝∠A，∴AB∥CD；（2）①如图2，延长AF交BC的延长线于点G，∵正方形ABCD中，AB＝8，CF＝4，∴DF＝CF＝4，∵∠D＝∠FCG＝90°，∠AFD＝∠CFG，∴△ADF≌△GCF（ASA），∴AF＝FG，∵AB＝8，BE＝6，∴AE＝＝＝10，∵EG＝CE+CG＝2+8＝10，∴AE＝EG，∴EF⊥AG，∴△AEF是直角三角形；②S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF＝64﹣，＝20．9．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在Rt△ANE中，∴AE＝CN．10．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝6，AD＝10，∴AC＝＝＝2．∵将△AED沿AE所在直线折叠，使点D落在点F处．∴△ADE≌△AFE，∴AF＝AD＝10，∴CF＝AC＝AF＝2﹣10．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8